Lista de Exercícios-Álgebra Linear, Exercícios de Geometria Analítica e Álgebra Linear

Baixe Lista de Exercícios-Álgebra Linear e outras Exercícios em PDF para Geometria Analítica e Álgebra Linear, somente na Docsity! ZAB 0161 - Álgebra linear com aplicações em geometria anaĺıtica Lista 2 - Gabarito Para todo sistema de equações lineares utilizar o método de eliminação Gauss ou Gauss-Jordan. 1. Aplique a eliminação de Gauss para decompor a matriz A em uma matriz triangular inferior L e outra triangular superior U , tal que A = LU , (se posśıvel): Resolução: Utilizando o método de eliminação de Gauss-Jordan podemos triangularizar (superior) a matriz A dada, zerando todas as entradas abaixo da diagonal. Assim tem-se a matriz U . Observar que os fatores utilizados nas operações elementares (com sinal trocado) formam as entradas da matriz L. A matriz L tem a caracteŕıstica de possuir 1 em cada entrada da diagonal e zeros acima dela. (a) A = [ 1 2 3 4 ] . Aplicando a eliminação de Gauss, zeramos a entrada a21, multiplicando a primeira linha vezes (−3) e somando na segunda linha. Então [ 1 2 3 4 ] ∼ [ 1 2 0 −2 ] . Feito, abaixo da diagonal (a única entrada) só tem entrada zero. Logo, U = [ 1 2 0 −2 ] e montamos L = [ 1 0 3 1 ] . (b) A =  1 2 34 5 6 7 8 9  A ∼  1 2 30 −3 −6 0 −6 −12  ∼  1 2 30 −3 −6 0 0 0  . Então U =  1 2 30 −3 −6 0 0 0  e L =  1 0 04 1 0 7 2 1  . (c) A =  5 3 07 9 2 −2 −8 −1  ∼  5 3 00 245 2 0 −345 1  ∼  5 3 00 245 2 0 0 116 . Então U =  5 3 00 245 2 0 0 116  e L =  1 0 07 5 1 0 − 25 − 17 12 1 . (d) A =  1 3 02 1 2 2 4 1  ∼  1 3 00 −5 2 0 −2 1  ∼  1 3 00 −5 2 0 0 15 . 1 Então U =  1 3 00 −5 2 0 0 15  e L =  1 0 02 1 0 2 25 1 . 2. Utilize a decomposição LU da matriz A, para resolver as equações a seguir: (a)  5 3 0−7 −9 −2 2 8 1 F =  1−2 −3 . Escrevemos por simplicidade como AX = F . Fazendo a decomposição A = LU , temos 5 3 0−7 −9 −2 2 8 1  =  1 0 0− 75 1 0 2 5 − 17 12 1  5 3 00 − 245 −2 0 0 − 116  . Logo temos que resolver LUX = F . Observar que criando uma nova matriz variável UX = Y o sistema fica LY = F , que é um sistema triangular, fácil de resolver começando de cima para baixo. Resolvendo LY = F , temos a solução Y =  1− 35 − 174 . Agora resolvemos UX = Y , obtendo X a solução do sistema, X =  3144− 3744 51 22 . (b)  −1 −3 02 1 2 −2 −4 −1 F =  −12 −3 . Identicamente, fazendo a decomposição LU temos:  −1 −3 02 1 2 −2 −4 −1  =  1 0 0−2 1 0 2 − 25 1  −1 −3 00 −5 2 0 0 − 15  . Resolvendo LY = F temos Y =  −10 −1 , resolvendo UX = Y temos X =  −52 5 . 3. Sejam a e b coeficientes escalares. Considere o seguinte sistema de equações lineares x+ 3y + z = b2x+ ax+ 3z = 1 4x+ 2y = 0 . (a) Discuta o sistema em função dos coeficientes a e b. Resolvendo o sistema por eliminação, começando pela terceira coluna que já tem uma entrada com 1 e outra com zero: 1 3 1 | b(2 + a) 0 3 | 1 4 2 0 | 0  ∼  1 3 1 | b(a− 1) −9 0 | 1− 3b 4 2 0 | 0  ∼  −5 0 1 | b(a+ 17) 0 0 | 1− 3b 2 1 0 | 0  . Falta um pivô igual a 1 na segunda linha, mas como não temos o valor de a, não sabemos se a entrada (a+ 17) é zero ou diferente de zero. Analisamos os dois casos por separado. 2 Temos um valor definido b = 8. Falta determinar as outras três incôgnitas e para elas temos seis equações (restrições). Deve ser resolvido o sistemas de 6 equações com 3 incôgnitas. A matriz estendida é 2 2 0 2 1 0 −1 1 0 1 −1 −4 1 1 −1 −1 2 2 −1 0 1 0 −2 1  ∼  0 2 2 0 1 0 −1 1 0 1 −1 −4 0 1 0 −2 0 2 1 −2 0 0 −1 0  ∼  0 0 4 8 1 0 −1 1 0 1 −1 −4 0 0 1 2 0 0 3 6 0 0 −1 0  ∼  0 0 0 0 1 0 0 3 0 1 0 −2 0 0 1 2 0 0 0 0 0 0 0 2  . Portanto, temos uma equação inconsistente 0 = 2 (FALSO). Observar como existem duas equações consideram a verdade evidente 0 = 0, mas como existe uma inconsistência o sistema não tem solução. Não é posśıvel determinar um valor para x+ y + z. 6. Determine uma equação que relacione a, b e c para que o sistema linear abaixo tenha solução para quaisquer valores de a, b e c que satisfazem essa equação. 2x+ 2y + 3z = a5z + 3x− y = b x+ 2z − 3y = c . Considerando a matriz extendida: 2 2 3 a3 −1 5 b 1 −3 2 c  ∼  1 1 32 a20 −4 12 −3a+2b2 0 −4 12 −a+2c 2  ∼  1 0 138 a+2b80 1 − 18 3a−2b8 0 0 0 a− b+ c  . Assim, existirá solução (infinitas soluções) só quando a equação a − b + c = 0 seja válida. Caso contrário não existirá solução. 7. Calcular as matrizes inversas (se posśıvel) de (a)  2 3 42 1 1 −1 1 2   2 3 4 1 0 02 1 1 0 1 0 −1 1 2 0 0 1  ∼  1 32 2 12 0 02 1 1 0 1 0 −1 1 2 0 0 1  ∼  1 32 2 12 0 00 −2 −3 −1 1 0 0 52 4 1 2 0 1  ∼  1 0 0 | −1 2 10 1 0 | 5 −8 −6 0 0 1 | −3 5 4  . Então A−1 =  −1 2 15 −8 −6 −3 5 4  . 5 (b)  1 2 22 −1 1 1 3 2   1 2 2 | 1 0 02 −1 1 | 0 1 0 1 3 2 | 0 0 1  ∼  1 2 2 | 1 0 00 −5 −3 | −2 1 0 1 3 2 | 0 0 1  ∼  1 2 2 | 1 0 00 1 0 | −1 0 1 0 0 1 | 73 − 1 3 − 5 3  ∼  1 0 0 | − 53 23 430 1 0 | −1 0 1 0 0 1 | 73 − 1 3 − 5 3  . A−1 =  − 53 23 43−1 0 1 7 3 − 1 3 − 5 3  . (c)  0 1 0 0 0 0 2 0 2 0 0 0 0 3 0 1 0 0 0 0 1 0 2 0 0 0 0 3 0 1 0 0 0 0 2 0   0 1 0 0 0 0 | 1 0 0 0 0 0 2 0 2 0 0 0 | 0 1 0 0 0 0 0 3 0 1 0 0 | 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 2 0 | 0 0 0 1 0 0 0 0 0 3 0 1 | 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 2 0 | 0 0 0 0 0 1  ∼  1 0 1 0 0 0 | 0 12 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 | 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 | 0 0 0 1 0 −1 0 0 0 1 0 0 | −3 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 | 0 0 0 0 0 12 0 0 0 0 0 1 | 9 0 −3 0 1 0  ∼  1 0 0 0 0 0 | 0 12 0 −1 0 1 0 1 0 0 0 0 | 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 | 0 0 0 1 0 −1 0 0 0 1 0 0 | −3 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 | 0 0 0 0 0 12 0 0 0 0 0 1 | 9 0 −3 0 1 0  . A−1 =  0 12 0 −1 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 −1 −3 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 12 9 0 −3 0 1 0  . 6 Figura 1: Temperaturas em uma placa quadrada. As temperaturas nos pontos da fronteira são conhe- cidas. (d) [ cos(θ) −sen(θ) sen(θ) cos(θ) ] [ cos (θ) −sen (θ) |1 0 sen (θ) cos (θ) |0 1 ] ∼ [ 1 −tg (θ) | sec (θ) 0 0 1 | −sen (θ) cos (θ) ] ∼ ∼ [ 1 0 | cos (θ) sen (θ) 0 1 | −sen (θ) cos (θ) ] . A−1 = [ cos (θ) sen (θ) −sen (θ) cos (θ) ] . (e) [ cosh(x) senoh(x) senoh(x) cosh(x) ] lembrar as identidades { cosh(x) = 12 (e x + e−x) senoh(x) = 12 (e x − e−x) .[ cosh (x) senoh (x) | 1 0 senoh (x) cosh (x) | 0 1 ] ∼ [ 1 senoh(x)cosh(x) | 1 cosh(x) 0 0 1cosh(x) | − senoh(x) cosh(x) 1 ] ∼ ∼ [ 1 0 | cosh(x) −senoh(x) 0 1 | −senoh(x) cosh(x) ] . A−1 = [ cosh(x) −senoh(x) −senoh(x) cosh(x) ] . 8. (Utilize o cálculo da matriz inversa) Considerando que as temperaturas não conhecidas nos pontos da Figura [1], são valores promédios dos valores próximos dela, determine as temperaturas T1, T2, T3 e T4. Resolução: Por ser promédio, para T1 = 1 4 (30 + 50 + T3 + T2) ou 4T1 − T2 − T3 = 80. O sistema de equações, com os coeficientes já colocados na matriz é: 4 −1 −1 0 80 −1 4 0 −1 90 −1 0 4 −1 50 0 −1 −1 4 60  ∼  1 0 0 0 752 0 1 0 0 40 0 0 1 0 30 0 0 0 1 652 ⇒ X =  37, 5 40, 0 30, 0 32, 5  . Portanto, T1 = 37, 5 o; T2 = 40, 0 o; T3 = 30, 0 o; T4 = 32, 5 o. 7