Universidade Federal da Para´ıba
Centro de Ciˆencias Exatas e da Natureza
Departamento de Matem´atica
Mestrado Profissional em Matem´atica em Rede Nacional
Lista de Exerc´ıcios No3. MA33 - Introdu¸c˜ao `a ´
Algebra Linear
Profs: Fernando Xavier de Souza - Pedro A. Hinojosa
Quest˜ao 1 Seja T:R3→R3linear tal que [T] =
1 1 0
−1 0 1
0−1−1
.Determine:
(a) T(x, y, z);
(b) [T]B,onde B={(−1,1,0),(1,−1,1),(0,1,−1)};
(c) T´e invert´ıvel? Justifique.
Quest˜ao 2 Seja E=M(2) o espa¸co das matrizes 2×2.Defina em Eo produto interno ⟨,⟩dado
por: ⟨(aij),(bij )⟩=
2
∑
i,j=1
aijbij .Seja W={( x y
z t ):x+y−z= 0}.Determine uma base
ortogonal de We uma base ortonormal de W⊥.
Quest˜ao 3 Seja T:R2→R2o operador linear cuja matriz na base canˆonica de R2´e dada por
[T] = (0 1
−1 0 ).Prove que Tn˜ao ´e diagonaliz´avel.
Quest˜ao 4 Em M(2),agora defina o produto interno ⟨A, B⟩=traco(BT·A).Sejam M=
(1 0
−1 2 )eT:M(2) →M(2), T(X) = M X −XM. Determine T∗.
Quest˜ao 5 Se [I]B2
B1=(−1 3
4−6)eB1={(3,5),(1,2)}.Encontre a base B2.
Quest˜ao 6 Sejam A=(2 4
3 13 )eB=(0 2
1 1 ).Calcule A35,os autovalores de Be os
autovalores de B−1.
Quest˜ao 7 Em R3define-se o produto vetorial de dois vetores v= (v1, v2, v3)ew= (w1, w2, w3)
como o vetor v×w= (v2w3−v3w2,−(v1w3−v3w1), v1w2−v2w1).Fixado o vetor w= (a, b, c),
considere o operador T:R3→R3, T (v) = v×w. Descreva geometricamente o espa¸co K er(T)e
obtenha a uma equa¸c˜ao que caracterize Im(T).
Quest˜ao 8 Determine o polinˆomio caracter´ıstico, ache os autovalores e uma base de autovetores
para as matrizes:
(a)
4−3 1 1
2−1 1 1
0 0 −4 3
0 0 2 1
(b)
4−3a3a4a5a6
2−1b3b4b5b6
0 0 −4 3 c5c6
0 0 2 1 d5d6
0 0 0 0 1 3
0 0 0 0 3 −1
.
