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Universidade Federal de Juiz de Fora - Faculdade de Engenharia Departamento de Engenharia de Produção
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Construir o modelo matemático de programação linear dos sistemas descritos a seguir:
Um sapateiro faz 6 sapatos por hora, se fizer somente sapatos, e 5 cintos por hora, se fizer somente cintos. Ele gasta 2 unidades de couro para fabricar 1 unidade de sapato e 1 unidade de couro para fabricar uma unidade de cinto. Sabendo-se que o total disponível de couro é de 6 unidades e que o lucro unitário por sapato é de $5,00 e o do cinto é de $2,00, pede-se: o modelo do sistema de produção do sapateiro, se o objetivo é maximizar seu lucro por hora.
Certa empresa fabrica 2 produtos P1 e P2. O lucro por unidade de P1 é de $100,00 e o lucro unitário de P2 é de $150,00. A empresa necessita de 2 horas para fabricar uma unidade de P1 e 3 horas para fabricar uma unidade de P2. O tempo mensal disponível para essas atividades é de 120 horas. As demandas esperadas para os 2 produtos levaram a empresa a decidir que os montantes produzidos de P1 e P2 não devem ultrapassar 40 unidades de P1 e 30 unidades de P2 por mês. Construa o modelo do sistema de produção mensal com o objetivo de maximizar o lucro da empresa.
Um vendedor de frutas pode transportar 800 caixas de frutas para sua região de vendas. Ele necessita transportar 200 caixas de laranjas a $20,00 de lucro por caixa, pelo menos 100 caixas de pêssegos a $10,00 de lucro por caixa, e no máximo 200 caixas de tangerinas a $30,00 de lucro por caixa. De que forma deverá ele carregar o caminhão para obter o lucro máximo? Construa o modelo do problema.
Uma rede de telvisão local tem o seguinte problema: foi descoberto que o programa "A" com 20 minutos de música e 1 minuto de propaganda chama a atenção de 30.000 telespectadores, enquanto o programa "B", com 10 minutos de música e 1 minuto de propaganda chama a atenção de 10.000 telespectadores. No decorrer de uma semana, o patrocionador insiste no uso de no mínimo 5 minutos para sua propaganda e que não há verba para mais de 80 minutos de música. Quantas vezes por semana cada programa deve ser levado ao ar para obter o número máximo de telespectadores? Construa o modelo do sistema.
Uma empresa fabrica 2 modelos de cintos de couro. O modelo M1, de melhor qualidade, requer o dobro do tempo de fabricação em relação ao modelo M2. Se todos os cintos fossem do modelo M2, a empresa poderia produzir 1.000 unidades por dia. A disponibilidade de couro permite fabricar 800 cintos de ambos os modelos por dia. Os cintos empregam fivelas diferentes, cuja disponibilidade diária é de 400 para M1 e 700 para M2. Os lucros unitários são de $4,00 para M1 e $3,00 para M2. Qual o programa ótimo de produção que maximiza o lucro total diário da empresa? Construa, o modelo do sistema descrito.
Uma empresa, após um processo de racionalização de produção, ficou com disponibilidade de 3 recursos produtivos, R1, R2, R3. Um estudo sobre o uso desses recursos indicou a possibilidade de se fabricar 2 produtos P1 e P2. Levantando os custos e consultando o departamento de vendas sobre o preço de colocação no mercado, verificou-se que P1 daria um lucro de $120,00 por unidade e P2, $150,00 por unidade. O departamento de produção forneceu a seguinte tabela de uso de recursos.
Produto Recursos R1 por unidade
Recursos R2 por unidade
Recursos R3 por unidade
P1 2 3 5
P2 4 2 3
Disponibilidade de recursos por mês
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Que produção mensal de P1 e P2 traz o maior lucro para a empresa? Construa o modelo do sistema.
- Um fazendeiro está estudando a divisão de sua propriedade nas seguintes atividades produtivas:
A (Arrendamento) - Destinar certa quantidade de alqueires para a plantação de cana-de-açúcar, a uma usina local, que se encarrega da atividade e paga pelo aluguel da terra $300,00 por alqueire por ano.
P (Pecuária) - Usar outra parte para a criação de gado de corte. A recuperação das pastagens requer adubação (100Kg/Alq.) e irrigação (100.000 litros de água/Alq.) por ano. O lucro estimado nessa atividade é de $400,00 por alqueire por ano.
S (Plantio de Soja) - Usar uma terceira parte para o plantio de soja. Essa cultura requer 200Kg por alqueire de adubos 200.000 litros de água/Alq. para irrigação por ano. O lucro estimado nessa atividade é de $500,00/alqueire no ano.
Disponibilidade de recursos por ano:
12.750.000 litros de água
14.000 Kg de adubo
100 alqueires de terra.
Quantos alqueires deverá destinar a cada atividade para proporcionar o melhor retorno? Construa o modelo de decisão.
- O departamento de marketing de uma empresa estuda a forma mais econômica de aumentar em 30% as vendas de seus dois produtos P1 e P2.
As alternativas são:
a) Investir em um programa institucional com outras empresas do mesmo ramo. Esse programa requer um investimento mínimo de $3.000,00 e deve proporcionar um aumento de 3% nas vendas de cada produto, para cada $1.000,00 investidos.
b) Investir diretamente na divulgação dos produtos. Cada $1.000,00 investidos em P1 retornam um aumento de 4% nas vendas, enquanto que para P2 o retorno é de 10%.
A empresa dispõe de $10.000,00 para esse empreendimento. Quanto deverá destinar a cada atividade? Construa o modelo do sistema descrito.
- Uma liga especial constituída de ferro, carvão, silício e níquel pode ser obtida usando a mistura desses minerais puros além de 2 tipos de materiais recuperados:
Material Recuperado 1 - MR1 – Composição ferro - 60% carvão - 20% silício - 20% Custo por Kg: $0,
Material Recuperado 2 - MR2 - Composição ferro - 70% carvão - 20% silício - 5% níquel - 5% Custo por Kg: $0,
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Respostas
x 1 : quantidade de sapatos/hora
x 2 : quantidade de cintos/hora
Lucro (Maximização)
X 0 resriçãoproduçãonão- negativa
X 0 restriçãoproduçãonão-negativa
10 X 12 X 60 restriçãotempo(min.)
2 X X 6 restriçãoquantidadecouro
Restrições
Z f(X,X ) 5 X 2 X
2
1
1 2
1 2
1 2 1 2
x 1 : quantidade de P 1
x 2 : quantidade de P 2
Lucro (Maximização)
X 0 resriçãoproduçãonão- negativa
X 0 restriçãoproduçãonão-negativa
X 30 restriçãoprodução
X 40 restriçãoprodução
2 X 3 X 120 restriçãotempoprodução
Restrições
Z f(X,X ) 100 X 150 X
2
1
2
1
1 2
1 2 1 2
x 1 : quantidade de caixas de pêssegos
x 2 : quantidade de caixas de tangerinas
Lucro (Maximização)
X 0 resriçãoproduçãonão- negativa
X 0 restriçãoproduçãonão-negativa
X 200 restriçãoquantidademáximatransportetangerina
X 100 restriçãoquantidademínimatransportepêssego
X X 600 restriçãoquantidademáximatransportedescontadalaranja(800-200)
Restrições
Obs: 4000 édevidoaolucroobtidopelaquantidadedecaixasdelaranjaqueéconstante.
Z f(X,X ) 10 X 30 X 4000
2
1
2
1
1 2
1 2 1 2
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x 1 : freqüência semanal de A
x 2 : freqüência semanal de B
Número de telespectadores (Maximização)
X 0 resriçãoproduçãonão- negativa
X 0 restriçãoproduçãonão-negativa
X X 5 restriçãopropaganda
20 X 10 X 80 restriçãomúsica
Restrições
Z f(X,X ) 30000 X 10000 X
2
1
1 2
1 2
1 2 1 2
x 1 : quantidade de M 1 /dia
x 2 : quantidade de M 2 /dia
Lucro (Maximização)
X 0 resriçãoproduçãonão- negativa
X 0 restriçãoproduçãonão-negativa
X 700 restriçãodisponibilidadediáriafivelaparaM
X 400 restriçãodisponibilidadediáriafivelaparaM
X X 800 restriçãocapacidademáximaproduçãodevidocouro
2 X X 1000 restriçãovolumeprodução
Restrições
Z f(X,X ) 4 X 3 X
2
1
2 2
1 1
1 2
1 2
1 2 1 2
x 1 : quantidade de P 1
x 2 : quantidade de P 2
Lucro (Maximização)
X 0 resriçãoproduçãonão- negativa
X 0 restriçãoproduçãonão-negativa
5 X 3 X 120 restriçãorecursoR
3 X 2 X 90 restriçãorecursoR
2 X 4 X 100 restriçãorecursoR
Restrições
Z f(X,X ) 120 X 150 X
2
1
1 2 3
1 2 2
1 2 1
1 2 1 2
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Custo (Minimização)
X 0 resriçãoproduçãonão- negativa
X 0 resriçãoproduçãonão-negativa
X 0 resriçãoproduçãonão-negativa
X 0 resriçãoproduçãonão-negativa
X 0 resriçãoproduçãonão-negativa
X 0 restriçãoproduçãonão-negativa
05 X X 0. 08 restriçãomáximoníquel
05 X X 0. 05 restriçãomínimoníquel
2 X 0. 05 X X 0. 20 restriçãomáximosilício
2 X 0. 05 X X 0. 15 restriçãomínimosilício
2 X 0. 2 X X 0. 20 restriçãomáximocarvão
2 X 0. 2 X X 0. 15 restriçãomínimocarvão
6 X 0. 7 X X 0. 65 restriçãomáximoferro
6 X 0. 7 X X 0. 60 restriçãomínimoferro
Restrições
Z f(X,X ,X,X ,X,X ) 0. 2 X 0. 25 X 0. 3 X 0. 2 X 0. 28 X 0. 5 X
6
5
4
3
2
1
2 6
2 6
1 2 5
1 2 5
1 2 4
1 2 4
1 2 3
1 2 3
1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6
x 11 : número de viagens de P 1 a L 1
x 12 : número de viagens de P 1 a L 2
x 13 : número de viagens de P 1 a L 3
x 14 : número de viagens de P 1 a L 4
x 21 : número de viagens de P 2 a L 1
"
"
x 34 : número de viagens de P 3 a L 4
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Distância (Minimização)
j 1 , 2 , 3 , 4
i 1,2,
X 0 restriçãoproduçãonão-negativa
X X X 10 restriçãoloja 4
X X X 4 restriçãoloja 3
X X X 8 restriçãoloja 2
X X X 5 restriçãoloja 1
Restrições
Z f(X ,X ,X ,X ,...,X ) 30 X 20 X 24 X 18 X 12 X 36 X 30 X 24 X 8 X 15 X 25 X 20 X
ij
14 24 34
13 23 33
12 22 32
11 21 31
11 12 13 14 34 11 12 13 14 21 22 23 24 31 32 33 34
