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LISTA DE EXERCÍCIOS
Modelagem
- Um fabricante de móveis possui 6 unidades de madeira e 28 horas de trabalho disponíveis, nas quais ele deseja fabricar biombos decorativos. Dois modelos venderam bem no passado e ele vai restringir sua produção a esses dois modelos. Ele estima que o modelo 1 requer 2 unidades de madeira e 7 horas de trabalhos, enquanto que o modelo 2 requer 1 unidade de madeira e 8 horas de tempo. Os preços de venda dos modelos são $120 e $80, respectivamente. Quantos biombos de cada modelo ele deve fabricar se ele deseja maximizar a receita das vendas?
- Um mochileiro pretende iniciar uma viajem de camping. Existem cinco itens que o mochileiro deseja levar consigo, contudo, juntos eles excedem o limite de peso de 60 libras que ele sabe que pode carregar. Para se ajudar no processo de seleção, ele atribuiu valores a cada item em ordem crescente de importância:
Item 1 2 3 4 5 Peso (libras) 52 23 35 15 7 Valor 100 60 70 15 15
Quais itens ele deve levar para maximizar o valor total sem exceder a restrição de peso?
- Uma companhia mineradora opera em três minas. O minério de cada uma das minas é separado em dois diferentes graus de qualidade antes do transporte; a capacidade de produção diária das minas, bem como os custos diários de operação são os seguintes:
Minério de Alta Qualidade (ton/dia)
Minério de Baixa Qualidade (ton/dia)
Custo de Operação ($1000/dia) Mina I 4 4 20 Mina II 6 4 22 Mina III 1 6 18
A companhia se comprometeu a entregar 54 toneladas de minério de alta qualidade e 65 toneladas de minério de baixa qualidade ao fim da semana. Ela também tem contratos de trabalho que garante aos empregados o pagamento integral pelo dia de trabalho para cada dia, completo ou fracionado, no qual a mina está aberta. Determine o número de dias que cada mina deve operar durante a próxima semana se a companhia vai cumprir seu compromisso a um custo mínimo.
- Uma refinaria produz dois tipos de gasolina, comum e premium, as quais são vendidas em sua cadeia de postos de serviço por $12 e $14 o barril, respectivamente. Ambos os tipos são misturas, presentes em estoque, do petróleo nacional refinado e petróleo importado refinado, e devem atender as seguintes especificações:
Pressão de Vapor Máxima
Taxa de Octanagem Mínima
Demanda Máxima (barris/semana)
Entregas Mínimas (barris/semana) Comum 23 88 100000 50000 Premium 23 93 20000 5000
As características dos petróleos refinados em estoque são:
Pressão de Vapor
Taxa de Octanagem
Estoque (barris)
Custo ($/barril) Nacional 25 87 40000 8 Importado 15 98 60000 15
Quais as quantidades dos dois tipos de petróleo que a empresa deve misturar para produzir os dois tipos de gasolina de maneira a maximizar o lucro semanal?
Resolução Gráfica:
min. 𝑧 = 8 𝑥 1 + 10 𝑥 2 s.a. −𝑥 1 + 𝑥 2 ≥ 20 4 𝑥 1 + 5 𝑥 2 ≥ 20 𝑥 1 ≤ 20 𝑥 2 ≥ 4 com 𝑥 1 , 𝑥 2 ≥ 0
max. 𝑧 = 𝑥 1 + 3 𝑥 2 s.a. 4 𝑥 1 + 𝑥 2 ≥ 30 10 𝑥 1 + 𝑥 2 ≤ 10 com 𝑥 1 , 𝑥 2 ≥ 0
- A indústria Alumilâminas S/A iniciou suas operações em janeiro de 2001 e já vem conquistando espaço no mercado de laminados brasileiro, tendo contratos fechados de fornecimento para todos os três tipos diferentes de lâminas de alumínio que fabrica: espessuras fina, média ou grossa. Toda a produção da companhia é realizada em duas fábricas, uma localizada em São Paulo e a outra no Rio de Janeiro. Segundo os contratos fechados, a empresa precisa entregar 16 toneladas de lâminas finas, 6 toneladas de lâminas médias e 28 toneladas de lâminas grossas. Devido à qualidade dos produtos da Alumilâminas S/A, há uma demanda extra para cada tipo de lâminas. A fábrica de São Paulo tem um custo de produção diária de R$100.000,00 para uma capacidade produtiva de 8 toneladas de lâminas finas, 1 tonelada de lâminas médias e 2 toneladas de lâminas grossas por dia. O custo de produção diário da fábrica do Rio de Janeiro é de R$200.000,00 para uma produção de 2 toneladas de lâminas finas, 1 tonelada de lâminas médias e 7 toneladas de lâminas grossas. Quantos dias cada uma das fábricas deverá operar para atender aos pedidos ao menor custo possível?
- As indústrias Sara Cura de produtos Farmacêuticos desejam produzir dois medicamentos, um analgésico e um antibiótico, que dependem de duas matérias-primas A e B, que estão disponíveis em quantidades de 8 e 5 toneladas, respectivamente. Na fabricação de uma tonelada de analgésico são empregadas uma tonelada da matéria A e uma tonelada da matéria 8, e na fabricação de uma tonelada de antibiótico são empregadas quatro toneladas de A e uma tonelada de B. Sabendo que cada tonelada de antibiótico é vendida a $8,00 e de analgésico a $5,00, encontre, através da determinação dos pontos extremos do conjunto de soluções viáveis, a quantidade de toneladas de medicamentos a ser produzida pelas indústrias Sara Cura de maneira a maximizar sua receita.
Simplex Tabular
- Resolva o seguinte problema de programação linear através do método Simplex Tabular: max. 𝑧 = 16 𝑥 1 + 6 𝑥 2 + 15 𝑥 3 s.a. 10 𝑥 1 + 3 𝑥 2 + 2 𝑥 3 ≤ 1200 5 𝑥 1 + 2 𝑥 2 + 5 𝑥 3 ≤ 2000 com 𝑥 1 , 𝑥 2 , 𝑥 3 ≥ 0
- A Óleos Unidos S.A. é uma empresa no ramo de derivados de petróleo que manufatura três combustíveis especiais a partir da mistura de dois insumos: um extrato mineral e um solvente. No processo de produção não existe perda de material, de forma que a quantidade de litros de extrato mineral somada à quantidade de litros de solvente utilizadas para a fabricação de um tipo de combustível resulta no total de litros daquele combustível fabricado. A proporção da mistura está descrita na tabela a seguir:
Combustível A (litros)
Combustível B (litros)
Combustível C (litros) Extrato Mineral 8 5 4 Solvente 5 4 2
Suponha que a Óleos Unidos tenha disponíveis 120 litros de extrato mineral e 200 litros de solvente, e que os lucros líquidos esperados para os três combustíveis são de R$20,00, R$22,00 e R$18,00 respectivamente. Responda ao que se pede. a) Estabeleça um Modelo de Programação Linear que determine qual a quantidade de cada combustível a ser fabricado, dadas as restrições de matéria-prima. b) Quanto de cada produto deve ser manufaturado para maximizar o lucro da companhia? De quanto é este lucro? (Resolva pelo método Simplex Tabular.) c) Na condição de otimalidade, existe alguma matéria-prima com folga? Quais? De quanto é esta sobra?
- Um pequeno entregador pode transportar madeira ou frutas em seu carrinho de mão, mas cobra R$20,00 para cada fardo de madeira e R$35,00 por saco de frutas. Os fardos pesam 1kg e ocupam 3dm³ de espaço. Os sacos de fruta pesam 1kg e ocupam 3dm³ de espaço. O carrinho tem capacidade de transportar 12kg e 10dm³ e o entregador pode levar quantos sacos e quantos fardos desejar. a) Formule um problema de programação linear para determinar quantos sacos de fruta e quantas tábuas devem ser transportadas para que o entregador ganhe o máximo possível. b) Resolva o problema através do método Simplex Tabular e determine qual será o lucro do entregador e como ele deve encher o seu carrinho.
с) О carrinho será totalmente utilizado? Sobrará capacidade de carga ou capacidade de volume? Quanto?
- Obtenha a solução ótima do problema de programação linear abaixo utilizando o método Simplex Tabular: max. 𝑧 = 4 𝑥 1 + 8 𝑥 2 s.a. 3 𝑥 1 + 2 𝑥 2 ≤ 18 𝑥 1 + 𝑥 2 ≤ 5 𝑥 1 ≤ 4 com 𝑥 1 , 𝑥 2 ≥ 0
- Um navio tem dois compartimentos de carga: um dianteiro e um à popa. O compartimento de carga dianteiro tem uma capacidade de peso de 70.000 quilos e uma capacidade de volume de 30.000 metros cúbicos. O compartimento à popa tem uma capacidade de peso de 90.000 quilos e uma capacidade de volume de 40.000 metros cúbicos. O dono do navio foi contratado para levar cargas de carne de boi empacotada e grão. O peso total da carne de boi disponível é 85.000 quilos; o peso total do grão disponível é 100.000 quilos. O volume por massa da carne de boi é 0,2 metro cúbico por quilo, e o volume por massa do grão é 0,4 metro cúbico por quilo. O lucro para transportar carne de boi é de R$0,35 por quilo, e o lucro para transportar grão é de R$0, por quilo. O dono do navio é livre para aceitar toda ou parte da carga disponível; ele quer saber quantos quilos de carne e quantos quilos de grão deve transportar para maximizar o lucro. Resolva pelo método Simplex Tabular.
- Uma indústria vende dois produtos, P1 e P2, ao preço por tonelada de $70 e $60, respectivamente. A fabricação dos produtos é feita em toneladas e consome recursos que chamaremos de R1 e R2. Estes recursos estão disponíveis nas quantidades de 10 e 16 unidades, respectivamente. A produção de 1 tonelada de P1 consome 5 unidades de R e 2 unidades de R2, e a produção de 1 tonelada de P2 consome 4 unidades de R1 e 5 unidades de R2. Formule um problema de programação linear para determinar quantas toneladas de cada produto devem ser fabricadas para se obter o maior faturamento possível: a) Você pode determinar quanto será o faturamento máximo? b) Você consegue determinar quanto de cada produto deve ser fabricado? c) Como os recursos estão sendo utilizados? Estão sendo subutilizados ou estão insuficientes?
- Obtenha a solução ótima para o problema abaixo utilizando o método Simplex: min. 𝑧 = 𝑥 1 + 2 𝑥 2 s.a. − 5 𝑥 1 + 2 𝑥 2 ≥ − 10 3 𝑥 1 + 5 𝑥 2 ≥ 15 com 𝑥 1 , 𝑥 2 ≥ 0
- A Óleos Unidos S.A. é uma empresa no ramo de derivados de petróleo que manufatura três combustíveis especiais a partir da mistura de dois insumos: um extrato mineral e um solvente. No processo de produção não existe perda de material, de forma que a quantidade de litros de extrato mineral somada à quantidade de litros de solvente utilizadas para a fabricação de um tipo de combustível resulta no total de litros daquele combustível fabricado. A proporção da mistura está descrita na tabela a seguir:
- Considere o seguinte problema de programação linear: min. 𝑧 = −𝑥 1 + 𝑥 2 − 𝑥 3 s.a. 𝑥 1 ≤ 9 𝑥 1 + 𝑥 2 + 𝑥 3 ≤ 2 com 𝑥 1 , 𝑥 2 , 𝑥 3 ≥ 0
Pede-se: a) Formule o problema Dual. b) Resolva o problema Primai pelo método Simplex Tabular.
- Uma empresa de móveis de cozinha fabrica três tipos de mesas de fórmica: quadrada, retangular e redonda. Cada mesa passa por dois processos: de produção e de acabamento. Existem 1.000 horas disponíveis da mão-de-obra para produção e 600 horas para acabamento semanalmente. A tabela abaixo sumariza o número de horas requerido por mesa em cada um dos processos, bem como o lucro unitário de cada mesa:
Modelo de Mesa Produção (horas)
Acabamento (horas)
Lucro Unitário ($) Quadrada (^) 2 2 30 Retangular 3 2 60 Redonda 4 2 80 Total Disponível 1000 600
Pede-se: a) Modele o problema. b) Estabeleça o Dual. c) Escolha qual solucionar e resolva-o através do método Simplex Tabular.
- Um gerente de um SPA chamado Só é Magro Quem Quer contrata você para ajudá-lo com o problema da dieta para os hóspedes. (Observe que ele paga bem: 40% do que você precisa!) Mais especificamente, ele precisa de você para decidir como preparar o lanche das 17:00h. Existem dois alimentos que podem ser fornecidos: cheeseburgueres e pizza. São unidades especiais de cheeseburgueres e pizzas, grandes, com muito molho e queijo, e custam, cada, R$10,00 e R$16,00, respectivamente. Entretanto, o lanche tem que suprir requisitos mínimos de carboidratos e lipídios 40 u.n. e 50 u.n., respectivamente (u.n. significa unidade nutricional). Sabe-se, ainda, que cada cheeseburguer fornece 1 u.n. de carboidrato e 2 u.n de lipídios, e cada pizza fornece 2 u.n. de carboidrato e 5 u.n. de lipídios. O gerente pede:
a) Formule um problema de programação linear para garantir que o SPA forneça os relacionados nutrientes na quantidade pedida, ao menor custo possível. b) A partir do problema obtido no quesito a, descreva o seu dual. Descreva também o que significa cada variável deste novo problema que você está descrevendo. c) Você pode determinar de quanto será o custo mínimo para o SPA? (Resolva através do método Simplex Tabular. d) Você consegue determinar a quantidade de cada um dos alimentos a ser fornecida no lanche? e) Diga se os nutrientes estão sendo fornecidos além do mínimo necessário, e em que quantidade.
max. 𝑧 = 2 𝑥 1 + 3 𝑥 2 + 4 𝑥 3 s.a. 𝑥 1 + 𝑥 2 + 𝑥 3 ≤ 1 𝑥 1 + 𝑥 2 + 2 𝑥 3 = 2 3 𝑥 1 + 2 𝑥 2 + 𝑥 3 ≥ 4 com 𝑥 1 , 𝑥 2 , 𝑥 3 ≥ 0
- O Sr. Pigolino possui uma fazenda de criação de porcos para abate e deseja determinar o custo mínimo de uma dieta que garanta aos animais os seguintes requisitos mínimos de nutrientes: as proteínas devem ser fornecidas em uma quantidade de 200 u.m., as vitaminas 250 u.m. e os carboidratos 120 u.m. Considere que os alimentos disponíveis no mercado são: milho, ração preparada e alfafa, ao custo por quilo de R$20,00, R$30,00 e R$35,00, respectivamente. A tabela abaixo resume a quantidade de cada nutriente (u.m.) presente em um quilo de cada alimento:
Milho Ração Alfafa Proteína 10 10 40 Vitamina 20 20 30 Carboidrato 20 40 20
Pede-se: a) Modele o problema. b) Escreva o seu Dual. c) Escolha, entre o Primai e o Dual, aquele que achar mais fácil de resolver. d) Resolva o problema através do método Simplex Tabular.
- Um artesão de imagens sacras produz duas imagens diferentes: a de Cristo e a de Nossa Senhora. A imagem de Cristo é vendida por R$40,00 e a de Nossa Senhora por R$50,00. Por problemas de saúde, o artesão só consegue trabalhar até 10 dias por mês e se passar um dia inteiro fazendo imagens de Cristo faz uma imagem apenas. Mas, se passar um dia inteiro fazendo imagens de Nossa Senhora, ele não consegue fazer uma imagem inteira: ele precisa de dois dias inteiros para fazer uma única imagem de Nossa Senhora. As imagens são entalhadas em peças de madeira e encaixadas depois. A imagem de Cristo precisa ser montada em duas peças de madeira e a de Nossa Senhora em cinco peças, e só existem 16 peças por mês. Pede-se: a) Formule um problema de programação linear para determinar quantas imagens o artesão deve fazer por mês, de maneira a maximizar sua receita. b) A partir do problema obtido no quesito o, descreva o seu dual. Descreva, também, o que significa cada variável deste novo problema que você está descrevendo. c) Você pode determinar o faturamento do artesão? d) Você consegue determinar a quantidade de cada imagem a ser fabricada? e) Suponha que cada peça de madeira custe para o artesão R$10,00. Suponha, também, que ele precise parar de trabalhar e contrate um funcionário para trabalhar a mesma carga diária, pagando R$10,00 por dia. Você poderia dizer de quanto será o lucro do artesão?
Análise de Sensibilidade
- A Fashion Things Ltda. é uma pequena empresa fabricante de diversos tipos de acessórios femininos, entre eles bolsas de modelos diferentes. A empresa foi convencida, pelo seu distribuidor, de que existe mercado tanto para bolsas do modelo-padrão (preço
- A Beta Inc. deve produzir 1.000 automóveis Beta. A empresa tem quatro fábricas. Devido a diferenças na mão-de obra e avanços tecnológicos, as plantas diferem no custo de produção de cada carro. Elas também utilizam diferentes quantidades de matéria- prima e mão-de-obra, resumidas na tabela abaixo:
Fábrica Custo ($ mil)
Mão-de-obra ($ mil)
Matéria-prima (ton) 1 – Rio 15 2 3 2 – São Paulo 10 3 4 3 – Vitória (^) 9 4 5 4 – Uberaba 7 5 6
Um acordo trabalhista assinado requer que pelo menos 400 carros sejam produzidos na fábrica de Vitória. A empresa pode transferir seus funcionários livremente entre as fábricas sem nenhum ônus. O fornecedor pode entregar a matéria- prima em qualquer uma das cidades sem nenhum custo adicional. Existe uma disponibilidade de 3.300 horas de mão-de-obra e 4.000 toneladas de matéria-prima que podem ser alocadas entre as quatro fábricas. O modelo para resolver este problema é mostrado a seguir. Utilize-o para gerar os relatórios de limites, sensibilidade e respostas gerados pelo Excel e os use para responder as seguintes questões.
min. 𝑧 = 15 𝑥 1 + 10 𝑥 2 + 9 𝑥 3 + 7 𝑥 4 s.a. 2 𝑥 1 + 3 𝑥 2 + 4 𝑥 3 + 5 𝑥 4 ≤ 3300 3 𝑥 1 + 4 𝑥 2 + 5 𝑥 3 + 6 𝑥 4 ≤ 4000 𝑥 1 + 𝑥 2 + 𝑥 3 + 𝑥 4 = 1 𝑥 3 ≥ 400 com 𝑥 1 , 𝑥 2 , 𝑥 3 , 𝑥 4 ≥ 0
Pede-se: a) Quais são as quantias ótimas de produção? Qual o custo de produção? b) Quanto custaria produzir mais um veículo? Quanto economizamos produzindo um veículo a menos? c) Como mudaria sua solução se custasse somente R$8.000,00 para produzir na fábrica 2? Como ficaria o custo? d) Quanto estamos dispostos a pagar por uma hora de trabalho? e) Quanto acordo trabalhista está custando? Qual seria a variação no custo total se o acordo fosse de 200 carros? E se fosse de 600? f) Quanto vale a matéria-prima (conseguir mais uma unidade)? Quantas unidades estamos dispostos a pagar por esse preço? O que ocorre se quisermos mais? g) Quanto deve aumentar o custo na fábrica 1 para que não seja mais vantajoso produzir lá?
- Resolva o problema de programação linear abaixo através da ferramenta Solver do Excel: max. 𝑧 = 4 𝑥 1 + 3 𝑥 2 s.a. 𝑥 1 + 3 𝑥 2 ≤ 7 2 𝑥 1 + 2 𝑥 2 ≤ 8 𝑥 1 + 𝑥 2 ≤ 3 𝑥 2 ≤ 2 com 𝑥 1 , 𝑥 2 ≥ 0
- Uma empresa industrial fabrica três produtos p1, p2 e p3, com lucro unitário de, respectivamente, R$2,00, R$3,00 e R$4,00. O gerente de produção identificou as seguintes restrições no processo produtivo: a) A capacidade produtiva total é de 30 unidades por mês. b) Por utilizar material radioativo, a empresa recebe uma autorização do governo federal para importar apenas uma quantidade fixa de 60kg deste material, o qual deve ser plenamente utilizado durante o mês por motivos de segurança. c) As quantidades necessárias do material radioativo para fabricação dos produtos p1, p2 e p3 são de, respectivamente, 2 kg, 1 kg e 3kg. Encontre o nível de produção ótimo utilizando o Solver do Excel.
- A Nitroglicerina S/A está desenvolvendo um novo aditivo para gasolina de avião. O aditivo é uma mistura de três ingredientes líquidos: А, В e С Para que haja um desempenho adequado, o montante (total) de aditivo (montante do ingrediente A + montante do ingrediente В + montante do ingrediente C) deve ser de, pelo menos, 10 decilitros por litro de gasolina. Entretanto, por questões de segurança, o montante de aditivo não deve exceder 15 decilitros por litro de gasolina. A mistura dos três ingredientes é crítica. No mínimo um decilitro do ingrediente A deve ser usado para cada decilitro do ingrediente B. O montante utilizado do ingrediente С deve ser maior ou igual à metade do montante utilizado do ingrediente A. Encontre, utilizando o Solver do Excel, a mistura dos três produtos com custo mínimo por litro de gasolina de avião, sabendo que o custo por decilitro dos ingredientes А, В e С é de R$0,10, R$0,03 e R$0, respectivamente.
- Para produzir três tipos de telefones celulares, a fábrica da Motorela utiliza três processos diferentes: o de montagem dos aparelhos, configuração e verificação. Para a fabricação do celular Multi Tics, é necessária 0,1 hora de montagem, 0,2 hora de configuração e 0,1 de verificação. O aparelho mais popular, Star Tic Tac, requer 0,3 hora de montagem, 0,1 hora de configuração e 0,1 hora de verificação. Já o moderno Vulcano necessita de 0,4 hora de montagem, 0,1 hora para configuração, e, em virtude de seu circuito de última geração, não necessita de verificação. Devido a uma imposição do governo de economia de energia, a fábrica não pode consumir mais do que 50. KWh/mês de energia, o que significa, de acordo com os cálculos técnicos da empresa, que eles poderão dispor de 290 h/mês na linha de montagem, 250 h/mês na linha de configuração e 110 h/mês na linha de verificação. Sabe-se ainda que o lucro por unidade dos produtos Multi Tics, Star Tic Tac e Vulcano é de R$100, R$210 e R$250, respectivamente; e que a empresa operadora do sistema de telefonia celular adquire todos os celulares produzidos pela Motorela. Pede-se: o número de celulares de cada modelo a ser produzido mensalmente para que a empresa maximize seus lucros. Sabe- se ainda que o presidente da Motorela exige que os três modelos sejam produzidos e quer lucrar pelo menos R$25.200/mês com o modelo Star Tic Tac. Para incentivar o crescimento de seus produtos mais modernos, o presidente também exige que a produção do modelo Vulcano seja pelo menos o dobro do modelo Star Tic Tac. (Resolva utilizando o Solver do Excel.)
- A Verificação Total S/A inspeciona cápsulas de remédios passando-as sobre uma mesa com iluminação especial (a empresa só detém uma única mesa), onde um inspetor verifica visualmente a existência de cápsulas quebradas ou parcialmente avariadas. Atualmente, qualquer um dos três inspetores pode ser alocado para o serviço de
