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4.1 Preliminares
4.1 Em cada caso use a deÖniÁ„o para calcular f 0 (x) : (a) f (x) = x^3 ; x 2 R (b) f (x) = 1=x; x 6 = 0 (c) f (x) = 1=px; x > 0 :
4.2 Mostre que a funÁ„o f (x) = x^1 =^3 ; x 2 R; n„o È diferenci·vel em x = 0.
4.3 Considere a funÁ„o f : R! R deÖnida por f (x) = x^2 ; para x racional, e f (x) = 0 para x irracional. Mostre que f È diferenci·vel em x = 0 e encontre f 0 (0) :
4.4 Considere um n˙mero natural n e deÖna f : R! R por f (x) = xn; para x 0 ; e f (x) = 0 para x < 0. Para que valores de n a funÁ„o f 0 È contÌnua em x = 0? Para que valores de n a funÁ„o f 0 È diferenci·vel em x = 0?
4.5 Se uma funÁ„o f : R! R È diferenci·vel em c e f (c) = 0, mostre que a funÁ„o x 7! jf (x)j È diferenci·vel em c se, e somente se, f 0 (c) = 0:
4.6 Determine onde cada uma das seguintes funÁıes de R! R È diferenci·vel e encontre a derivada.
(a) f (x) = jxj + jx + 1j (b) g (x) = x jxj (c) h (x) = jsen xj :
4.7 Mostre que se uma funÁ„o par f : R! R (f ser par signiÖca que f (x) = f ( x) ; 8 x) tem derivada em todo ponto, ent„o a derivada f 0 È uma funÁ„o Ìmpar, isto È, f 0 ( x) = f 0 (x).
4.8 Mostre que a funÁ„o f : R! R deÖnida por f (x) = x^2 sen 1 =x^2 ^ para x 6 = 0 e f (0) = 0 È diferenci·vel em todo ponto x 2 R e que a derivada f 0 n„o È limitada no intervalo compacto [ 1 ; 1]?
4.9 Admitindo que exista uma funÁ„o L : (0; + 1 )! R tal que L^0 (x) = 1=x; x > 0 ; calcule, onde existir, a derivada de cada uma das funÁıes f (x) = L (2x + 3) ; g (x) = L x^2 ^3 e h (x) = L (L (x)) :
xxviii AN¡LISE NA RETA MARIVALDO P MATOS
4.10 Sejam f; g; h : X! R tais que f (x) g (x) h (x) ; 8 x 2 X. Suponha que em um ponto a 2 X \ X^0 se tenha f (a) = h (a) e f 0 (a) = h^0 (a). Mostre que g È deriv·vel em a e g^0 (a) = f 0 (a) :
4.11 Seja f : [a; b]! R uma funÁ„o contÌnua e deriv·vel em (a; b). Se k È um n˙mero real, mostre que existe c em (a; b) tal que f 0 (c) = kf (c) : (sug. aplique o Teorema de Rolle ‡ funÁ„o g (x) = f (x) exp ( kx))
4.12 Se uma funÁ„o f : R! R È tal que f (x + y) = f (x) + f; 8 x; y; mostre que f È deriv·vel se, e sÛ se, o for em x = 0:
4.13 Um n˙mero a È uma raiz dupla do polinÙmio p (x) quando p (x) = (x a)^2 q (x), para algum polinÙmio q (x). Prove que a È raiz dupla de p se, e somente se, p (a) = p^0 (a) = 0:
4.14 Seja f : R! R deriv·vel e suponha que f (0) = 0 e jf 0 (x)j jf (x)j ; 8 x 2 R. Mostre que f 0 :
4.15 Seja f : R+^! R uma funÁ„o deriv·vel e suponha que f (1) = 0 e f 0 (x) = 1=x; 8 x > 0 : Mostre que f (xy) = f (x) + f (y) ; 8 x; y 2 R+: (sug. derive a funÁ„o x 7! f (xy) )
4.16 O que se pode aÖrmar sobre uma funÁ„o f de classe C^1 em (a; b) tal que f 0 (x) È sempre racional?
4.17 Seja f : R! R diferenci·vel na origem tal que f (tx) = jtj f (x) ; 8 t; x 2 R. Mostre que f 0 :
4.18 Com respeito a uma funÁ„o f : R! R mostre que as seguintes aÖrmaÁıes s„o equiva- lentes: (a) existe k 2 R tal que f (tx) = tkf (x) ; para todo x 2 R e t > 0; (b) existe k 2 R tal que kf (x) = f 0 (x) x; 8 x 2 R.
4.19 Seja r > 0 um n˙mero racional e seja f : R! R deÖnida por f (x) = xr^ sen (1=x) para x 6 = 0 e f (0) = 0. Determine os valores de r para os quais f 0 (0) existe.
4.20 Se f : R! R È diferenci·vel em x = c, mostre que f 0 (c) = lim n!1 n [f (c + 1=n) f (c)].
xxx AN¡LISE NA RETA MARIVALDO P MATOS
4.31 Seja f : I! R duas vÍzes diferenci·vel no ponto c interior ao intervalo I. Mostre que:
f 0 (c) = lim h! 0 f^ (c^ +^ h) + 2 h^ f^ (c^ ^ h) (1)
f 00 (c) = lim h! 0 f^ (c^ +^ h) +^ f^ h(c 2 ^ h)^ ^2 f^ (c): (2)
DÍ exemplo para mostrar que o limite em (1) pode existir, sem que a funÁ„o tenha derivada no ponto c.
4.32 Considere as constantes reais C 0 ; C 1 ; C 2 ; ; Cn tais que:
C 0 + C 21 + C 32 + + (^) nC + 1 n = 0:
Mostre que a equaÁ„o C 0 + C 1 x + C 2 x^2 + + Cnxn^ = 0 possui ao menos uma raiz real no intervalo [0; 1] :
4.33 Considere uma funÁ„o deÖnida e deriv·vel para x > 0 e suponha que f 0 (x)! 0 ; quando x! + 1 : Mostre que a funÁ„o g (x) = f (x + 1) f (x) ; x > 0 ; tem limite quando x! + 1 :
4.2 A Regra de L¥HÙpital
J. Bernoulli descobriu uma regra para o c·lculo de limites de fraÁıes cujos numeradores e denomi- nadores tendem para zero. A regra È conhecida atualmente como Regra de líHÙpital, em homenagem ao marqÍs de St. Mesme, Guillaume FranÁois Antoine de líHÙpital (1661-1704), um nobre francÍs que escreveu o primeiro texto introdutÛrio de c·lculo diferencial, em que a regra foi impressa pela primeira vez.
4.2.1 Forma Indeterminada 0 = 0
Se as funÁıes contÌnuas f (x) e g (x) s„o zero em x = a, ent„o
x^ lim!a^ f g^ ((xx))
n„o pode ser calculado com a substituiÁ„o x = a: A substituiÁ„o gera a express„o 0 = 0 , sem signiÖ- cado algum. Recorde-se dos argumentos que utilizamos em sala de aula para calcular limx! 0 (sen x) =x,
FUN«’ES DERIV¡VEIS VER√O 2009 xxxi
em que a substituiÁ„o x = 0 produziu a forma indeterminada 0 = 0. Por outro lado, fomos bem suce- didos com o limite
x^ lim!a^ f^ (x x)^ ^ fa^ (a) com o qual calculamos a derivada f 0 (a) e que sempre resulta na forma 0 = 0 com a substituiÁ„o x = a: A Regra de líHÙpital nos permite usar derivadas para calcular llimites que, abordados de outra forma, conduzem a formas indeterminadas.
Teorema (Regra de líHÙpital ) Suponha que f (a) = g (a) = 0, que f e g sejam deriv·veis em um intervalo aberto contendo a e que g^0 (x) 6 = 0 nesse intervalo exceto, possivelmente, em x = a: Ent„o:
x^ lim!a^ f g^ ((xx)) = lim x!a^ f^
(^0) (x) g^0 (x) ;^ (3) desde que exista o limite do lado direito de (3).
AtenÁ„o Ao aplicar a Regra de líHÙpital n„o caia na armadilha de usar a derivada de f =g. O quociente a ser usado È f 0 =g^0 e n„o (f =g)^0.
Exemplo Aplicando a Regra de líHÙpital A express„o (^1) x^ +^ cosx x 2 com x = 0 produz a indetermi- naÁ„o 0 = 0 e aplicando a regra (5.3), encontramos:
x^ lim! 01 x^ +^ cosx x^2 =^ xlim! 0 1 + 2^ senxx =^01 = 0
4.2.2 Formas indeterminadas 1 = 1 ; 1 0 ; 1 1
Uma vers„o da Regra de líHÙpital tambÈm se aplica a quocientes que produzem as formas indeter- minadas 1 = 1 ; 1 0 ; 1 1. Por exemplo, se f (x) e g (x) tendem ao inÖnito quando x! a, ent„o a fÛrmula (3) continua v·lida, desde que o limite do lado direito exista. Aqui, como tambÈm na forma indeterminada 0 = 0 , o ponto a onde investigamos o limite pode ser Önito ou 1.
Exemplo Calcule (a) (^) x!lim= 2 1 + tg^ sec^ x x (b) (^) xlim!1 2 lnp^ xx SoluÁ„o (a) Note que o numerador e o denominador s„o descontÌnuos em x = = 2 , ent„o investigaremos os limites laterais nesse ponto. Temos:
x!^ lim(=2) ^ 1 + tg^ sec^ x^ x^ =^11 =^ (líHÙpital)^ =^ x!lim(=2) ^ sec^ sec^ x^2 tg^ x^ x=^ x!lim(=2) ^ sen^ x^ = 1:
FUN«’ES DERIV¡VEIS VER√O 2009 xxxiii
SoluÁ„o (a) Trata-se de uma indeterminaÁ„o do tipo 11 , a qual ser· convertida em 0 = 0 por aplicaÁ„o do logarÌtimo. Considerando f (x) = (1 + 1=x)x^ ; temos:
ln f (x) = ln
1 + x^1
x = x ln
1 +^1 x
= ln (1 + 1 1 =x =x)=) f (x) = exp
(^) ln (1 + 1=x) 1 =x
e, portanto:
x^ lim!1 f^ (x)^ =^ xlim!1 exp [ln^ f^ (x)] = exp
x^ lim!1^ ln (1 + 1 1 =x=x)
= exp( 00 ) = (líHÙpital) = = exp
x^ lim!11 + 1^1 =x
= e^1 = e:
(b) Trata-se de uma indeterminaÁ„o do tipo 00 e procederemos como no Ìtem (a). Temos:
x^ lim! 0 +^ xx^ =^00 =^ xlim! 0 +^ exp [ln^ xx] = exp
x^ lim! 0 +^ x^ ln^ x
= exp
x^ lim! 0 +^ ln 1 =x^ x
= exp( 1 1 ) =
= (líHÙpital) = exp
x^ lim! 0 + ^11 =x=x^2
= exp
x^ lim! 0 +^ ( x)
= e^0 = 1:
(c) Temos agora uma indeterminaÁ„o do tipo 10 e procederemos como no Ìtem (a). Temos:
x^ lim!1 x^1 =x^ =^10 = lim x!1 exp
h ln x^1 =x
i = exp
x^ lim!1^ lnx^ x
= exp( 11 ) =
= (líHÙpital) = exp
x^ lim!1^1 =x 1
= exp
x^ lim!1^1 x
= e^0 = 1:
4.2.4 Demonstrando a Regra de líHÙpital
Vamos demonstrar a Regra de líHÙpital (3), no caso em que o limite È Önito, isto È, quando a for um n˙mero real. A demonstraÁ„o È na verdade uma aplicaÁ„o do Teorema do Valor MÈdio de Cauchy, que È uma vers„o um pouquinho mais geral do Teorema do Valor MÈdio apresentado em sala de aula.
Teorema do Valor MÈdio de Cauchy Suponha que as funÁıes f e g sejam contÌnuas no intervalo fechado [a; b] e deriv·veis no intervalo aberto (a; b) e suponha, ainda, que g^0 (x) 6 = 0 em qualquer x do intervalo (a; b) : Ent„o
xxxiv AN¡LISE NA RETA MARIVALDO P MATOS
existe um n˙mero c em (a; b) tal que:
f (b) f (a) g (b) g (a) =^
f 0 (c) g^0 (c) :^ (5) Prova do TVM de Cauchy Daremos o roteiro e deixaremos os detalhes da demonstraÁ„o para vocÍ preencher. N„o deixe de fazÍ-lo. (i) Aplique o Teorema de Rolle ‡ funÁ„o g em [a; b] e deduza que g (b) 6 = g (a) ; essa condiÁ„o È necess·ria em (5). (ii) Aplique o Teorema de Rolle ‡ funÁ„o F (x) = f (x) f (a) f g^ ((bb))^ ^ fg^ ((aa) )[g (x) g (a)]
para deduzir que existe c em (a; b) tal que F 0 (c) = 0 e a partir dessa igualdade obtenha (5)
Prova da Regra de líHÙpital Comece revendo as condiÁıes exigidas na regra. Suponha que x esteja ‡ direita de a e aplique o TVM de Cauchy ao intervalo [a; x] : Existe c entre a e x tal que:
f 0 (c) g^0 (c) =^
f (x) f (a) g (x) g (a) =^
f (x) g (x) (lembre-se que^ f^ (a) =^ g^ (a) = 0).
Logo, f 0 (c) g^0 (c) =^
f (x) g (x) : Conforme x tende para a, o n˙mero c tambÈm se aproxima de a, porque est· entre x e a. Conse- q¸entemente, tomando o limite na ˙ltima igualdade, com x! a+; obtemos:
x^ lim!a+^ f g^ ((xx) )=^ xlim!a+^ f^
(^0) (c) g^0 (c) =^ xlim!a+
f 0 (x) g^0 (x) ;
que estabelece a Regra de líHÙpital. O caso em que x est· ‡ esquerda de a o TVM de Cauchy È aplicado ao intervalo [x; a] e o limite obtido È o limite lateral ‡ esquerda.
4.34 Considere a funÁ„o f : R! R deÖnida por:
f (x) = exp^
1 =x 2 (^) , se x 6 = 0 0 , se x = 0: (a) Mostre por induÁ„o que f (n)^ (0) = 0; 8 n = 1; 2 ; 3 ; : : : ;
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4.41 Seja f : [a; b]! [a; b] uma funÁ„o contÌnua e convexa tal que f (a) 6 = a e f (b) 6 = b Mostre que f tem um ˙nico ponto Öxo em [a; b] :
4.42 Seja f : [a; b]! R contÌnua e convexa tal que f (a) < 0 < f (b). Prove que existe um ˙nico c em (a; b) tal que f (c) = 0:
4.43 Seja X R um subconjunto convexo. Mostre que f : X! R È convexa se, e somente se, o conjunto A (f ) = f(x; y) 2 X R; y f (x)g È convexo.
4.44 Mostre que o conjunto X = f(x; y) 2 R+^ R; ln x + y 0 g È convexo.
