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Livro: Introdução à Álgebra Linear Autores: Abramo Hefez
Cecília de Souza Fernandez
Capítulo 1: Sistemas Lineares e Matrizes
Sumário
1 O que é Álgebra Linear?............... 2 1.1 Corpos......................... 3 1.2 Espaços Vetoriais................... 4 1.3 Sistemas de Equações Lineares........... 9 2 Matrizes......................... 14 2.1 A De nição de Matriz................ 14 2.2 Operações com Matrizes............... 16 2.3 Matriz Inversa.................... 23
2 CAPÍTULO 1. SISTEMAS LINEARES E MATRIZES
1 O que é Álgebra Linear?
Os espaços em que trabalharemos são os Rn, com n ≥ 2 , isto é, o produto cartesiano de n cópias da reta real R. Para n ≥ 4 , este espaço generaliza o espaço R^2 dos vetores do plano e o espaço R^3 dos vetores no espaço. A diferença crucial entre os casos n = 2 e n = 3 e os casos em que n ≥ 4 é que, para estes últimos, não se dispõe de uma representação geométrica. O fato não diminui a importância desses espaços, pois basta pensar que o R^4 é o espaço-tempo da Física, em que os pontos são quaternos (x, y, z, t), com as três primeiras coordenadas representando a posição no espaço de uma partícula ideal e a última representando o instante t em que esta partícula ocupa tal posição. Por não existir uma representação geométrica para os pontos de Rn^ com n ≥ 4 , seremos obrigados a tratá-los algebricamente, sem o recurso da visualização geométrica, tão fundamental em R^2 e R^3. Portanto, trataremos os elementos de Rn^ como vetores, onde a soma de dois vetores (x 1 , x 2 ,... , xn) e (y 1 , y 2 ,... , yn) é dada por
(x 1 , x 2 ,... , xn) + (y 1 , y 2 ,... , yn) = (x 1 + y 1 , x 2 + y 2 ,... , xn + yn),
e a multiplicação do vetor (x 1 , x 2 ,... , xn) pelo número real a, chamado de escalar, é de nida por
a(x 1 , x 2 ,... , xn) = (ax 1 , ax 2 ,... , axn).
Os espaços Rn^ são utilizados de modo essencial em quase todos os ramos do conhecimento e, por este motivo, são estudados em Matemática sob os mais variados pontos de vista e com as mais diversas estruturas. Por exem- plo, no Cálculo Diferencial, são considerados como espaços normados; em Geometria, como espaços com produto interno. A estrutura de Rn^ estudada em Álgebra Linear é a induzida pela estrutura de corpo da reta real R. Essa é a estrutura mínima apropriada para se estudar sistemas de equações lineares com várias incógnitas. Além disso, é aquela sobre a qual se constroem o Cálculo Diferencial e a Geometria Diferencial, entre outros.
4 CAPÍTULO 1. SISTEMAS LINEARES E MATRIZES
Existem exemplos de corpos que à primeira vista parecem exóticos, como o corpo de Galois^1 F 2 , que consiste dos dois elementos 0 e 1 com as seguintes operações:
× 0 1
Note que este é o corpo com o menor número possível de elementos, pois todo corpo deve possuir os dois elementos distintos 0 e 1. Apesar de parecerem apenas curiosidades, os corpos com um número nito de elementos têm as mais variadas aplicações em quase toda a Matemática e são essenciais na tecnologia e na computação.
1.2 Espaços Vetoriais
Os espaços Rn, por serem constituídos por vetores que podem ser soma- dos e multiplicados por escalares, como vimos antes, são chamados espaços vetoriais. Como os espaços vetoriais são os objetos principais de estudo da Álgebra Linear, vamos de ni-los formalmente a seguir. Um conjunto V será dito um espaço vetorial sobre um corpo K, se possui uma adição (+) com as mesmas propriedades da adição em um corpo; ou seja,
A1 A adição é associativa: (u + v) + w = u + (v + w), para todos u, v, w ∈ V. A2 A adição é comutativa: u + v = v + u, para todos u, v ∈ V. A3 A adição possui elemento neutro (elemento zero): existe 0 ∈ V , tal que v + 0 = v, para todo v ∈ V. (^1) Em homenagem a Évariste Galois (França, 1811-1832), considerado um dos grandes gênios da Matemática.
1. O QUE É ÁLGEBRA LINEAR? 5
A4 A adição possui simétricos:
para todo v ∈ V , existe −v ∈ V tal que v + (−v) = 0.
E além disso, existe uma operação chamada de multiplicação por escalar, que associa a um elemento a ∈ K e a um elemento v ∈ V , um elemento av ∈ V , tal que
ME1 a(u + v) = au + av, para todos a ∈ K e u, v ∈ V.
ME2 (a 1 + a 2 )v = a 1 v + a 2 v, para todos a 1 , a 2 ∈ K e v ∈ V.
ME3 (a 1 a 2 )v = a 1 (a 2 v), para todos a 1 , a 2 ∈ K e v ∈ V.
ME4 1 v = v, para todo v ∈ V.
Os elementos de V serão chamados de vetores e os elementos de K de escalares. Assim, o elemento 0 de V será chamado de vetor nulo e o elemento −v de vetor oposto de v.
O primeiro matemático a dar uma de nição abstrata para um espaço vetorial foi Giuseppe Peano (Itália, 1858 - 1932) em seu livro Calcolo Geo- metrico, de 1888. No Capítulo IX, Peano dá uma de nição do que ele chama de um sistema linear. Para Peano, um sistema linear consistia de quantidades com operações de adição e multiplicação por escalar. A adição deveria satis- fazer as leis comutativa e associativa, enquanto a multiplicação por escalar deveria satisfazer duas leis distributivas, uma lei associativa e a lei de que 1 · v = v para toda quantidade v. Além disso, Peano incluiu como parte de seu sistema de axiomas a existência de uma quantidade 0 (zero) satisfazendo v + 0 = v, para todo v, assim como v + (−1)v = 0 para todo v. Peano também de niu a dimensão de um sistema linear como o máximo número de quantidades linearmente independentes do sistema (veja esta noção na Seção 2 do Capítulo 3). Peano veri cou que o conjunto das funções polinomiais em uma variável forma um sistema linear, mas não existia um tal número má- ximo de quantidades linearmente independentes, portanto, a dimensão deste sistema deveria ser in nito.
O fato a seguir decorre da de nição de espaço vetorial. Para a ∈ K e
1. O QUE É ÁLGEBRA LINEAR? 7
operações semelhantes às de adição de vetores e de multiplicação de vetores por escalares que de nimos no caso em que K = R. Por exemplo, os espaços vetoriais Fn 2 sobre F 2 , por mais inócuos que possam parecer, são de extrema utilidade em várias aplicações, dentre elas na construção de códigos corretores de erros (veja a referência [3] para maiores detalhes sobre esta teoria).
Outros exemplos importantes de espaços vetoriais são os espaços R e C sobre o corpo Q e o espaço C sobre o corpo R. Como sucede com frequência em Matemática, ao introduzir um conceito para lidar com determinado problema, cria-se um instrumento que muitas vezes transcende o problema inicial e se constitui em um conceito central em vários outros contextos. Isto ocorreu com a noção de espaço vetorial, que inicialmente foi introduzida para tratar de alguns tipos de problemas em Rn, como a resolução de sistemas de equações lineares cuja discussão iniciaremos na próxima subseção, e se desenvolveu em uma teoria com vida própria. Pode-se sinteticamente dizer que a Álgebra Linear é a parte da Matemática que se dedica ao estudo dos espaços vetoriais e de certas funções entre esses espaços, chamadas de transformações lineares. Embora muitas das ferramentas básicas da Álgebra Linear, particular- mente as que estão relacionadas com sistemas lineares, datem da antigui- dade, o assunto começou a tomar sua forma atual em meados dos século XIX. A partir desta época, muitas noções estudadas em séculos anteriores foram abstraídas e muitos métodos generalizados. A Álgebra Linear tem várias aplicações fora da Matemática. Por exemplo, citamos a teoria da relatividade e a mecânica quântica na Física e a teoria de análise de regressão na Estatística. A seguir, daremos alguns exemplos diferentes de Rn^ para ilustrar situações onde aparecem os espaços vetoriais e que, muitas vezes, quando tratadas dessa forma ganham clareza.
Exemplo 1 O conjunto das funções de um conjunto não vazio A em R forma um espaço vetorial sobre R, onde a soma é a soma usual de funções
8 CAPÍTULO 1. SISTEMAS LINEARES E MATRIZES
com valores reais
(f + g)(x) = f (x) + g(x), para todo x ∈ A,
e a multiplicação de uma função f por um escalar a ∈ R é de nida como sendo (a f )(x) = a f (x), para todo x ∈ A. Em particular, se I = [a, b] é um intervalo em R, sabe-se do Cálculo Dife- rencial e Integral que o conjunto das funções contínuas, bem como o conjunto das funções integráveis, de I em R, são espaços vetoriais sobre R.
Exemplo 2 De acordo com o Exemplo 1, o conjunto S das sequências de números reais, isto é, o conjunto das funções de N \ { 0 } em R é um espaço vetorial sobre R. É fácil veri car (leitor, faça-o) que o conjunto R(a, b) das sequências (un) em S que satisfazem a recorrência
un+1 = aun + bun− 1 , n ≥ 2 ,
onde a e b são dois números reais xados, é um espaço vetorial sobre R. Em particular, o conjunto R(1, 1), que contém a sequência de Fibonacci^2 (aquela para a qual u 1 = u 2 = 1), é um espaço vetorial. Veremos no Capítulo 5 como esta informação nos ajudará a achar todas as sequências em R(1, 1), determinando suas fórmulas fechadas.
Exemplo 3 (Peano) O conjunto K[x] dos polinômios com coe cientes em um corpo K forma um espaço vetorial sobre K. Para n ∈ N, os conjuntos
K[x]n = {p(x) ∈ K[x] ; grau(p(x)) ≤ n} ∪ { 0 }
também são espaços vetoriais sobre K. Em particular, o conjunto
R[x] 2 = {a 0 + a 1 x + a 2 x^2 ; a 0 , a 1 , a 2 ∈ R}
é um espaço vetorial sobre R. (^2) Apelido de Leonardo de Pisa (Itália, ∼ 1170 - ∼ 1250). Foi o primeiro grande mate- mático europeu da Idade Média.
10 CAPÍTULO 1. SISTEMAS LINEARES E MATRIZES
Esse método será generalizado e sistematizado para sistemas de equações lineares com m equações e n incógnitas do tipo
a 11 x 1 + a 12 x 2 + · · · + a 1 nxn = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + · · · + a 2 nxn = b 2 ... am 1 x 1 + am 2 x 2 + · · · + amnxn = bm ,
onde os aij 's e os bi's, para 1 ≤ i ≤ m e 1 ≤ j ≤ n, são números reais dados, ou, mais geralmente, elementos de um corpo K dado. Seja
S = {(c 1 , c 2 ,... , cn) ∈ Rn^ ; ai 1 c 1 + ai 2 c 2 + · · · + aincn = bi, 1 ≤ i ≤ m}.
Esse subconjunto de Rn^ é chamado de conjunto solução do sistema (2). É precisamente este conjunto que queremos determinar ou descrever o mais explicitamente possível.
Note que para resolver o sistema (1), do exemplo acima, o modi camos gradativamente, por meio de uma sequência de transformações elementares, em um sistema mais simples de resolver, onde por transformação elementar de um sistema entendemos uma das seguintes transformações:
- Trocar a posição relativa de duas equações do sistema;
- Trocar uma equação pela soma membro a membro da própria equação com um múltiplo de outra;
- Trocar uma equação dada por um de seus múltiplos (i.e., a equação obtida multiplicando ambos os membros da equação dada por um número real não nulo).
Diremos que dois sistemas de equações lineares são sistemas equivalentes, se pudermos obter um sistema do outro a partir de uma sequência nita de transformações elementares. Esta relação entre sistemas é efetivamente uma relação de equivalência. De fato, ela é claramente re exiva, pois basta multiplicar uma das equações
1. O QUE É ÁLGEBRA LINEAR? 11
do sistema por 1 ; é transitiva, pois basta concatenar uma sequência de trans- formações elementares com uma outra; e é simétrica, pois podemos desfazer uma transformação elementar com outra. Assim, é imediato veri car que: Sistemas de equações lineares equivalentes possuem mesmo conjunto solução.
Dentre os sistemas de equações lineares, ocupam lugar de destaque os sistemas homogêneos, ou seja, aqueles sistemas como em (2), porém com os bi's todos nulos:
a 11 x 1 + a 12 x 2 + · · · + a 1 nxn = 0 a 21 x 1 + a 22 x 2 + · · · + a 2 nxn = 0 ...
am 1 x 1 + am 2 x 2 + · · · + amnxn = 0.
Esses sistemas possuem peculiaridades não compartilhadas pelos sistemas mais gerais. Por exemplo, o vetor (0, 0 ,... , 0) pertence ao conjunto Sh de soluções do sistema. Além disso, se os vetores u = (c 1 , c 2 ,... , cn) e u′^ = (c′ 1 , c′ 2 ,... , c′ n) são soluções do sistema, e se a ∈ R, então os vetores
u + u′^ = (c 1 + c′ 1 , c 2 + c′ 2 ,... , cn + c′ n) e au = (ac 1 , ac 2 ,... , acn)
também são soluções do sistema (3) (leitor, veri que). Assim, resulta que o espaço Sh das soluções do sistema (3) é um espaço vetorial sobre R De fato, as propriedades A1 e A2 da de nição são satisfeitas para todos os vetores de Rn^ e em particular para os de Sh. Por outro lado, (0, 0 ,... , 0) ∈ Sh e se (c 1 , c 2 ,... , cn) ∈ Sh, então
−1(c 1 , c 2 ,... , cn) = (−c 1 , −c 2 ,... , −cn) ∈ Sh,
o que mostra que a adição em Sh possui também as propriedades A3 e A4. Além disso, as propriedades ME1ME4 da multiplicação por escalar são fa- cilmente veri cadas para Sh. Note que o que há de essencial em um sistema de equações lineares (2) são os coe cientes das equações que o formam além dos números que
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- Veri que também que, para cada par de números reais (a, b), o conjunto das recorrências R(a, b), de nido no Exemplo 2, é um espaço vetorial sobre R.
1.2 Seja v um elemento não nulo de um espaço vetorial V sobre R. Mostre que é injetora a função R → V t 7 → tv.
1.3 Sejam v 1 e v 2 elementos de um espaço vetorial V sobre R. Mostre que a função R^2 → V (a 1 , a 2 ) 7 → a 1 v 1 + a 2 v 2
é injetora se, e somente se, v 1 e v 2 não são colineares.
1.4 Diga, em cada caso, por que o conjunto com as operações indicadas não satisfaz à de nição de espaço vetorial, onde a ∈ R.
a) R^2 , com as operações: (x, y) + (x′, y′) = (x + x′, y + y′) e a(x, y) = (3ax, 3 ay).
b) R^2 , com as operações: (x, y) + (x′, y′) = (xx′, yy′) e a(x, y) = (ax, 0).
c) R^3 , com as operações: (x, y, z) + (x′, y′, z′) = (0, 0 , 0) e a(x, y, z) = (ax, ay, az).
1.5 Sejam U e W dois espaços vetoriais sobre um corpo K. Considere o produto cartesiano V = U × W desses dois conjuntos. De na as seguintes operações em V :
(u 1 , w 1 ) + (u 2 , w 2 ) = (u 1 + u 2 , w 1 + w 2 ) e a(u 1 , w 1 ) = (au 1 , aw 1 ),
onde u 1 , u 2 ∈ U , w 1 , w 2 ∈ W e a ∈ K. Mostre que V com as operações de adição e de mutiplicação por escalar, acima de nidas, é um espaço vetorial sobre K. Este espaço vetorial é chamado de espaço produto de U por W.
14 CAPÍTULO 1. SISTEMAS LINEARES E MATRIZES
2 Matrizes
As matrizes são ferramentas básicas da Álgebra Linear, pois além de for- necerem meios para a resolução dos sistemas de equações lineares, elas tam- bém representarão as transformações lineares entre espaços vetoriais, como veremos no Capítulo 6.
2.1 A De nição de Matriz
Dados m e n em N \ { 0 }, de nimos uma matriz real de ordem m por n, ou simplesmente uma matriz m por n (escreve-se m × n), como uma tabela formada por elementos de R distribuídos em m linhas e n colunas. Estes elementos de R são chamados entradas da matriz^4. Por exemplo, a matriz [3] é uma matriz 1 × 1 , ao passo que
[ 2 1 0 − 1 − 2 4
]
é uma matriz 2 × 3. As entradas da primeira linha da matriz são dadas pelos números reais 2, 1 e 0 e as entradas da segunda linha da matriz são dadas pelos números reais − 1 , − 2 e 4. É usual indicarmos as entradas de uma matriz arbitrária A pelos sím- bolos Aij , ou ainda aij , onde os índices indicam, nessa ordem, a linha e a coluna onde o elemento se encontra. Assim, uma matriz m × n é usualmente representada por
A =
a 11 a 12... a 1 n a 21 a 22... a 2 n ... ... ... am 1 am 2... amn
(^4) As entradas de uma matriz não precisam ser necessariamente números reais, podem ser números complexos ou, mais geralmente, elementos de um corpo K.
16 CAPÍTULO 1. SISTEMAS LINEARES E MATRIZES
Uma matriz triangular superior de ordem n é uma matriz quadrada de ordem n em que todos os elementos abaixo da diagonal principal são iguais a zero: (^)
a 11 a 12... a 1 n 0 a 22... a 2 n ... ... ... 0 0... ann
Portanto, uma matriz quadrada A = [aij ] de ordem n é triangular superior se aij = 0 sempre que i > j. Analogamente, uma matriz triangular inferior de ordem n é uma matriz quadrada de ordem n em que todos os elementos acima da diagonal principal são iguais a zero: (^)
a 11 0... 0 a 21 a 22... 0 ... ... ... an 1 an 2... ann
Portanto, uma matriz quadrada A = [aij ] de ordem n é triangular inferior se aij = 0 sempre que i < j.
Uma matriz m × n cujas entradas são todas iguais a zero é chamada de uma matriz nula. Por exemplo, a matriz [ 0 0 0 0 0 0
]
é uma matriz nula de ordem 2 × 3.
2.2 Operações com Matrizes
Dizemos que duas matrizes A = [aij ]m×n e B = [bij ]m×n, de mesma ordem, são iguais, escrevendo A = B, quando aij = bij para todo 1 ≤ i ≤ m e para todo 1 ≤ j ≤ n.
2. MATRIZES 17
Por exemplo, se x e y denotam números reais, temos que as matrizes [ x 0 1 y
]
e
[
]
são iguais quando x = − 1 e y = 2. De nimos a seguir uma operação de adição no conjunto M(m, n) das matrizes m × n. Se A = [aij ] e B = [bij ] são duas matrizes de mesma ordem m × n, a soma de A e B, denotada A + B, é a matriz C = [cij ] de ordem m × n tal que cij = aij + bij para todo 1 ≤ i ≤ m e para todo 1 ≤ j ≤ n.
Por exemplo, [ 2 3 − 1 0 − 2 1
]
[
]
[
]
Dada uma matriz A = [aij ], de ne-se a matriz oposta de A, como a matriz −A = [−aij ]. A adição de matrizes tem propriedades semelhantes à adição nos números reais, ou à adição de elementos em espaços vetoriais, como mostra o resultado a seguir.
Proposição 1.2.1. Se A, B e C são matrizes de mesma ordem, então :
(i) A + (B + C) = (A + B) + C (associatividade da adição); (ii) A + B = B + A (comutatividade da adição); (iii) A + 0 = A, onde 0 denota a matriz nula m × n (elemento neutro); (iv) A + (−A) = 0.
Demonstração As propriedades acima decorrem diretamente das de ni- ções de igualdade e adição de matrizes. Por esta razão, provaremos apenas o item (i) e deixaremos (ii), (iii) e (iv) como exercício (veja Problema 2.5). (i): Se A = [aij ], B = [bij ] e C = [cij ], então
A + (B + C) = [aij ] + [bij + cij ] = [aij + (bij + cij )] =
[(aij + bij ) + cij ] = [aij + bij ] + [cij ] = (A + B) + C,
2. MATRIZES 19
Assim, com as Proposições 1.2.1 e 1.2.2, provamos que o conjunto M(m, n) é um espaço vetorial sobre R.
O conjunto das matrizes tem uma estrutura muito mais rica do que a de simples espaço vetorial, obtida com a noção de produto de matrizes, noção esta, fundamental para a resolução de sistemas de equações lineares com o uso de matrizes.
Nosso próximo objetivo é, portanto, de nir a multiplicação de matrizes e mostrar algumas de suas propriedades. A de nição de produto de matrizes foi apresentada por Arthur Cayley (Inglaterra, 1821-1895), no trabalho inti- tulado A Memoir on the Theory of Matrices, publicado em 1858 na revista Philosophical Transactions of the Royal Society of London. Neste trabalho, Cayley notou que a multiplicação de matrizes, como foi de nida, simpli ca em muito o estudo de sistemas de equações lineares. Também observou que esta multiplicação deixava de apresentar propriedades importantes, como a comutatividade e a lei do corte, e que uma matriz não nula não é necessaria- mente invertível.
Sejam A = [aij ]m×n e B = [bij ]n×p duas matrizes. De nimos o produto AB de A por B, denotado por AB, como a matriz C = [cij ]m×p tal que
cij =
∑^ n k=
aik bkj = ai 1 b 1 j + · · · + ain bnj
para todo 1 ≤ i ≤ m e para todo 1 ≤ j ≤ p.
Vamos explicar esta fórmula para obter o elemento da matriz AB que se encontra na i-ésima linha e j-ésima coluna:
Na matriz A, destaque a i-ésima linha, e na matriz B, a j-ésima coluna. Feito isto, multiplique ordenadamente o primeiro elemento da linha com o primeiro elemento da coluna, o segundo elemento da linha com o segundo elemento da coluna, etc., o último elemento da linha com o último elemento da coluna e nalmente some esses números todos.
20 CAPÍTULO 1. SISTEMAS LINEARES E MATRIZES
Por exemplo,
[
]
Note que para o produto de A por B estar de nido, o número de colunas de A deve ser igual ao número de linhas de B. Assim, se A e B são matrizes 2 × 3 e 3 × 1 , respectivamente, o produto AB está de nido e é uma matriz 2 × 1. Porém, o produto BA não está de nido. Uma condição necessária para que AB = BA é que A e B sejam matrizes quadradas de mesma ordem. Contudo, esta condição não é su ciente. Por exemplo, as matrizes
A =
[
]
e B =
[
]
são matrizes quadradas de ordem 2, mas AB 6 = BA. Assim, vemos que a multiplicação de matrizes não possui a propriedade comutativa. Observe que (^) [ 1 1 1 1
] [
]
sem que nenhuma das duas matrizes seja nula. Portanto, na multiplicação de matrizes, podemos ter AB = 0 sem que necessariamente A ou B seja nula. Lembremos que isto não ocorre com a multiplicação de números reais, pois dados dois números reais x e y tais que xy = 0, tem-se obrigatoriamente que x = 0 ou y = 0.
Os sistemas lineares como em (2) da Seção 1 se expressam de modo per- feito pela equação matricial AX = B,
onde
A =
a 11 a 12... a 1 n a 21 a 22... a 2 n ... ... ... am 1 am 2... amn
, X =
x 1 x 2 ... xn
e B =
b 1 b 2 ... bm
