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Combinação Linear
Dados os vetores , uma expressão do tipo
, em que são números reais, é umacombinação linear
dos vetores. Por exemplo, o vetor é combinação linear dos vetores e , pois existem os números reais 2 e 3 tal que:
Conferindo:
O vetor não é combinação linear dos vetores e. Vejamos por quê. Tomando as duas primeiras coordenadas, temos:
Ou ainda:
Resolvendo o sistema obtemos e. Assim, só é possível ter se e tiverem esses mesmos valores. Mas, examinando as terceiras coordenadas, vemos que:
Logo, não é combinação linear de e.
Linearmente independente (LI) e Linearmente dependente (LD)
Dizemos que os vetores são linearmente independentes
(LI) quando nenhum deles é combinação linear dos demais. Ou
seja, não é possível encontrar números reais tal que , nem números reais tal que , tampouco números tal que.
Quando for possível escrever pelo menos um dos vetores como
combinação linear dos demais, eles serão linearmente
dependentes (LD).
Vejamos algumas situações:
1ª) Os vetores são linearmente independentes, pois qualquer combinação linear de e tem a primeira coordenada igual a zero; logo, não pode ser igual a cuja primeira ordenada é 1. Observe:
Analogamente, não é combinação linear de e , e não é combinação linear de e.
2ª) Nos vetores , e , observamos que , pois:
Portanto, esses vetores e são linearmente independentes.
Vejamos se a (2ª) equação é verdadeira ou falsa para esses valores. Se for verdadeira os vetores serão LD e se for falsa os vetores serão LI.
Como é verdadeira, podemos escrever com e.
( como combinação linear de e ).
Logo, e são LD.
OBSERVAÇÃO: Se a 4ª equação fosse falsa, não seria combinação linear de e , e os vetores e seriam LI.
