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Lista de Exerc´ıcios - C´alculo I
Se¸c˜ao 2.2: O limite de uma fun¸c˜ao
- Explique com suas palavras o significado da equa¸c˜ao
lim x→ 2 f (x) = 5.
E poss´^ ´ ıvel que a equa¸c˜ao anterior seja verdadeira, mas que f (2) = 3? Explique.
- Explique o que significa dizer
lim x→ 1 −^
f (x) = 3 e lim x→ 1 +^
f (x) = 7.
Nesta situa¸c˜ao, ´e poss´ıvel que limx→ 1 f (x) exista? Explique.
- Explique o significado de cada uma das nota¸c˜oes a seguir.
(a) lim x→− 3 f (x) = ∞ (b) lim x→ 4 +^
f (x) = −∞
- Para a fun¸c˜ao h cujo gr´afico ´e dado, diga o valor de cada quantidade, se ela existir. Se n˜ao existir, explique por quˆe.
(a) lim x→− 3 −^
h(x) (b) lim x→− 3 +^
h(x) (c) lim x→− 3 h(x) (d) h(−3) (e) lim x→ 0 −^
h(x) (f ) lim x→ 0 +^
h(x) (g) lim x→ 0
h(x) (h) h(0) (i) lim x→ 2
h(x) (j) h(2) (k) lim x→ 5 +^
h(x) (l) lim x→ 5 −^
h(x)
- Para a fun¸c˜ao g cujo gr´afico ´e dado, diga o valor de cada quantidade, se ela existir. Se n˜ao existir, explique por quˆe.
(a) lim t→ 0 −^
g(t) (b) lim t→ 0 +^
g(t) (c) lim t→ 0 g(t) (d) lim t→ 2 −^
g(t) (e) lim t→ 2 +^
g(t) (f ) lim t→ 2 g(t) (g) g(2) (h) lim t→ 4 g(t)
- Para a fun¸c˜ao f cujo gr´afico ´e mostrado a seguir, diga quem s˜ao:
(a) lim x→− 7 f (x) (b) lim x→− 3 f (x) (c) lim x→ 0
f (x) (d) lim x→ 6 −^
f (x) (e) lim x→ 6 +^
f (x) (f ) As equa¸c˜oes das ass´ıntotas verticais.
- Esboce o gr´afico da fun¸c˜ao a seguir e use-o para determinar os valores de a para os quais limx→a f (x) existe:
f (x) =
2 − x se x < − 1 x se − 1 ≤ x < 1 (x − 1)^2 se x ≥ 1
Gabarito
- A express˜ao significa que os valores da fun¸c˜ao se tornam t˜ao pr´oximos de 5 quanto quisermos para valores de x suficientemente pr´oximos de 2. Sim, pois, tomando o limite, nos aproximamos de x = 2, mas sempre com x 6 = 2, logo o limite da fun¸c˜ao n˜ao ´e necessariamente igual ao valor da imagem em um dado ponto.
- No primeiro caso, os valores da fun¸c˜ao se tornam arbitrariamente pr´oximos de 3 para valores de x suficientemente pr´oximos de 1 pela esquerda, isto ´e, pr´oximos e menores do que
- No segundo caso, os valores da fun¸c˜ao se tornam arbitrariamente pr´oximos de 7 para valores de x suficientemente pr´oximos de 1 pela direita, isto ´e, pr´oximos e maiores do que 1. O limite neste ponto n˜ao existe, pois os limites laterais diferem.
- (a) Para valores de x pr´oximos de −3 a fun¸c˜ao se torna t˜ao grande quanto quisermos. Isto ´e, existe um n´umero real positivo M 0 tal que para qualquer M ≥ M 0 , existe um valor x 0 tal que f (x 0 ) > M.
(b) Para valores de x pr´oximos de 4 pela direita, ou seja, maiores do que 4, a fun¸c˜ao se torna t˜ao grande quanto quisermos em m´odulo, mas negativa. Isto ´e, existe um n´umero real positivo M 0 tal que para qualquer M ≥ M 0 , existe um x 0 > 4 (pela direita) tal que f (x 0 ) < −M.
- (a) 4 (b) 4 (c) 4 (d) N˜ao existe, pois a fun¸c˜ao n˜ao est´a definida em x = −3. (e) 1 (f) - (g) N˜ao existe, pois os limites laterais s˜ao distintos. (h) 1 (i) 2 (j) N˜ao existe, pois a fun¸c˜ao n˜ao est´a definida para x = 2. (k) 3 (l) N˜ao existe, pois a fun¸c˜ao oscila infinitamente para valores de x pr´oximos de 5 pela esquerda, n˜ao tendendo, assim, para um valor real ´unico.
- (a) - (b) - (c) N˜ao existe, pois os limites laterais s˜ao distintos. (d) 2 (e) 0 (f) N˜ao existe, pois os limites laterais s˜ao distintos. (g) 1 (h) 3
- (a) −∞ (b) +∞ (c) +∞ (d) −∞ (e) +∞ (f) x = −7, x = −3, x = 0, x = 6.
- O limite limx→a f (x) existe para qualquer valor de a diferente de −1 e 1.
- Um exemplo de gr´afico para esse exerc´ıcio ´e:
