Universidade Federal de Lavras
Lista 04 de exercício - Cálculo II
Professora: Graziane Sales Teodoro BOM TRABALHO!
Sequências
Questão 1.
Encontre o termo geral da sequência e faça o seu gráco.
a)
1,1
3,1
9,1
27 ,· · ·
b)
1,−1
3,1
9,−1
27 ,· · ·
c)
1
2,3
4,5
6,7
8,· · ·
d)
1
√π,4
3
√π,9
4
√π,16
5
√π,· · ·
Questão 2.
Escreva os cinco primeiros termos da sequência, determine se ela converge ou diverge, e
caso for convergente, encontre o limite.
a)
{2}+∞
n=1
b)
{1+(−1)n}+∞
n=1
c)
n(−1)n2n3
n3+1 o+∞
n=1
d)
n(n+1)(n+2)
2n2o+∞
n=1
e)
cos 3
n+∞
n=1
f)
{n2e−n}+∞
n=1
g)
n+3
n+1 n+∞
n=1
Séries
Questão 3.
Encontre os valores das quatro primeiras somas parciais e determine se a série converge
ou diverge, quando convergir obtenha a sua soma.
a)
1
4+2
4+22
4+· · · +2k−1
4+· · ·
b)
1
2.3+1
3.4+1
4.5+· · · +1
(k+1)(k+2) +· · ·
Questão 4.
Determine se a série converge ou diverge, se convergir, encontre a sua soma.
a)
∞
X
k=1
(−1)k−17
6k−1
b)
∞
X
k=1
1
(k+ 2)(k+ 3)
c)
∞
X
k=1
1
9k2+ 3k−2
d)
∞
X
k=3
1
k−2
e)
∞
X
k=1
4k+2
7k−1
Questão 5.
Use série geometrica para mostrar que:
a)
∞
X
k=0
(−1)kxk=1
1 + x
, se
−1<x<1
b)
∞
X
k=0
(x−3)k=1
4−x
, se
2<x<4
c)
∞
X
k=0
(−1)kx2k=1
1 + x2
, se
−1< x < 1
Questão 6.
Use a notação de somatório para escrever a série de Maclaurin para a função dada:
a)
e−x
b)
xsenx
Questão 7.
Use a notação de somatório para escrever a série de Taylor em torno de
x=x0
para a
função dada:
a)
ex
,
x0= 1
b)
1
x
,
x0=−1
Respostas:
1.
a)
1
3n−1
b)
(−1)n−1
3n−1
c)
2n−1
2n
d)
n2
n+1
√π
2.
a) converge, limite: 2 b) diverge c) diverge d) converge, limite:
1
2
e) converge, limite: 1 f)
converge, limite: 0 g) converge, limite:
e2
3.
a) diverge b) converge, soma:
1
2
4.
a) converge, soma:6 b) converge, soma:
1
3
c) converge, soma:
1
6
d) diverge e)converge,
soma:
448
3
6.
a)
∞
X
k=0
(−1)kxk
k!
b)
∞
X
k=0
(−1)kx2k+2
(2k+ 1)!
7.
a)
∞
X
k=0
e(x−1)k
k!
b)
∞
X
k=0
(−1)(x+ 1)k
1