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Funções Trigonométricas
Grupo de Matemática da Universidade Técnica de Lisboa:
António St. Aubyn, Maria Carlos Figueiredo,
Luís de Loura, Luísa Ribeiro, Francisco Viegas
Lisboa, Março de 2004
O documento presente foi obtido directamente do código TeX fornecido pelos autores com alterações de formatação. A versão corrente é de 4 de Novembro de 2005. A revisão deste texto do ponto de vista gráfico ainda não está completa. Novas versões poderão ficar disponíveis no futuro a partir de http://preprint.math.ist.utl.pt/files/ppgmutltrig.pdf. O DMIST agradece ao Grupo de Matemática da UTL a possibilidade de facultar o texto aos alunos das disciplinas introdutórias de Matemática do IST.
Conteúdo
1 O círculo trigonométrico 2
2 Função seno 8
3 Função co-seno 18
4 Funções tangente e cotangente 30
5 Funções secante e co-secante 41
6 Funções trigonométricas inversas 44 6.1 Funções arco seno e arco co-seno................ 47
7 Coordenadas polares 49
1 O círculo trigonométrico
Uma das formas elementares de introduzir as funções trigonométricas é utilizar o chamado círculo trigonométrico. Foi, aliás, desta maneira que as referidas funções foram estudadas no ensino secundário. Chamamos círculo trigonométrico a uma circunferência^1 de raio 1 cen- trada na origem de um referencial ortonormado directo no plano (O, e 1 , e 2 ). Relembramos que um referencial (O, e 1 , e 2 ) do plano se diz ortonormado directo sse os vectores^2 e 1 e e 2 tiverem igual comprimento e o ângulo ori- entado de e 1 para e 2 for um ângulo recto, orientado no sentido contrário ao dos ponteiros do relógio. Na figura 1 representamos o referencial (O, e 1 , e 2 ) e o círculo trigonométrico, que designaremos por C. Designemos por ξ e η as coordenadas de um ponto genérico Q do plano no referencial (O, e 1 , e 2 ). Relembrando que a equação de uma circunferên- cia centrada na origem O do referencial e com raio R > 0 é ξ^2 + η^2 = R^2 , vemos que o ponto Q pertence ao círculo trigonométrico sse
ξ^2 + η^2 = 1 (1)
A condição (1) é, portanto, a equação do círculo trigonométrico^3.
(^1) Seria mais razoável usar o termo circunferência trigonométrica mas, por tradição,
círculo trigonométrico é o termo usado. (^2) Por convenção, escreveremos os vectores em letra escura não itálica. (^3) Não esquecer que se trata de uma circunferência!
construído da forma descrita:
Ψ : R → C.
A função Ψ é obviamente sobrejectiva porque, dado um ponto P qual- quer do círculo trigonométrico, é possível (e muito fácil) determinar um número real x tal que P = Ψ(x), por outras palavras, tal que P seja o ponto associado a x pelo processo descrito no início. De facto, basta considerar a semi-recta OP, determinar um ângulo orientado θ que ela faça com o vector e 1 , e tomar para x a medida, em radianos, desse ângulo θ (ver figura 2). No entanto a função Ψ não é injectiva. De facto, suponhamos que o ponto P do círculo trigonométrico está associado a um certo número x, ou seja, que P = Ψ(x). Isto significa que um ângulo orientado entre o vector e 1 e a semi-recta OP mede x radianos. Mas então um outro ângulo orientado entre e 1 e a semi-recta OP mede, por exemplo, x + 2 π radianos, visto que um ângulo de 2π radianos corresponde a uma volta completa no círculo trigonométrico. Consequentemente o ponto P está também associado ao número real x + 2 π, ou seja, P = Ψ(x + 2 π). Das igualdades
P = Ψ(x) = Ψ(x + 2 π)
concluímos que Ψ não é injectiva. Pode agora pôr-se a questão: dado um ponto P do círculo trigonomé- trico, a que números reais estará P associado? Por outras palavras, quais os números x tais que P = Ψ(x)? Para responder a esta questão, designemos por θ um ângulo orientado entre e 1 e a semi-recta OP. Sendo α a medida, em radianos, do ângulo θ, tem-se P = Ψ(α). Todos os outros ângulos entre e 1 e a semi-recta OP diferem de θ por um valor correspondente a um número inteiro de voltas completas no círculo trigonométrico. Como uma volta mede 2π radianos, todos os outros ângulos entre e 1 e a semi-recta OP têm uma medida (em radianos) que difere da de θ por um múltiplo inteiro de 2π. Quer isto dizer que a medida x, em radianos, de qualquer um desses ângulos é igual a α mais um múltiplo inteiro de 2π; por outras palavras, existe um número inteiro K tal que x é igual a 2Kπ + α:
∃K ∈ Z x = 2 Kπ + α. (2)
Acabámos de ver que, se P é um ponto do círculo trigonométrico associado ao número real α (o que significa P = Ψ(α)), então P está associado ao número real x (ou seja, P = Ψ(x)) sse a condição (2) for verificada. Dito de outra forma, Ψ(x) = Ψ(α) sse a condição (2) for verificada.
No estudo da trigonometria é usual abreviar a escrita da condição (2), omitindo o quantificador existencial. Assim, em vez de (2), escreveremos, com o mesmo sentido, x = 2 Kπ + α. (3)
Já mostrámos que Ψ(x) = Ψ(α) sse a condição (3) for verificada. Há que ter alguma atenção com a notação (3). O significado de (3) é, por convenção, o de (2): existe um inteiro K tal que x = 2 Kπ + α. Assim, por exemplo, a condição (3) é equivalente a
x = − 2 Kπ + α. (4)
De facto x = − 2 Kπ + α pode escrever-se na forma x = 2(−K)π + α e, como quando K percorre o conjunto dos inteiros o mesmo sucede a −K, as condições (3) e (4) são equivalentes (não esquecendo que, por convenção de linguagem, cada uma delas pressupõe um quantificador existencial na variável K). Um outro tipo de notação abreviada, muito usado no estudo da trigo- nometria, é o que passamos a expor. Consideremos a seguinte condição:
(∃K ∈ Z x = − 2 Kπ + α) ∨ (∃K ∈ Z x = − 2 Kπ − α). (5)
De acordo com a convenção já feita, cada uma das condições que se encon- tram entre parênteses, pode ser escrita omitindo o quantificador existen- cial. Assim, (3) é equivalente a
x = − 2 Kπ + α ∨ x = − 2 Kπ − α. (6)
É usual abreviar a escrita de (6) para
x = − 2 Kπ ± α. (7)
Cuidado na leitura de (7)! De acordo com as convenções feitas, o sinal ± significa uma disjunção. Logo (7) é uma abreviatura de (6); mas, por sua vez, x = − 2 Kπ + α e x = − 2 Kπ − α são abreviaturas, respectivamente, de ∃K ∈ Z x = − 2 Kπ + α e de ∃K ∈ Z x = − 2 Kπ + α, pelo que (6) significa (5). Convem, nesta altura, o leitor familiarizar-se com este tipo de notações. Para o ajudar nessa tarefa daremos mais alguns exemplos.
Exemplo 1. Consideremos os pontos P e Q do círculo trigonométrico repre- sentados na figura 3. Como determinar todos os números reais x tais que P ou Q estão asso- ciados a x? Por outras palavras, quais os valores de x tais que P = Ψ(x) ou
a
P
p-a
Q
O
r
Figura 4: Exemplo 2.
Exemplo 3. Consideremos os pontos P e Q do círculo trigonométrico repre- sentados na figura 5 e determinemos todos os números reais x tais que P ou Q estão associados a x, ou seja, tais que P = Ψ(x) ou Q = Ψ(x).
a
P
Q
O
r
-a
Figura 5: Exemplo 3.
Sabemos, pela figura 5, que P = Ψ(α) e Q = Ψ(−α). Por consequência, tendo em conta (3),
x = 2 Kπ + α ∨ x = 2 Kπ − α. (12)
Tendo em conta a convenção de notação introduzida em (7), vemos que (12) é equivalente a x = 2 Kπ ± α. (13)
2 Função seno
Nesta secção introduziremos o seno de um número real x, recorrendo ao círculo trigonométrico, tal como foi feito no ensino secundário. Em seguida estudaremos algumas propriedades da função seno. Para definir o seno do número real x começamos, tal como indicado na figura 6, por considerar o ângulo orientado θ cuja medida em radianos é x. Em seguida consideramos o ponto P do círculo trigonométrico associado ao número x, ou seja, tal que P = Ψ(x). Finalmente o seno de x é a ordenada do ponto P no referencial ortonormado onde está inserido o círculo trigonométrico^5.
q ( x radianos)
P (^) sen x
Figura 6: O seno de x.
Desta forma associamos, a cada número real x, um outro número real a que chamamos o seno de x. O que estamos a fazer não é mais do que definir uma função, a que chamaremos função seno (usualmente designada por sen), que associa a cada número real x o valor do seno de x definido pelo processo descrito. A função seno tem por domínio o conjunto R dos números reais, uma vez que o processo descrito para calcular o seno de x se pode aplicar a qualquer número real. O contradomínio da função seno é o conjunto das ordenadas dos pontos do círculo trigonométrico, ou seja, o intervalo [− 1 , 1]. Na notação usual para funções, podemos portanto escrever:
sen : R → [− 1 , 1]. (^5) Note-se que o valor do seno de x assim definido é independente do referencial orto-
normado directo escolhido.
Para calcularmos o seno de π 4 recorremos novamente ao círculo trigo- nométrico, como representado na figura 8.
p/
P
O^ Q
Figura 8: O seno de
π 4
O triângulo ∆OPQ é rectângulo em Q e o ângulo ∠POQ mede π 4 radianos. Logo o ângulo ∠OPQ também mede π 4 radianos, pelo que o triângulo ∆OPQ é isósceles. Designando por ξ o comprimento do segmento PQ (que é igual ao do segmento OQ) tem-se, pelo teorema de Pitágoras, ξ^2 + ξ^2 = 1, ou seja
ξ^2 = 12 ; daqui se conclui que ξ = √^12 =
√ 2
- Portanto o seno de^
π 4 , que é o comprimento do segmento PQ, é dado por
sen
π 4
Calculemos ainda o seno de π 3 , recorrendo à figura 9. Por construção, os triângulos ∆OPQ e ∆ORS são geometricamente iguais, pelo que o com- primento do segmento RS é igual ao comprimento do segmento PQ; mas este último é o seno de π 6 , que já sabemos ser igual a 12. Designando por ξ o comprimento do segmento OS, que é precisamente o seno de π 3 , podemos aplicar o teorema de Pitágoras ao triângulo ∆ORS, obtendo:
ξ^2 +
Concluímos assim que ξ^2 = 1 − 14 = 34 , ou seja ξ =
√ 3 2.^ Acabámos de demonstrar que:
sen
π 3
p/
P
S
O
p/
R
Q
Figura 9: O seno de
π 3
Seja x um número real qualquer e seja P o ponto do círculo trigonométrico associado a x, ou seja, tal que P = Ψ(x). Tendo em conta (3), que nos garante que, para todo o K inteiro, P = Ψ(2Kπ + x), vemos que
∀x ∈ R ∀K ∈ Z sen(2Kπ + x) = sen x. (14)
Um outro resultado interessante, que se deduz facilmente do círculo trigonométrico, é o seguinte:
∀x ∈ R sen(−x) = − sen x. (15)
De facto, como se vê na figura 10, os segmentos PR e QR têm o mesmo comprimento. Ora o comprimento de PR coincide com a ordenada de P que, por definição, é o seno de x; o comprimento de QR coincide com o simétrico da ordenada de Q que, por definição, é o seno de −x. Conse- quentemente a igualdade (15) é verificada^6.
(^6) A demonstração, tal como a fizémos, só é válida se o ponto P estiver no 1o (^) ou no
2 o^ quadrante; no entanto é fácil adapta-la aos casos em que P pertence ao 3o^ ou ao 4o quadrante.
Figura 11: x ≤ sen x sempre que x ≥ 0.
Como x pertence ao intervalo [0, π 2 ], o seno de x coincide com o com- primento do segmento PR (ver figura 11). O comprimento deste segmento é menor ou igual^7 ao comprimento do arco de círculo trigonométrico PQ. Mas, como o círculo trigonométrico tem raio 1, o comprimento do arco PQ é igual à medida (em radianos) do ângulo ao centro, ou seja, x. Concluímos assim que, para x ∈ [0, π 2 ], se tem sen x ≤ x. No caso de x ser maior do que π 2 , o seno de x é sempre ≤ 1 e o arco correspondente de círculo trigonométrico tem um comprimento maior do que π 2 , número este que é maior do que 1. Em conclusão podemos escrever:
∀x ≥ 0 sen x ≤ x. (21)
Claro que, se x ≤ 0, então −x ≥ 0 e podemos aplicar a −x a desigualdade (21): sen(−x) ≤ −x. Utilizando a equação (15), esta desigualdade pode ainda escrever-se − sen x ≤ −x, ou, multiplicando esta última desigualdade por −1, sen x ≥ x. Portanto:
∀x ≤ 0 x ≤ sen x (22)
Para x ∈ [0, π 2 ] sabemos, por (21), que sen x ≤ x. Como, para esses valores de x, o seno de x é ≥ 0, concluímos que | sen x| ≤ |x|. Analogamente, para x ∈ [−π 2 , 0], sabemos, por (22), que x ≤ sen x. Mas, para x ∈ [−π 2 , 0], sabemos que o seno de x é ≤ 0, pelo que |x| = −x ≥ − sen x = | sen x|. Para x ≤ −π 2 ou x ≥ π 2 tem-se |x| ≥ π 2 > 1; como | sen x| é sempre ≤ 1, temos
(^7) Aliás, só é igual no caso x = 0.
também | sen x| ≤ |x|. Acabámos de demonstrar que
∀x ∈ R | sen x| ≤ |x| (23)
Figura 12: Gráfico da restrição do seno ao intervalo [0, 2 π].
Vamos agora esboçar o gráfico da função sen : R → [− 1 , 1]. A função seno assim definida, como função de R em [− 1 , 1], é, como já vimos, sobrejectiva; no entanto as igualdades (16) a (20) mostram-nos que não é injectiva. Quando x cresce de 0 até π 2 , o ponto P do círculo trigonométrico (ver figura 6) associado a x percorre, no sentido contrário ao dos ponteiros de um relógio, o quarto de círculo trigonométrico que está no primeiro quadrante do referencial (O, e 1 , e 2 ). Vemos assim que o seno de x, que é a ordenada de P, cresce de 0 até 1. Quando x cresce de π 2 até π, o ponto P percorre, no sentido contrário ao dos ponteiros de um relógio, o quarto círculo trigonométrico que está no segundo quadrante do referencial, pelo que o seno de x decresce de 1 até 0. Utilizando a igualdade sen(π 2 + x) = sen(π 2 − x), que é a fórmula (17) com K = 0, vemos que, no intervalo [0, π], o gráfico do seno é simétrico em relação à recta vertical de equação y = π 2. Finalmente, utilizando a igualdade sen(π + x) = − sen(π − x), que resulta das fórmulas (18) e (19), vemos que, no intervalo [0, 2 π], o gráfico do seno é simétrico em relação ao ponto de abcissa π e ordenada 0. O gráfico da restrição do seno ao intervalo [0, 2 π] terá então uma forma como a apresentada na figura 12. Para outros valores da variável independente, o seno é facilmente cal- culado através da igualdade (14). Esta igualdade diz-nos, em particular, que sen(x + 2 π) = sen x; consequentemente o gráfico do seno vai ser uma “repetição” da curva representada na figura 12. Apresentamos um esboço do gráfico da função seno na figura 13. A curva esboçada nessa figura, que é o gráfico da função seno, é usualmente chamada uma sinusóide (ou
Figura 15: sen x =
cop h
Designemos respectivamente por cop e por h o comprimento do cateto oposto ao ângulo θ (ou seja, o comprimento do segmento RS) e o com- primento da hipótenusa do triângulo rectângulo ∆ORS. Consideremos o círculo trigonométrico com centro em O; seja P o ponto de intersecção desse círculo com a semi-recta definida pela hipótenusa OR do triângulo rectângulo ∆ORS 8. Consideremos ainda o segmento PQ, que é um seg- mento vertical, paralelo a RS, e que vai do ponto P até à semi-recta definida pelo segmento OS. O seno de x, que é a ordenada do ponto P, é igual ao comprimento do segmento PQ. Atendendo a que o comprimento de OP é 1, por se tratar do raio do círculo trigonométrico, tem-se^9 :
sen x = PQ =
PQ
OP
Mas, recorrendo ao teorema de Thales, sabemos que PQOP = (^) ORRS ; acabámos
de provar que
sen x =
RS
OR
cop h
Por outras palavras, num triângulo rectângulo qualquer, sendo x a medida, em radianos, de um dos ângulos agudos, o seno de x é igual ao
(^8) No caso representado na figura 15 o círculo trigonométrico intersecta a hipótenusa
OR mas isso não aconteceria se o comprimento dessa hipótenusa fosse inferior a 1. (^9) Utilizaremos a notação AB para designar o comprimento do segmento AB.
quociente entre a medida do cateto oposto a esse ângulo e a medida da hipótenusa.
Seja α um número real qualquer e consideremos a equação
sen x = sen α (24)
Como resolver esta equação? A ideia é muito simples: recorrer ao círculo trigonométrico. O seno de α é um número compreendido entre −1 e 1 e, na figura 16, representamos a recta horizontal r de equação y = sen α. Dizer que o seno de x é igual ao seno de α é dizer que os pontos do círculo trigonométrico associados a x são os pontos de intersecção daquela recta com o círculo, ou seja, os pontos P e Q na figura 16. Consequentemente x é igual a α ou a π − α, ou difere destes valores por um múltiplo inteiro de 2 π. Em resumo:
sen x = sen α ⇔ x = 2 Kπ + α ∨ x = 2 Kπ + π − α (K ∈ Z) (25)
Figura 16: A equação sen x = sen α.
Detalhemos alguns casos particulares da equação (25). No caso de se ter α = 0 (o que corresponde à equação sen x = 0), vem x = 2 Kπ ou x = 2 Kπ + π; significa isto que x é um múltiplo inteiro de π. Portanto
sen x = 0 ⇔ x = Kπ (K ∈ Z) (26)
Figura 18: cos x = sen(π 2 − x).
Seja x um número real qualquer; representamos o ângulo cuja medida em radianos é x na figura 18. O co-seno de x é, na figura 18, a abcissa do ponto P, ou seja, o comprimento do segmento OQ. Os triângulos ∆ORS e ∆OPQ são, por construção, geometricamente iguais. Logo o comprimento do segmento OQ (que coincide com o co-seno de x) é igual ao comprimento do segmento OS (que coincide com o seno de π 2 − x). O raciocínio que fizemos com o ponto P no 1o^ quadrante generaliza-se facilmente ao caso em que P pertence aos outros quadrantes, pelo que se tem
∀x ∈ R cos x = sen
(π
2
− x
É, aliás, esta igualdade que justifica o nome de co-seno: os ângulos cujas medidas são, em radianos, x e π 2 − x são complementares. Quando estudámos a função seno verificámos que, num triângulo rec- tângulo qualquer, o seno de x (sendo x a medida, em radianos, de um dos ângulos agudos) é igual ao quociente entre a medida do cateto oposto e a medida da hipótenusa. Como o co-seno de x é o seno de π 2 − x, e este valor é a medida, em radianos, do outro ângulo agudo do triângulo, concluímos que, num triângulo rectângulo, o co-seno de x é igual ao quociente entre a medida do cateto adjacente e a medida da hipótenusa. Reportando-nos à figura 14, podemos escrever:
cos x =
OS
OR
A partir da fórmula (29) podemos facilmente calcular o valor do co-seno em pontos onde conheçamos o seno. Assim, tem-se:
cos 0 = sen
π 2
= 1; cos
π 2
= sen 0 = 0; cos π = sen
π 2
cos
3 π 2
= sen(−π) = 0; cos(2π) = sen
3 π 2
= 1; cos
π 2
= sen π = 0;
cos
π 6
= sen
π 3
; cos
π 4
= sen
π 4
; cos
π 3
= sen
π 6
Na tabela que apresentamos a seguir, indicamos os valores do seno de x e do co-seno de x para os casos x = 0, x = π 6 , x = π 4 , x = π 3 e x = π 2 :
x 0 π 6 π 4 π 3 π 2
sen x (^0 )
√ 2 2
√ 3 2 1 cos x 1
√ 3 2
√ 2 2
1 2 0
Com recurso ao círculo trigonométrico, ou à fórmula (29), é fácil deduzir para o co-seno as igualdades correspondentes às estabelecidas para o seno em (15), (14), (16), (17) e (20), e que são:
cos(−x) = cos x (30) cos(2Kπ + x) = cos x (31) cos(2Kπ − x) = cos x (32) cos(2Kπ + π + x) = − cos x (33) cos(2Kπ + π − x) = − cos x (34)
Estas igualdades são válidas quaisquer que sejam K pertencente a Z e x pertencente a R. A título de exemplo, deduziremos apenas a igualdade (30):
cos(−x) = sen
(π
2
= sen
(π
2
− x
= cos x.
Na expressão anterior, a primeira igualdade resulta de substituir x por −x em (29); a segunda igualdade é obtida de (17), com K = 0; a última igualdade não é mais do que (29). Recomendamos ao leitor interessado, como exercício, a dedução das outras fórmulas, quer recorrendo a (29), quer recorrendo directamente ao círculo trigonométrico.
