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Introdu¸c˜ao `a

Algebra Linear´

Pl´acido Francisco de Assis Andrade

Universidade Federal do Cear´a

Centro de Ciˆencias

Departamento de Matem´atica

Editora Fundamentos

16 de junho de 2003

Pref´acio

Esse texto foi redigido para atender aos diversos Cursos oferecidos pela Univer- sidade Federal do Cear´a que possuem na sua integraliza¸c˜ao a disciplina semestral Introdu¸c˜ao `a Algebra Linear. Ela ´´ e ministrada por professores do Departamento de Matem´atica e sua ementa ´e desenvolvida em 4 h por semana.

Embora n˜ao seja necess´ario, para facilitar a leitura do texto, o aluno precisar´a de um conhecimento m´ınimo de Geometria Anal´ıtica e determinantes. Os t´opicos estudados no Ensino M´edio s˜ao mais do que suficientes.

O ritmo da apresenta¸c˜ao est´a baseado na experiˆencia de sala de aula e a reda¸c˜ao levou em conta o estudante. Por isso, em alguns momentos, um leitor mais fami- liarizado com Algebra Linear pode achar o texto lento e simples.´ Nˆao ´e o caso do leitor iniciante. A elegˆancia no desenvolvimento dos t´opicos de Algebra Linear´ esconde diversos conceitos aparentemente d´ıspares, tornando seu estudo uma des- coberta constante para aqueles que nunca tiveram a oportunidade de conhecˆe-la sistematicamente.

Sugest˜oes e cr´ıticas sobre o texto ser˜ao bem-vindas.

Pl´acido Francisco de Assis Andrade [email protected] Fortaleza, 21 de mar¸co de 2003

O autor Pl´acido Francisco de Assis Andrade ´e Bacharel, Mestre e Doutor em Matem´atica pela PUC-Rio. Foi professor daquela Institui¸c˜ao no per´ıodo 1972/92, transferindo-se para a UFF, Universidade na qual trabalhou por dois anos. A partir de 1994 ´e Professor Adjunto do Departamento de Matem´atica da UFC e membro da Coordena¸c˜ao de P´os-gradua¸c˜ao de Matem´atica. Suas ´areas de pesquisa concentram-se em Geometria e Topologia.

i

Sum´ario

• 1 O espa¸co vetorial Rn
  • 1.1 O conjunto Rn
  • 1.2 O espa¸co vetorial Rn
  • 1.3 Combina¸c˜ao linear e base canˆonica
  • 1.4 Outras bases de Rn
  • 1.5 Determinantes
  • 1.6 Sistema linear e combina¸c˜ao linear
  • 1.7 Leitura complementar
• 2 Geomeria Anal´ıtica
  • 2.1 Areas e volumes´
  • 2.2 Retas e planos I
• 3 Produto interno
  • 3.1 Produto interno
  • 3.2 Norma de um vetor
  • 3.3 Angulo entre dois vetoresˆ
  • 3.4 Retas e planos II
  • 3.5 Produto vetorial em R
  • 3.6 Leitura complementar
• 4 Subespa¸co vetorial
  • 4.1 Subespa¸co e equa¸c˜ao linear homogˆenea
  • 4.2 Subespa¸co e combina¸c˜ao linear
  • 4.3 O subespa¸co [[v 1 , v 2 , ..., vn]]
  • 4.4 Geradores
  • 4.5 Base
  • 4.6 Dimens˜ao
• 5 Transforma¸c˜oes lineares SUM ARIO´
  • 5.1 Transforma¸c˜oes lineares
  • 5.2 Matriz de uma transforma¸c˜ao linear
  • 5.3 Teorema do n´ucleo e da imagem
  • 5.4 Opera¸c˜oes com transforma¸c˜oes lineares
  • 5.5 Transforma¸c˜oes lineares invert´ıveis
• 6 Operadores lineares
  • 6.1 Construindo operadores lineares
  • 6.2 Autovalor e Autovetor
  • 6.3 Teorema espectral
• 7 Matrizes e determinantes
  • 7.1 Matrizes
  • 7.2 Matrizes quadradas
  • 7.3 Determinantes
  • 7.4 Existˆencia
  • 7.5 Propriedades e matriz inversa
  • 7.6 Regra de Cramer

1.1 O conjunto Rn

conjunto, muitas vezes, indicaremos um par ordenado por v = (x, y) e uma tripla ordenada em R^3 ser´a registrada na forma v = (x, y, z).

As id´eias de ponto, reta, plano e espa¸co empregadas na Geometria Euclidiana s˜ao auto-explic´aveis, n˜ao suportam uma defini¸c˜ao. Denotaremos uma reta, um plano e um espa¸co Euclidianos por E^1 , E^2 e E^3 , respectivamente. A identifica¸c˜ao entre os conjuntos alg´ebricos R^1 , R^2 e R^3 com aqueles ´e do conhecimento de todos, mas recapitulemos a constru¸c˜ao que justifica a existˆencia da Geometria Anal´ıtica. Observamos que devemos distinguir o conjunto alg´ebrico, o conjunto Euclidiano e as figuras que vocˆe faz no papel.

O conjunto das 1-upla ordenadas, R^1 = {(x); x ∈ R}, ´e canonicamente identifi- cado com o conjunto dos n´umeros reais R. N˜ao distinguiremos uma 1-upla ordenada (x) ∈ R^1 de um n´umero real x ∈ R. Para construir uma correspondˆencia um a um entre os n´umeros reais R e os pontos de uma reta Euclidiana E^1 , fixamos uma uni- dade e associamos a cada ponto de uma reta Euclidiana E^1 um ´unico n´umero real, o qual ´e chamado de abscissa do ponto.

Com isso, temos definido uma aplica¸c˜ao P : R → E^1 , pela regra P (x) ´e o ponto da reta Euclidiana cuja abscissa ´e x.

Seja (x, y) ∈ R^2. Escolhidos dois eixos Cartesianos num plano Euclidiano E^2 , digamos ox e oy, defini- mos P : R^2 → E^2 , pela regra P (x, y) ´e o ponto do plano Euclidiano cuja abscissa ´e x e a ordenada ´e y. Reciprocamente, cada ponto no plano ´e associ- ado a um ´unico par ordenado. Fixado o sistema de eixos, o plano Euclidiano passa a ser chamado de plano Cartesiano.

Da mesma forma, seja v = (x, y, z) ∈ R^3. Fixados trˆes eixos Cartesianos em E^3 , ox, oy e oz, defini- mos a aplica¸c˜ao P : R^3 → E^3 por, P (x, y, z) ´e o ponto do espa¸co Euclidiano tal que a abscissa ´e x, a ordenada ´e y e a altura ´e z. Certamente o leitor est´a acostumado com a nota¸c˜ao P (x, y, z). Quando fixamos um sistema de eixos em E^3 passa- mos a cham´a-lo de espa¸co Cartesiano.

Indicamos pontos de En, n = 1, 2 , 3, por letras mai´usculas. Por exemplo, U ∈ E^2 significa um ponto do plano Euclidiano. Ao escrevermos U (2, 3) estamos supondo que j´a fixamos os eixos Cartesianos e este ponto ´e imagem do ponto u = (2, 3) ∈ R^2 , pela aplica¸c˜ao P : R^2 → E^2. Essa ser´a uma regra notacional. O ponto v = (x, y)

1.2 O espa¸co vetorial Rn

ter´a sua imagem pela aplica¸c˜ao P indicada por V (x, y) em lugar de P (x, y), o ponto w = (− 1 , 4) ter´a sua imagem indicada por W (− 1 , 4), etc. Uma regra notacional similar ser´a utilizada para R^3.

Exerc´ıcio 1.1.1 Represente graficamente

1. os pontos P (2, 3), Q(− 1 , 2), R(− 2 , −3) e O(0, 0) do plano Cartesiano;
2. os pontos P (2, 3 , 1), Q(− 1 , 2 , −1) e R(− 2 , − 3 , 1) e O(0, 0 , 0) do espa¸co Carte- siano.

1.2 O espa¸co vetorial Rn

Em Rn, definimos duas opera¸c˜oes bin´arias, a soma de dois elementos e a multi- plica¸c˜ao de um elemento por um escalar. Aqui, o termo escalar significa n´umero real. As opera¸c˜oes s˜ao definidas pelas seguintes regra. Se v = (x 1 , x 2 , ..., xn), w = (y 1 , y 2 , ..., yn) ∈ Rn^ e λ ∈ R estabelecemos que

v + w = (x 1 + y 1 , x 2 + y 2 , ..., xn + yn),

λv = (λx 1 , λx 2 , ..., λxn).

Diz-se que as opera¸c˜oes equipam Rn^ com uma estrutura de espa¸co vetorial. Agora, os pontos do Rn^ passam a ser chamados de vetores. N˜ao ´e necess´ario que o leitor tenha familiaridade com essa estrutura alg´ebrica para continuar a leitura do texto, na se¸c˜ao Leitura Complementar desse cap´ıtulo ´e apresentada a defini¸c˜ao de espa¸co vetorial.

Utilizamos uma terminologia pr´opria quando estamos falando acerca do espa¸co vetorial Rn. Por exemplo, escalar significa um n´umero real, como j´a foi dito. O vetor nulo ´e o vetor o = (0, 0 , ..., 0). Dois vetores v, w ∈ Rn^ s˜ao colineares quando existe um escalar λ tal que v = λw ou w = λv.

Exemplo 1.2.1 Sejam v = (2, −1) e w = (− 4 , 7) vetores de R^2. Pela defini¸c˜ao, a soma dos vetores ´e efetuada coordenada a coordenada,

v + w = (2, −1) + (− 4 , 7) = (2 − 4 , −1 + 7) = (− 2 , 6).

Se λ = −3 ent˜ao λv = − 3 · (2, −1) = (− 6 , 3). O vetor u = (− 4 , 2) ´e colinear com v pois u = − 2 v.

E f´^ ´ acil verificar que as duas opera¸c˜oes gozam de v´arias propriedades, como por exemplo, a soma de vetores ´e comutativa, v + w = w + v, ou que a soma de qualquer vetor v com o vetor nulo ´e o pr´oprio vetor, v +o = v. Novamente, remetemos o leitor

CAP´ITULO 1. O ESPAC¸ O VETORIAL RN

Exerc´ıcio 1.2.2 Sejam P (3, −1) e Q(− 4 , 3) dois pontos de E^2. Esboce os seguintes segmentos ori- entados,

P Q,

QP ,

QQ e

OP. Calcule os vetores do R^2 representados pelos segmentos orientados.

O segmento orientado canˆonico para represen- tar o vetor v = (x 1 , x 2 , ..., xn) ´e aquele que tem como ponto inicial a origem O(0, 0 , ..., 0) e ponto

4.3 O subespa¸co [[v 1 , v 2 , ..., vn]]

Falando numa linguagem informal, obtido um representante do vetor com ponto inicial a origem O(0, 0 , ..., 0), qualquer outro representante ´e obtido por transporte paralelo daquele. Feitas essas considera¸c˜oes passemos `as contru¸c˜oes.

a) Da mesma forma, definimos uma representa¸c˜ao do espa¸co vetorial R^2 estabe- lecendo que −→ P (x, y) ´e o segmento orientado − OP−→ cujo ponto inicial ´e a origem e o ponto final ´e P (x, y).

b) Similarmente fazemos a representa¸c˜ao do espa¸co vetorial R^3 estabelecendo que −→ P (x, y, z) ´e o segmento orientado − OP−→ cujo ponto inicial ´e a origem e o ponto final ´e P (x, y, z).

Coment´ario As duas opera¸c˜oes ´algebricas definidas em Rn^ podem ser visualizadas quando n = 2 ou n = 3, utilizando segmentos orientados.

Apresentemos o caso planar, n = 2, para o caso espacial, n = 3, as constru¸c˜oes s˜ao as mesmas. Desejamos registrar graficamente a opera¸c˜ao v + w, onde v = (3, 1) e w = (− 2 , 1). N˜ao podemos somar segmentos orientados quaisquer, mas podemos definir a soma de segmentos orientados quando o ponto final do primeiro ´e o ponto inicial do segundo, − OV−→ + − V P−→ = − OP−→.

1.2. O ESPAC¸ O VETORIAL RN

Para representar o vetor v podemos escolher o seg- mento orientado com pontos iniciais e finais 0(0, 0) e V (3, 1), respectivamente. Quanto ao vetor w po- demos escolher para representante o segmento ori- entado com pontos iniciais e finais V (3, 1) e P (1, 2), respectivamente. Sendo assim, a soma v + w ´e re- presentada por − 0 →P.

A representa¸c˜ao gr´afica ´e v´alida para a soma de trˆes ou mais vetores. Se desejamos representar a soma u + v + w, coloca-se os representantes dos vetores de tal forma que o ponto final de um ´e o ponto inicial do seguinte,

P Q +

QR +

RS =

P S.

Vejamos a representa¸c˜ao gr´afica da multiplica¸c˜ao de um vetor por um escalar.

Escolhamos v = (3, 1), λ 1 = 2 e λ 2 = −2. Se o representante escolhido para do vetor v for − P Q−→, onde P (a, b) e Q(c, d), o representante de

λiv ´e o segmento orientado

P ′Q′^ com coordena- das P ′(λia, λib) e Q′(λic, λid). Mais conveniente ´e escolher um representante para v na forma

OR,

com R(3, 1), pois os m´ultiplos λiv s˜ao graficamente registrados sobre uma mesma reta que cont´em a origem do plano Cartesiano.

Exerc´ıcios propostos 1.2.

1. Seguindo a nota¸c˜ao do livro texto, quais dos registros s˜ao v´alidos: a) v(2, 1) b) P (2, 1) c) v = (2, 1) d) P = (2, 1) e) (2, 1) ∈ R^2 f) (2, 1) ∈ E^2 g) E^2 = R^2 h) P (2, 1) ∈ R^2 i) − P Q−→ ∈ R^2 j) − P Q−→ ∈ E^2 k) v = − P Q−→ l) P ∈ E^2 m) v ∈ R^2 n) R^2 ⊂ R^3 o) P (2, 1) ∈ E^2
2. Sejam v = (2, −1) e w = (3, −2) vetores em R^2. Calcule 3v − w e v + 2w e represente graficamente os vetores por segmentos orientados com ponto inicial O(0, 0). Represente-os com ponto inicial P (− 2 , 1).
3. Considere os pontos P (1, −1), Q(− 3 , 3) e R(2, 2) do plano Cartesiano. a) Esboce os segmentos orientados − P Q−→ e − QR−→ e − QQ−→. b) Determine os vetores u, v e w de R^2 representados pelos segmentos orientados − P Q−→, − QR−→ e − QQ−→. Qual a rela¸c˜ao entre os vetores representados por − P Q−→ e − QP−→. c) Represente graficamente a soma u + v por um segmento orientado cujo ponto inicial ´e o ponto P e represente o vetor 2u com ponto final M (2, 2).

1.3. COMBINAC¸ AO LINEAR E BASE CAN ˜ ONICAˆ

trajet´oria ´e feita em zig-zag ou n˜ao, levando em conta o sentido positivo e negativo das dire¸c˜oes no final teremos a mesma combina¸c˜ao linear. Se consideramos apenas um ´unico vetor, v 1 ∈ R^2 , ao dizermos que w ∈ R^2 ´e uma combina¸c˜ao li- near de v 1 estamos apenas afirmando que w ´e um m´ultiplo de v 1 , em outras palavras, w = a 1 v 1. Te- mos uma ´unica dire¸c˜ao no plano Cartesiano. Sendo assim, nem todos pontos do plano podem ser al- can¸cados partindo-se da origem, apenas aqueles que est˜ao sobre a reta diretriz que passa pela ori- gem. Falta uma dire¸c˜ao transversal para para des- crever todas as trajet´orias poligonais poss´ıveis.

Defini¸c˜ao 1.3.1 Um subconjunto ordenado de n vetores β = {v 1 , v 2 , ..., vn} ⊂ Rn ´e uma base se qualquer vetor w ∈ Rn^ ´e uma combina¸c˜ao linear dos elementos de β.

A express˜ao ”subconjunto ordenado” significa que existe um primeiro elemento, e ele est´a indexado por 1, um segundo elemento que est´a indexado por 2, etc. A defini¸c˜ao de base d´a origem a um s´erie de perguntas de car´ater t´ecnico e pr´atico.

1. Existe base para o Rn?
2. Se w ∈ Rn^ e β ´e uma base, quais s˜ao e como podemos calcular os coeficientes ai’s da combina¸c˜ao linear w = a 1 v 1 + a 2 v 2 + · · · + anvn?
3. Quantas bases existem para o Rn?
4. Dado um subconjunto de n vetores β ⊂ Rn, qual um algor´ıtmo pr´atico para sabermos se ele ´e uma base?

A primeira pergunta tem resposta f´acil. Existe pelo menos uma base ordenada para o Rn. O subconjunto de n vetores C = {e 1 , e 2 , ..., en} cujos elementos s˜ao e 1 = (1, 0 , ..., 0), e 2 = (0, 1 , ..., 0),... en = (0, 0 , ..., 1).

´e uma base. O subconjunto C ser´a chamado de base canˆonica pelos seguintes mo- tivos. Dado um vetor w = (x 1 , x 2 , ..., xn) ∈ Rn^ ´e imediato mostrar que w ´e uma combina¸c˜ao linear do vetores de C e quais s˜ao os coeficientes da combina¸c˜ao linear: w = (x 1 , x 2 , ..., xn) = x 1 e 1 + x 2 e 2 + · · · + xnen.

Exemplo 1.3.2 A base canˆonica do R^2 ´e um conjunto formado por dois vetores, C = {e 1 , e 2 }, onde e 1 = (1, 0) e e 2 = (0, 1). O vetor v = (−

3 , − 24 ) ´e uma combina¸c˜ao linear dos vetores da base canˆonica, e ´e f´acil determinar imediatamente quais os coeficientes da combina¸c˜ao linear a 1 e a 2 , v = −

3 e 1 − 24 e 2.

CAP´ITULO 1. O ESPAC¸ O VETORIAL RN

Exemplo 1.3.3 Considere o vetor w = (2, − 2 , 4) ∈ R^3. A base canˆonica C do R^3 ´e formada por trˆes vetores e 1 = (1, 0 , 0), e 2 = (0, 1 , 0) e e 3 = (0, 0 , 1). Veja a seguinte seq¨uˆencia de igualdades,

w = (2, − 2 , 4) = (2, 0 , 0) + (0, − 2 , 0) + (0, 0 , 4) = 2(1, 0 , 0) − 2(0, 1 , 0) + 4(0, 0 , 1) = 2 e 1 − 2 e 2 + 4e 3.

Portanto, na base canˆonica, as coordenadas do vetor s˜ao os coeficientes da com- bina¸c˜ao linear!

Para a base canˆonica a segunda pergunta tem resposta r´apida e precisa.

Afirma¸c˜ao Ao escrevermos o vetor w ∈ Rn^ como uma combina¸c˜ao linear dos ele- mentos da base canˆonia C, os coeficientes da combina¸c˜ao linear s˜ao unicos´.

Se n˜ao, vejamos. Seja w = (w 1 , w 2 , ..., wn) ∈ Rn. Escrevamos a combina¸c˜ao linear w = a 1 e 1 + a 2 e 2 + · · · + anen. Examine a seq¨uˆencia de igualdades,

(w 1 , w 2 , ..., wn) = w = a 1 e 1 + a 2 e 2 + · · · + anen = a 1 (1, 0 , ..., 0) + a 2 (0, 1 , ..., 0) + · · · + an(0, 0 , ..., 1) = (a 1 , 0 , ..., 0) + (0, a 2 , ..., 0) + · · · + (0, 0 , ..., an ) = (a 1 , a 2 , ..., an).

Sendo assim, necessariamente valem as igualdades ai = wi para todo i = 1, ..., n. Temos conclu´ıdo a demonstra¸c˜ao da Afirma¸c˜ao.

Em particular, o vetor nulo, o = (0, 0 , ..., 0), s´o pode ser escrito por uma ´unica combina¸c˜ao linear, a saber, o = 0e 1 + 0e 2 + · · · + 0en.

Exerc´ıcio 1.3.3 Quantos elementos possui a base canˆonica do R^4? Escreva-os.

1.4 Outras bases de Rn

Passemos `a terceira pergunta da lista apresentada na se¸c˜ao anterior.

Existe(m) outra(s) base(s) ordenada(s) para o Rn?

Antecipemos a resposta. Sim, o Rn^ possui um n´umero infinito de bases ordena- das al´em da base canˆonica! Mostrar a existˆencia de outras bases ordenadas est´a relacionada com ◦ determinantes de matrizes quadradas n × n e ◦ resolu¸c˜oes de sistemas de equa¸c˜oes lineares n × n.

CAP´ITULO 1. O ESPAC¸ O VETORIAL RN

Deixemos claro como a condi¸c˜ao do determinante n˜ao ser zero, det[v 1 , v 2 ] = 1 = 0, implica que β = {v 1 , v 2 } ´e uma base. O elo de liga¸c˜ao entre os dois fatos ´e a regra de Cramer um m´etodo para resolu¸c˜ao de sistemas lineares n × n cuja demonstra¸c˜ao encontra-se no ´ultimo cap´ıtulo do texto.

Para mostrar que β ´e uma base, devemos mostrar que dado um vetor w = (x, y) ∈ R^2 existem coeficientes a 1 e a 2 tais que

w = a 1 v 1 + a 2 v 2.

Escrevamos essa ´ultima igualdade em coordenadas,

(x, y) = (a 1 + a 2 , a 1 + 2a 2 )

Portanto, a igualdade w = a 1 v 1 + a 2 v 2 d´a origem a um sistema de equa¸c˜oes li- neares com duas equa¸c˜oes e duas inc´ognitas, a 1 e a 2 , escrito na forma usual ou matricialmente como { a 1 + a 2 = x a 1 + 2 a 2 = y

ou

[

] [

a 1 a 2

]

[

x y

]

A matriz principal do sistema ´e precisamente [v 1 , v 2 ] e as matrizes auxiliares s˜ao [w, v 2 ] e [v 1 , w]. Explicitamente,

[v 1 , v 2 ] =

[

]

, [w, v 2 ] =

[

x 1 y 2

]

, [v 1 , w] =

[

1 x 1 y

]

Como a matriz principal ´e quadrada com determinante n˜ao igual a zero, podemos utilizar a Regra de Cramer para determinar as inc´ognitas a 1 e a 2 ,

a 1 =

det[w, v 2 ] det[v 1 , v 2 ] = 2x − y e a 2 =

det[v 1 , w] det[v 1 , v 2 ] = y − x.

Logo, w = (2x − y)v 1 + (y − x)v 2 e os coeficientes s˜ao ´unicos pois s˜ao as ´unicas solu¸c˜oes do sistema. Observamos que s´o existe uma combina¸c˜ao linear poss´ıvel para expressar o vetor nulo, qual seja, o = (0, 0), ´e o = 0v 1 + 0v 2.

Teorema 1.4.1 (Regra de Cramer) Seja β = {v 1 , v 2 , ..., vn} ⊂ Rn^ um conjunto ordenado de n vetores. Se det[v 1 , v 2 , ..., vn] = 0 ent˜ao β ´e base. Mais precisamente, se o determinante for diferente de zero, ent˜ao cada vetor w ∈ Rn^ expressa-se como ´unica combina¸c˜ao linear na forma w = a 1 v 1 + a 2 v 2 + · · · + anvn onde os coeficientes s˜ao dados por

a 1 = det[w, v 2 , ..., vn] det[v 1 , v 2 , ..., vn] , a 2 = det[v 1 , w, ..., vn] det[v 1 , v 2 , ..., vn] , · · · an = det[v 1 , v 2 , ..., w] det[v 1 , v 2 , ..., vn]

Em particular, a ´unica combina¸c˜ao linear com os elementos de β para expressar o vetor nulo tem coeficientes todos iguais a zero.

1.4. OUTRAS BASES DE RN

Prova Vamos supor que det[v 1 , v 2 , ..., vn] = 0. Dado w ∈ Rn^ ele pode ser expresso como uma combina¸c˜ao linear do vetores de β como w = a 1 v 1 + a 2 v 2 + · · · + anvn. Essa afirma¸c˜ao encontra-se demonstrada no ´ultimo cap´ıtulo do livro.

Para mostrar que os coeficientes s˜ao aqueles indicados pelas f´ormulas ´e f´acil. Por linearidade do determinante temos que (veja na se¸c˜ao seguinte algumas propriedades de determinantes que s˜ao do conhecimentos do leitor desde o Ensino M´edio)

det[v 1 , ...vi− 1 , w, vi+1, ..., vn] = Σnj=1aj det[vi, v 2 , ..., vi− 1 , vj , vi+1, ..., vn].

No membro direito, a ´unica parcela da soma que n˜ao ´e nula ´e precisamente quando j = i, pois para ´ındices diferentes de j duas colunas da matriz s˜ao iguais. Portanto,

det[v 1 , ...vi− 1 , w, vi+1, ..., vn] = ai det[vi, v 2 , ..., vi− 1 , vi, vi+1, ..., vn].

Como o determinante da matriz [v 1 , v 2 , ..., vn] n˜ao ´e zero, conclu´ımos que ai neces- sariamente ´e como descrito no enunciado.

Os coeficientes para expressar o vetor nulo o = (0, 0 , ..., 0) como combina¸c˜ao linear necessariamente deve ser ai = 0, para todo i, pois o numerador da fra¸c˜ao ´e o determinante de uma matriz com uma coluna igual a zero.

Exemplo 1.4.3 Mostremos que β = {v 1 , v 2 , v 3 } ⊂ R^3 ´e uma base, onde v 1 = (1, 1 , 0), v 2 = (1, 0 , 1) e v 3 = (0, 1 , 1). Basta considerar a matriz

[v 1 , v 2 , v 3 ] =

e calcular seu determinante det[v 1 , v 2 , v 3 ] = −2. Como o determinante n˜ao ´e zero, segue que β ´e uma base do R^3.

Expressemos w = (3, − 2 , 3) por uma combina¸c˜ao linear dos vetores de β, w = a 1 v 1 + a 2 v 2 + a 3 v 3. Substituindo obtemos

(3, − 2 , 3) = (a 1 + a 2 , a 1 + a 3 , a 2 + a 3 ),

de onde segue o sistema linear   

a 1 + a 2 = 3 a 1 + a 3 = − 2 a 2 + a 3 = 3

ou

a 1 a 2 a 3

Para calcular os coeficientes a 1 ’s, precisaremos das matrizes auxiliares,

[w, v 2 , v 3 ] =

 

3 1 0 − 2 0 1 3 1 1

  (^) , [v 1 , w, v 3 ] =

 

1 3 0 1 − 2 1 0 3 1

  (^) , [v 1 , v 2 , w] =

 

1 1 3 1 0 − 2 0 1 3

 ,

1.5 Determinantes

1.5 Determinantes

A t´ecnica b´asica para estudar problemas de Algebra Linear ´´ e a resolu¸c˜ao de sistemas lineares. Existem muitos m´etodos para resolu¸c˜ao: m´etodo de Gauss, escalonamento de matrizes, substitui¸c˜ao, etc. Nesse texto utilizaremos, preferencialmente, a regra de Cramer, m´etodo mais claro e apropriado para o estudo dos espa¸cos R^2 e R^3. Como necessitaremos de determinantes para a resolu¸c˜ao de sistemas lineares faremos uma breve apresenta¸c˜ao do t´opico ficando as demonstra¸c˜oes no cap´ıtulo final. No que segue o s´ımbolo [A] = [v 1 , v 2 , ..., vk ] indica uma matriz quadrada k × n onde as colunas s˜ao as coordenadas de um vetor vi ∈ Rn. Nessa nota¸c˜ao a matriz identidade n × n escreve-se como [I] = [e 1 , e 2 , ..., en], onde ei indica o i-´esimo elemento da base canˆonica do Rn. O determinante de uma matriz 2 × 2 Sejam v 1 = (a, b) e v 2 = (c, d) veto- res do R^2. Definimos

det[v 1 , v 2 ] = det

[

a c b d

]

= ad − bc.

Exerc´ıcio 1.5.1 Dados os vetores v 1 = (1, −2) e v 2 = (4, 5) em R^2. Verifique as igualdades. a) det[e 1 , e 2 ] = 1. b) det[v 1 , v 2 ] = 13. c) det[v 1 , v 1 ] = 0 = det[v 2 , v 2 ]. O item a) mostra que o determinante da matriz identidade ´e igual a 1. O item c) ilustra o fato: quando dois vetores colunas de uma matriz s˜ao iguais, o determinante ´e zero. Agora, considere o vetor w = (− 3 , 1). Verifique as igualdades.

e) det[v 1 , v 2 + 3w] = det[v 1 , v 2 ] + 3 det[v 1 , w].

f) det[v 1 − 2 w, v 2 ] = det[v 1 , v 2 ] − 2 det[w, v 2 ]. Com isso, ilustramos o fato do determinante ser linear ao fixamos uma coluna.

O determinante de uma matriz 3 × 3 ´e definido pela regra conhecida como desenvolvimento de Laplace pela primeira coluna. A partir do determinante de matrizes 2 × 2 define-se o determinante de matrizes 3 × 3. Sejam v 1 = (a, b, c), v 2 = (d, e, f ) e v 3 = (g, h, i), ent˜ao

det[v 1 , v 2 .v 3 ] = det

a d g b e h c f i

= a det

[

e h f i

]

− b det

[

d g f i

]

• c det

[

d g e h

]

CAP´ITULO 1. O ESPAC¸ O VETORIAL RN

Certamente o leitor aprendeu algum algor´ıtmo na Escola para calcular o deter- minante de uma matriz 3 × 3. Todas elas s˜ao varia¸c˜oes da defini¸c˜ao acima, utilize a mais confort´avel, a resposta ´e a mesma.

Exerc´ıcio 1.5.2 Dados os vetores v 1 = (0, − 2 , 1) e v 2 = (1, 1 , 0) e v 3 = (3, 1 , 1) em R^3. Verifique as igualdades. a) det[e 1 , e 2 , e 3 ] = 1. b) det[v 1 , v 2 , v 3 ] = 1. c) det[v 1 , v 1 , v 3 ] = 0 = det[v 1 , v 2 , v 2 ]. O item a) mostra que o determinante da matriz identidade ´e igual a 1. O item c) ilustra o fato: quando dois vetores colunas de uma matriz s˜ao iguais, o determinante ´e zero. Agora, considere o vetor w = (1, 1 , 2). Verifique as igualdades.

e) det[v 1 , v 2 − w, v 3 ] = det[v 1 , v 2 , v 3 ] − det[v 1 , w, v 3 ].

f) det[v 1 , v 2 , v 3 + 2w] = det[v 1 , v 2 , v 3 ] + 2 det[v 1 , v 2 , w]. Com isso ilustramos o fato do determinante ser linear ao fixarmos duas colunas.

O determinante de uma matriz n × n O determinante ´e definido como uma fun¸c˜ao dos espa¸co das matrizes n × n nos reais possuindo trˆes propriedades:

1. det[e 1 , e 2 , ..., en] = 1; (determinante da identidade)
2. det[v 1 , ..., vi, vi+1, ..., vn] = 0 se vi = vi+1; (colunas adjacentes iguais)
3. det[v 1 , ..., vi + λw, ..., vn ] = det[v 1 , ..., vi, ..., vn] + λ det[v 1 , ..., w, ...vn ] para qualquer w ∈ Rn^ e qualquer λ ∈ R. (multilinearidade)

Embora seja enfadonho, verifica-se que determinantes de matrizes 2 × 2 e 3 × 3 possuem essas propriedades. Para definirmos o determinante de matrizes 4 × 4 utiliza-se o determinante de matrizes 3 × 3 pelo desenvolvimento de Laplace pela primeira coluna. Deixamos para leitura complementar a constru¸c˜ao do determinante de matrizes n × n com n ≥ 4. Um teorema central da teoria estabelece uma rela¸c˜ao entre o determinante ser igual a zero e combina¸c˜oes lineares de colunas (ou de linhas).

Teorema 1.5.1 Seja [A] = [v 1 , v 2 , ..., vn] uma matriz quadrada n × n. As seguin- tes afirma¸c˜oes s˜ao eq¨uivalentes:

1. det[A] = 0;
2. existe um vetor coluna que ´e combina¸c˜ao linear dos outros vetores colunas;
3. existe um vetor linha que ´e combina¸c˜ao linear dos outros vetores linhas.