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5.1 FunÁıes Integr·veis
5.1 Seja 2 R: Usando a deÖniÁ„o mostre que R^ ab dx = (b a) :
5.2 Mostre que toda funÁ„o monÛtona f : [a; b]! R È integr·vel.
5.3 Mostre que os seguintes conjuntos tÍm medida de Lebesgue nula. (a) um conjunto Önito X = fx 1 ; x 2 ; x 3 ; : : : ; xng ; (b) um subconjunto X R inÖnito enumer·vel de n˙meros reais.
5.4 Seja f : [0; 2]! R deÖnida por f (x) = 1; se x 6 = 1; e f (1) = 0. Mostre que f È integr·vel em [0; 2] e calcule sua integral.
5.5 DeÖna a funÁ„o g : [0; 1]! R por g (x) = 0 para 0 x 1 = 2 e g (x) = 1 para 1 = 2 < x 1. Mostre que g È integr·vel e que R^01 g = 1= 2. Mudando o valor de g no ponto 1 = 2 para 5 , ela continua integr·vel?
5.6 Mostre que a funÁ„o h : [0; 1]! R deÖnida por h (x) = 0 para x irracional e h (x) = x para x racional n„o È integr·vel em [0; 1] :
5.7 Considere a funÁ„o real f (x) = x^3 ; 0 x 1 ; e a partiÁ„o Pn = f 0 ; 1 =n; 2 =n; ; (n 1) =n; 1 g do intervalo [0; 1] : Usando a fÛrmula
13 + 2^3 + + m^3 =
2 m^ (m^ + 1)
que pode ser facilmente comprovada por induÁ„o, calcule S (f ; Pn) e s (f; Pn) : Mostre que R^01 x^3 dx = 1 = 4 :
5.8 Considere uma funÁ„o limitada f : [a; b]! R tal que f (x) = 0; exceto em uma quantidade Önita de pontos do intervalo [a; b]. Mostre que f È integr·vel e que R^ ab f = 0:
38 AN¡LISE NA RETA MARIVALDO P MATOS
5.9 Seja f : [a; b]! R uma funÁ„o contÌnua com a seguinte propriedade: para toda funÁ„o integr·vel g : [a; b]! R, o produto f g È integr·vel e R^ ab f g = 0: Prove que f 0 em [a; b] :
5.10 Sejam f; g : [a; b]! R funÁıes limitadas. Mostre que: Z (^) b a (f + g)
Z (^) b a f +
Z (^) b a g: (1)
DÍ um exemplo onde a desigualdade estrita em (1) ocorre. EstabeleÁa uma desigualdade an·loga para a integral superior.
5.11 Mostre que a funÁ„o f (x) = cos (=x) ; para x 6 = 0 e f (0) = 0 È integr·vel em [0; 1] :
5.12 Suponha que f : [a; b]! R seja uma funÁ„o limitada e que para qualquer n˙mero c 2 (a; b) a restriÁ„o de f ao intervalo [c; b] È integr·vel. Mostre que f È integr·vel em [a; b] e que: Z (^) b a f = (^) c!lima+
Z (^) b c f:
5.13 Use o exercÌcio precedente e demonstre que toda funÁ„o limitada f : [a; b]! R com apenas um n˙mero Önito de descontinuidades È integr·vel em [a; b] :
5.14 Sejam f; g e h funÁıes limitadas em [a; b] com f (x) g (x) h (x) ; 8 x 2 [a; b] : Se f e h s„o integr·veis e R^ ab f = R^ ab h, mostre que g È integr·vel e que R^ ab g = R^ ab f:
5.15 Mostre que a funÁ„o f (x) = sgn (x) È integr·vel em [ 1 ; 1] ; mas n„o possui primitiva em [ 1 ; 1]. Se H (x) = jxj, ent„o H^0 (x) = sgn (x) ; para x 6 = 0, e Z (^1) 1 sgn (x) dx = H (1) H ( 1) :
5.16 Seja f : [a; b]! R uma funÁ„o contÌnua e deÖna H (x) = R^ xb f: Encontre H^0 (x) :
5.17 Sejam I = [a; b], J = [c; d] e considere f : I! R uma funÁ„o contÌnua e v : J! R uma funÁ„o diferenci·vel com v (J) I: Mostre que a funÁ„o G : J! R deÖnida por:
G (x) =
Z (^) v(x) a^ f
È diferenci·vel em J e G^0 (x) = (f v) (x) v^0 (x) para todo x 2 J:
40 AN¡LISE NA RETA MARIVALDO P MATOS
(a) Mostre que a integral imprÛpria R^ ab (b x) ^ converge se, e somente se, < 1 : (b) Se f È integr·vel em cada intervalo [a; t] ; a < t < b, b Önito, e f (x) 0 em [a; b), seja L ( ) = limx!b (b x) f (x). Se L ( ) < 1 , para algum < 1 , ent„o R^ ab f È convergente. Se existir algum 1 tal que L ( ) > 0 , mostre que R^ ab f È divergente.
5.27 Sejam f; g : R! R funÁıes com derivadas primeiras integr·veis em cada intervalo [a; b] ; a < b, e tais que f 2 (t) + g^2 (t) = 1; 8 t 2 R, e f (0) = 1. Seja : R! R dada por:
(t) =
Z (^) t 0
f (x) g (^0) (x) f 0 (x) g (x) (^) dx:
Mostre que f (t) = cos (t) e g (t) = sen (t) ; 8 t 2 R. Este resultado anterior pode ser in- terpretado como uma deÖniÁ„o de ‚ngulo. (comece derivando a funÁ„o t 7! [f (t) cos (t)]^2 + [g (t) sen (t)]^2 ).
5.28 Se f; g : [a; b]! R s„o tais que f (x) = g (x) ; 8 x; exceto nos racionais de [a; b], mostre que f È integr·vel se, e somente se, g È integr·vel.
5.29 Seja f [a; b]! R contÌnua. Mostre que R^ f (x) dx = 2 2 ; para todo a < < < b; se, e somente se, f (x) = 2x:
5.30 Se f : [0; 1]! R È contÌnua e 0 < < < 1 , mostre que (^) nlim!1^ R^ (x )n^ f (x) dx = 0: 5.31 Seja f : [0; 1]! R uma funÁ„o contÌnua e deriv·vel em (0; 1). Determine condiÁıes para que f satisfaÁa a: R^01 f (tx) dt = kf (x) para todo x 2 (0; 1) :
5.32 Seja f : R! R deÖnida por f (x) =
Z (^) x 0
sen t 1 + t^2 dt. Mostre que^ xlim! 0
f (x) x^2 = 1=^2 : 5.33 A FunÁ„o Gama. DeÖna : N! R por (n) =
Z 1
0 e xxn ^1 dx: (a) Mostre que a integral imprÛpria converge. (b) Mostre que (1) = 1: (c) Integrando or partes, deduza que (n) = (n 1) (n 2) : (d) Calcule R^01 e xx^5 dx: 5.34 Seja f integr·vel em [a; b] tal que m f (x) M; para todo x 2 [a; b]. Mostre que: m (^) b ^1 a
Z (^) b a f 2 (x) dx M:
INTEGRAL DE RIEMANN VER√O 2009 41
5.35 Se f; g : [a; b]! R s„o integr·veis, mostre que f _ g e f ^ g s„o integr·veis em [a; b] :
5.36 Se f : [a; b]! R È contÌnua e ; : I! R; I intervalo, s„o deriv·veis, mostre que ' : I! [a; b] deÖnida por: ' (x) =
Z (^) (x) (x) f (t) dt
È deriv·vel em I e '^0 (x) = f ( (x)) 0 (x) f ( (x)) 0 (x) :
5.37 Se os coeÖcientes do polinÙmio p (x) = a 0 + a 1 x + a 2 x^2 + : : : + anxn^ satisfazem ‡ relaÁ„o Pn k=1 a^2 k = 1, mostre que^
R 1
0 jp^ (x)j^ dx^ ^ =^2 : 5.38 Sejam f; g : [a; b]! R funÁıes contÌnuas. Demonstre a Desigualdade de Cauchy-Schwarz : Z (^) b a f (x) g (x) dx
Z (^) b a f (x)^2 dx
1 = 2 Z (^) b a g (x)^2 dx
