Lista de exercícios - álgebra linear, Exercícios de Álgebra

Baixe Lista de exercícios - álgebra linear e outras Exercícios em PDF para Álgebra, somente na Docsity! Universidade Federal da Paráıba Centro de Ciências Exatas e da Natureza Departamento de Matemática Mestrado Profissional em Matemática em Rede Nacional Lista de Exerćıcios No 3. MA33 - Introdução à Álgebra Linear Profs: Fernando Xavier de Souza - Pedro A. Hinojosa Questão 1 Seja T : R3 → R3 linear tal que [T ] =  1 1 0 −1 0 1 0 −1 −1  . Determine: (a) T (x, y, z); (b) [T ]B , onde B = {(−1, 1, 0), (1,−1, 1), (0, 1,−1)}; (c) T é invert́ıvel? Justifique. Questão 2 Seja E = M(2) o espaço das matrizes 2× 2. Defina em E o produto interno ⟨, ⟩ dado por: ⟨(aij), (bij)⟩ = 2∑ i,j=1 aijbij . Seja W = {( x y z t ) : x+ y − z = 0 } . Determine uma base ortogonal de W e uma base ortonormal de W⊥. Questão 3 Seja T : R2 → R2 o operador linear cuja matriz na base canônica de R2 é dada por [T ] = ( 0 1 −1 0 ) . Prove que T não é diagonalizável. Questão 4 Em M(2), agora defina o produto interno ⟨A,B⟩ = traco(BT · A). Sejam M =( 1 0 −1 2 ) e T : M(2) → M(2), T (X) = MX −XM. Determine T ∗. Questão 5 Se [I]B2 B1 = ( −1 3 4 −6 ) e B1 = {(3, 5), (1, 2)}. Encontre a base B2. Questão 6 Sejam A = ( 2 4 3 13 ) e B = ( 0 2 1 1 ) . Calcule A35, os autovalores de B e os autovalores de B−1. Questão 7 Em R3 define-se o produto vetorial de dois vetores v = (v1, v2, v3) e w = (w1, w2, w3) como o vetor v × w = (v2w3 − v3w2, −(v1w3 − v3w1), v1w2 − v2w1). Fixado o vetor w = (a, b, c), considere o operador T : R3 → R3, T (v) = v × w. Descreva geometricamente o espaço Ker(T ) e obtenha a uma equação que caracterize Im(T ). Questão 8 Determine o polinômio caracteŕıstico, ache os autovalores e uma base de autovetores para as matrizes: (a)  4 −3 1 1 2 −1 1 1 0 0 −4 3 0 0 2 1  (b)  4 −3 a3 a4 a5 a6 2 −1 b3 b4 b5 b6 0 0 −4 3 c5 c6 0 0 2 1 d5 d6 0 0 0 0 1 3 0 0 0 0 3 −1  .