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ZAB 0161 - Algebra linear com aplica¸´ c˜oes em geometria anal´ıtica
Lista 2 - Gabarito
Para todo sistema de equa¸c˜oes lineares utilizar o m´etodo de elimina¸c˜ao Gauss ou Gauss-Jordan.
- Aplique a elimina¸c˜ao de Gauss para decompor a matriz A em uma matriz triangular inferior L e outra triangular superior U , tal que A = LU , (se poss´ıvel): Resolu¸c˜ao: Utilizando o m´etodo de elimina¸c˜ao de Gauss-Jordan podemos triangularizar (superior) a matriz A dada, zerando todas as entradas abaixo da diagonal. Assim tem-se a matriz U. Observar que os fatores utilizados nas opera¸c˜oes elementares (com sinal trocado) formam as entradas da matriz L. A matriz L tem a caracter´ıstica de possuir 1 em cada entrada da diagonal e zeros acima dela.
(a) A =
[
]
Aplicando a elimina¸c˜ao de Gauss, zeramos a entrada a 21 , multiplicando a primeira linha vezes (−3) e somando na segunda linha. Ent˜ao
[
]
[
]
. Feito, abaixo da diagonal
(a ´unica entrada) s´o tem entrada zero. Logo, U =
[
]
e montamos L =
[
]
(b) A =
A ∼
Ent˜ao
U =
(^) e L =
(c) A =
Ent˜ao U =
(^) e L =
7 5 1 0 − 25 − 1712 1
(d) A =
Ent˜ao U =
(^) e L =
- Utilize a decomposi¸c˜ao LU da matriz A, para resolver as equa¸c˜oes a seguir:
(a)
F =
. Escrevemos por simplicidade como AX = F.
Fazendo a decomposi¸c˜ao A = LU , temos
2 5 −^
17 12 1
Logo temos que resolver LU X = F. Observar que criando uma nova matriz vari´avel U X = Y o sistema fica LY = F , que ´e um sistema triangular, f´acil de resolver come¸cando de cima
para baixo. Resolvendo LY = F , temos a solu¸c˜ao Y =
Agora resolvemos U X = Y , obtendo X a solu¸c˜ao do sistema, X =
31 44 − (^3744) 51 22
(b)
F =
. Identicamente, fazendo a decomposi¸c˜ao LU temos:
Resolvendo LY = F temos Y =
, resolvendo U X = Y temos X =
- Sejam a e b coeficientes escalares. Considere o seguinte sistema de equa¸c˜oes lineares
x + 3y + z = b 2 x + ax + 3z = 1 4 x + 2y = 0
(a) Discuta o sistema em fun¸c˜ao dos coeficientes a e b. Resolvendo o sistema por elimina¸c˜ao, come¸cando pela terceira coluna que j´a tem uma entrada com 1 e outra com zero:
1 3 1 | b (2 + a) 0 3 | 1 4 2 0 | 0
1 3 1 | b (a − 1) − 9 0 | 1 − 3 b 4 2 0 | 0
− 5 0 1 | b (a + 17) 0 0 | 1 − 3 b 2 1 0 | 0
Falta um pivˆo igual a 1 na segunda linha, mas como n˜ao temos o valor de a, n˜ao sabemos se a entrada (a + 17) ´e zero ou diferente de zero. Analisamos os dois casos por separado.
Ent˜ao:
A =
= LDU.
- Responda verdadeiro ou falso, justificando. Considere matrizes quadradas em todos os casos.
(a) Se A^2 = − 2 A^4 , ent˜ao
In + A^2
In − 2 A^2
= In. Verdadeiro. Desenvolvendo o produto (In + A^2 ).(In − 2 A^2 ) = In + A^2 − 2 A^2 − 2 A^4 = In − A^2 − 2 A^4. Utilizando a hip´otese temos (In + A^2 ).(In − 2 A^2 ) = In − A^2 + A^2. (b) Se A = P tDP , onde D ´e uma matriz diagonal e P ´e uma matriz, ent˜ao At^ = A. Verdadeiro. Calculamos a transposta de A temos At^ = (P tDP )t^ = P tDtP t
t , onde foi utilizada a propriedade da transposta de um produto. Mas a transposta da transposta de uma matriz ´e a mesma matriz, assim P t
t = P , e a transposta de uma matriz diagonal ´e a mesma matriz diagonal, ent˜ao At^ = P tDtP t
t = P tDP = A. (c) Se D ´e uma matriz diagonal, ent˜ao DA = AD, para toda matriz A, n × n. Falso, pois, supondo uma matriz qualquer A =
[
]
e D =
[
]
e fazendo-se
DA =
[
]
[
]
[
]
Fazendo-se AD =
[
]
[
]
[
]
. Portanto, A.D 6 = D.A.
(d) Se B = AAt, ent˜ao B = Bt. Verdadeiro. Calcula-se Bt^ = (AAt)t^ = At
t At^ = AAt^ = B. (e) Se B e A s˜ao tais que A = At^ e B = Bt^ ent˜ao C = AB, ´e tal que Ct^ = C. Falso. Calcula-se Ct^ = (AB)t^ = BtAt, utilizando as igualdades em que A e B s˜ao iguais a suas transpostas, temos Ct^ = BA, se Ct^ = C teriamos que BA = AB, o que n˜ao ´e v´alido sempre pois o produto de matrizes n˜ao ´e necessariamente comutativo. Como contra exemplo temos A =
[
]
e B =
[
]
, onde AB =
[
]
e BA =
[
]
, que n˜ao s˜ao iguais.
- Sejam as matrizes
A =
3 − 2 y 2 z − 1 z + 3 − 1 2 y z − 5 8 x − 2 z
B =
2 x + 1 2 x + y x + 2 − 1 z − 2 x y − 1 b 1
Se A = B, determine o valor de x + y + z, se poss´ıvel. Se sim, qual o valor?. Se n˜ao, explique. Se A = B ent˜ao aij = bij , para todo i e para todo j. Portanto temos o seguinte sistema de equa¸c˜oes: (^)
3 − 2 y = 2x + 1 z + 3 = x + 2 z − 5 = y − 1 8 = b z − 1 = x + y 2 y = z − 2 x x − 2 z = 1
2 x + 2y = 2 x − z = 1 y − z = − 4 b = 8 x + y − z = − 1 2 x + 2y − z = 0 x − 2 z = 1
Temos um valor definido b = 8. Falta determinar as outras trˆes incˆognitas e para elas temos seis equa¸c˜oes (restri¸c˜oes). Deve ser resolvido o sistemas de 6 equa¸c˜oes com 3 incˆognitas. A matriz estendida ´e 2 2 0 2 1 0 − 1 1 0 1 − 1 − 4 1 1 − 1 − 1 2 2 − 1 0 1 0 − 2 1
Portanto, temos uma equa¸c˜ao inconsistente 0 = 2 (FALSO). Observar como existem duas equa¸c˜oes consideram a verdade evidente 0 = 0, mas como existe uma inconsistˆencia o sistema n˜ao tem solu¸c˜ao. N˜ao ´e poss´ıvel determinar um valor para x + y + z.
- Determine uma equa¸c˜ao que relacione a, b e c para que o sistema linear abaixo tenha solu¸c˜ao para quaisquer valores de a, b e c que satisfazem essa equa¸c˜ao.
2 x + 2y + 3z = a 5 z + 3x − y = b x + 2z − 3 y = c
Considerando a matriz extendida:
2 2 3 a 3 − 1 5 b 1 − 3 2 c
1 1 32 a 2 0 − 4 12 −^3 a 2 +2b 0 − 4 12 −a 2 +2c
1 0 138 a+2 8 b 0 1 − 18 3 a− 82 b 0 0 0 a − b + c
Assim, existir´a solu¸c˜ao (infinitas solu¸c˜oes) s´o quando a equa¸c˜ao a − b + c = 0 seja v´alida. Caso contr´ario n˜ao existir´a solu¸c˜ao.
- Calcular as matrizes inversas (se poss´ıvel) de
(a)
Ent˜ao
A−^1 =
Figura 1: Temperaturas em uma placa quadrada. As temperaturas nos pontos da fronteira s˜ao conhe- cidas.
(d)
[
cos(θ) −sen(θ) sen(θ) cos(θ)
]
[
cos (θ) −sen (θ) | 1 0 sen (θ) cos (θ) | 0 1
]
[
1 −tg (θ) | sec (θ) 0 0 1 | −sen (θ) cos (θ)
]
[
1 0 | cos (θ) sen (θ) 0 1 | −sen (θ) cos (θ)
]
A−^1 =
[
cos (θ) sen (θ) −sen (θ) cos (θ)
]
(e)
[
cosh(x) senoh(x) senoh(x) cosh(x)
]
lembrar as identidades
cosh(x) = 12 (ex^ + e−x) senoh(x) = 12 (ex^ − e−x)
[
cosh (x) senoh (x) | 1 0 senoh (x) cosh (x) | 0 1
]
[
1 senoh cosh((xx)) | (^) cosh^1 (x) 0 (^0) cosh^1 (x) | − senoh cosh((xx)) 1
]
[
1 0 | cosh(x) −senoh(x) 0 1 | −senoh(x) cosh(x)
]
A−^1 =
[
cosh(x) −senoh(x) −senoh(x) cosh(x)
]
- (Utilize o c´alculo da matriz inversa) Considerando que as temperaturas n˜ao conhecidas nos pontos da Figura [1], s˜ao valores prom´edios dos valores pr´oximos dela, determine as temperaturas T 1 , T 2 , T 3 e T 4. Resolu¸c˜ao: Por ser prom´edio, para T 1 = 14 (30 + 50 + T 3 + T 2 ) ou 4T 1 − T 2 − T 3 = 80. O sistema de equa¸c˜oes, com os coeficientes j´a colocados na matriz ´e:
⇒^ X^ =
Portanto, T 1 = 37, 5 o; T 2 = 40, 0 o; T 3 = 30, 0 o; T 4 = 32, 5 o.
- Seja f : R^3 → R^3 a fun¸c˜ao (transforma¸c˜ao) matricial definida por:
f
x y z
x y z
(a) Determine x, y e z tais que f
x y z
Resolu¸c˜ao: Seria resolver o sistema
x y z
, ent˜ao
X =
(b) Determine tamb´em a matriz resultante de f
f
- (Resolva utilizando o c´alculo da matriz inversa) Considere um processo industrial cuja matriz ´e
A =
Determine a matriz de entrada para cada uma das seguintes matrizes resultantes:
(a)
(^) (b)
Resolu¸c˜ao: Para resolver utilizamos A.X = F ⇒ X = A−^1 F. Ent˜ao encontramos a inversa de A,
