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Probabilidades (12.o^ ano)
C´alculo combinat´orio - Problemas de contagem
Exerc´ıcios de Provas Nacionais e Testes Interm´edios - Propostas de resolu¸c˜ao
- Selecionando 2 das 6 posi¸c˜oes do n´umero em que v˜ao figurar os 2 cincos, temos 6 C 2 alternativas diferentes, porque n˜ao interessa a ordem, visto que as duas posi¸c˜oes se destinam a n´umeros iguais. E por cada uma destes alternativas, existem 8 A′ 4 = 8^4 ordena¸c˜oes poss´ıveis dos restantes 8 algarismos dispon´ıveis para as 4 posi¸c˜oes dispon´ıveis considerando eventualmente a repeti¸c˜ao,
Assim, os n´umeros que se podem considerar, nas condi¸c˜oes do enunciado s˜ao: (^6) C 2 × 84 = 61 440
Resposta: Op¸c˜ao B Exame – 2023, 2.a^ Fase
- Calculando o n´umero de grupos ordenados dos trˆes jovens, temos 3! grupos. E por cada um destes grupos, existem 8! ordena¸c˜oes poss´ıveis dos 10 jovens, correspondendo `a ordena¸c˜ao dos restantes 7 jovens e de um destes grupos.
Assim, o n´umero de formas diferentes de dispor os 10 jovens na fila ´e:
3! × 8! = 241 920
Resposta: Op¸c˜ao B Exame – 2023, 1.a^ Fase
- Como o n´umero deve ter 5 algarismos diferentes como os 6 algarismos de 0 a 5, e o algarismo das unidades deve ser 5, existe apenas uma alternativa para o algarismo das unidades.
Como o algarismo das dezenas de milhar n˜ao pode ser zero, nem 5 (que ´e o algarismo das unidades), existem 4 alternativas para este algarismo.
Para o terceiro algarismo escolhido, por exemplo o dos milhares, voltam a existir 4 alternativas, porque o zero j´a pode ser considerado nesta posi¸c˜ao, e para as restantes duas posi¸c˜oes existem, respetivamente 3 e 2 alternativas.
Assim, a quantidade de n´umeros que existem nas condi¸c˜oes descritas, ´e:
4 × 4 × 3 × 2 × 1 = 96
Resposta: Op¸c˜ao D Exame – 2022, Ep. especial´
- Se as duas pe¸cas a colocar no tabuleiro foram da mesma cor, interessa selecionar 2 das 12 posi¸c˜oes do tabuleiro, sem considerar a ordem relevante (^12 C 2 ) porque as pe¸cas a colocar s˜ao iguais, e o n´umero de sele¸c˜oes poss´ıveis deve ser multiplicado por 3 porque existem 3 cores para as pe¸cas a colocar (verdes, amarelas e encarnadas). Ou seja, o n´umero de formas diferentes de dispor duas pe¸cas da mesma cor no tabuleiro ´e: 3 ×^12 C 2 Se as duas pelas foram de cores distintas, interessa selecionar 2 das 3 cores dispon´ıveis (^3 C 2 ), e para cada um destes pares de cores, escolher 2 das 12 posi¸c˜oes do tabuleiro, considerando a ordem relevante (^12 A 2 ) porque as pe¸cas a colocar s˜ao diferentes. Ou seja, o n´umero de formas diferentes de dispor duas pe¸cas decor diferentes no tabuleiro ´e: (^3) C 2 ×
12 A
2 Como ´e poss´ıvel, em alternativa, obter qualquer um destes dois tipos de configura¸c˜oes temos que o n´umero de configura¸c˜oes coloridas diferentes que ´e poss´ıvel obter ´e:
3 ×^12 C 2 +^3 C 2 ×^12 A 2
Exame – 2022, 1.a^ Fase
- Se a Fernanda oferecer 3 dos 5 livros e 3 das 7 canetas a um dos netos, como a ordem de sele¸c˜ao n˜ao ´e relevante e o benefici´ario deste conjunto pode ser qualquer um dos dois netos o n´umero de formas diferentes de fazer a reparti¸c˜ao ´e: 2 ×^5 C 3 ×^7 C 3 Se a alternativa for oferecer 4 dos 5 livros e 2 das 7 canetas a um dos netos, como a ordem de sele¸c˜ao continua a n˜ao ser relevante e o benefici´ario deste conjunto tamb´em pode ser qualquer um dos dois netos o n´umero de formas diferentes de fazer a reparti¸c˜ao ´e:
2 ×^5 C 4 ×^7 C 2
Como as qualquer uma destas alternativas pode acontecer em alternativa, temos que o n´umero de modos diferentes pode a Fernanda repartir os doze objetos pelos seus dois netos ´e:
2 ×^5 C 3 ×^7 C 3 + 2 ×^5 C 4 ×^7 C 2 = 910
Exame – 2021, Ep. especial´
- Como os n´umeros devem ser naturais, superiores a 9999 e inferiores a 22 000, ent˜ao todos tˆem 5 algarismos, usando apenas os algarismos 0, 1, 2 ou 3.
O algarismo das dezenas de milhar tem que ser 1 ou 2 (n˜ao pode come¸car por zero e deve ser inferior a 30 000).
Se o algarismo das dezenas de milhar for 1, ent˜ao os restantes 4 podem ser escolhidos de entre as 4 alternativas, sem restri¸c˜oes, com repeti¸c˜ao e considerando relevante a ordem, ou seja, de 4 A′ 4 = 4^4 = 256 formas diferentes.
Se o algarismo das dezenas de milhar for 2, ent˜ao o algarismo dos milhares tem que ser 0 ou 1 (2 op¸c˜oes), para que o n´umero seja inferior a 22 000 e os restantes 3 podem ser escolhidos de entre as 4 alternativas, sem restri¸c˜oes, com repeti¸c˜ao e considerando relevante a ordem, ou seja, existem 2×^4 A′ 3 = 2× 43 = 2× 128 n´umeros diferentes nestas condi¸c˜oes.
Assim, a quantidade de n´umeros naturais superiores a 9999 e inferiores a 22 000 escritos usando apenas os algarismos 0, 1, 2 e 3 ´e: (^4) A′ 4 + 2^ ×
4 A′
Resposta: Op¸c˜ao C Exame – 2020, 2.a^ Fase
- Como cada uma das 5 caixas com n´umero par deve ter, pelo menos, uma bola azul e existem 8 bolas azuis, restam 8 − 5 = 3 bolas azuis para colocar como uma segunda bola.
Como cada uma das 5 caixas com n´umero ´ımpar deve ter, pelo menos, uma bola branca e existem 7 bolas brancas, restam 7 − 5 = 2 bolas brancas para colocar como uma segunda bola.
Desta forma podemos selecionar quaisquer duas das 10 caixas para colocar as duas bolas brancas, a que correspondem 10 C 2 escolhas diferentes; e depois, por cada uma destas escolhas, devemos escolher 3 das restantes 8 caixas (porque nenhuma pode conter mais do que duas bolas), para colocar as 3 bolas azuis restantes, a que correspondem 8 C 3
Assim, o n´umero de maneiras diferentes em podem ficar colocadas as bolas nas dez caixas, nas condi¸c˜oes indicadas, ´e: (^10) C 2 × (^8) C 3 = 2520
Resposta: Op¸c˜ao B Exame – 2020, 1.a^ Fase
- Nas condi¸c˜oes indicadas pretende-se colocar os cart˜oes numa fila que pode ser dividida em duas partes - a primeira com trˆes posi¸c˜oes e a segunda com seis posi¸c˜oes.
Como na primeira parte da fila existem trˆes posi¸c˜oes onde podem ser colocados quatro cart˜oes (2, 3, 5, e 7), e a ordem dos cart˜oes ´e relevante, o n´umero de formas diferentes de ocupar os trˆes primeiros lugares da fila ´e 4 A 3
Para a segunda parte da fila, com seis posi¸c˜oes, existem 6 n´umeros dispon´ıveis para os ocupar (o n´umero primo que n˜ao foi colocado antes e todos os restantes), pelo que o n´umero de disposi¸c˜oes dos lugares ´e (^6) A 6 =^ P 6 = 6!
Assim, o n´umero de maneiras diferentes em poss´ıvel colocar os cart˜oes, de modo que os n´umeros inscritos nos trˆes primeiros cart˜oes sejam primos, ´e: (^4) A 3 × (^6) A 6 = 17 280
Exame – 2019, Ep. especial´
- Como o delegado de turma tem de fazer parte da comiss˜ao e esta deve incluir rapazes e raparigas, os restantes dois membros devem ser duas raparigas ou um rapaz e uma rapariga.
Como a turma tem 15 raparigas, selecionando duas delas, temos que existem 15 C 2 = 105 comiss˜oes formadas pelo delegado e por mais duas raparigas.
Selecionando uma das 15 raparigas, e um dos 26 − 15 − 1 = 10 rapazes (correspondendo a retirar dos 26 alunos, as 15 raparigas e o delegado que deve integrar a comiss˜ao obrigatoriamente), temos que existem 15 × 10 = 150 comiss˜oes formadas pelo delegado e por um rapaz e uma rapariga.
Assim, o n´umero de comiss˜oes diferentes, que incluam rapazes e raparigas, se podem formar, sabendo-se que o delegado de turma tem de fazer parte da comiss˜ao ´e: (^15) C 2 + 15^ ×^ 10 = 105 + 150 = 255
Resposta: Op¸c˜ao D Exame – 2019, 2.a^ Fase
- Como o n´umero a formar deve ser maior que 20 000, ent˜ao para o algarismo das dezenas de milhar existem apenas 3 escolhas poss´ıveis (2, 3 e 4). Para os restantes 4 posi¸c˜oes do n´umero existem 4 algarismos dispon´ıveis (0 e 1 e os dois algarismos que n˜ao figuram na posi¸c˜ao das dezenas de milhar), e como os algarismos devem ser todos diferentes, para as restantes 4 posi¸c˜oes existem P 4 = 4 A 4 = 4! escolhas diferentes.
Assim, nas condi¸c˜oes do enunciado existem 3 × 4! = 72 n´umeros.
Resposta: Op¸c˜ao C Exame – 2017, Ep. especial´
- Temos que os algarismos pares, ficando juntos podem ocupar 4 grupos de duas posi¸c˜oes adjacentes e trocando entre si, podem figurar no n´umero de 2 × 4 formas distintas. Os algarismos ´ımpares devem ocupar as 3 posi¸c˜oes restantes, podendo trocar entre si, o que corresponde a 3 A 3 = P 3 = 3! disposi¸c˜oes diferentes. Assim, considerando todas as disposi¸c˜oes diferentes dos algarismos, temos que o total de n´umeros naturais nas condi¸c˜oes do enunciado ´e: 2 × 4 × 3! = 8 × 6 = 48
Resposta: Op¸c˜ao B Exame – 2017, 2.a^ Fase
- Os n´umeros naturais de quatro algarismos que se podem formar com os algarismos de 1 a 9 e que s˜ao m´ultiplos de 5, s˜ao constitu´ıdos por 3 algarismos ou posi¸c˜oes, em que as trˆes primeiras podem ser ocupada por 9 algarismos (todos exceto o zero), e a ´ultima apenas por 1 (o algarismo 5). Assim, o n´umero de m´ultiplos de 5 nas condi¸c˜oes do enunciado ´e 9 × 9 × 9 × 1 = 9^3 × 1 = 9^3 = 729 Resposta: Op¸c˜ao A Exame – 2017, 1.a^ Fase
- Considerando uma ´unica fica horizontal, existem 4 posi¸c˜oes que devem ser ocupadas por 4 elementos (fi- chas com n´umero par) diferentes e por isso cuja ordem de coloca¸c˜ao ´e relevante, ou seja, s˜ao 4 A 4 = P 4 = 4! as formas de colocar os n´umeros pares numa ´unica fila horizontal. Como existem 4 filas horizontais, o n´umero de formas que existem para dispor as fichas com n´umeros pares no tabuleiro, ocupando uma ´unica fila horizontal ´e 4 × 4!
Ap´os a coloca¸c˜ao das fichas com um n´umero par, restam 16 − 4 = 12 posi¸c˜oes dispon´ıveis no tabu- leiro que podem ser ocupadas por uma fichas com um n´umero ´ımpar (que s˜ao diferentes e por isso ´e relevante a ordem de coloca¸c˜ao), ou seja, existem 12 A 5 formas de dispor as fichas com os n´umeros ´ımpares.
Assim o n´umero de maneiras diferentes ´e poss´ıvel dispor as nove fichas, de tal forma que as que tˆem n´umero par ocupem uma ´unica fila horizontal ´e: 4 × 4! × 12 A 5 = 9 123 840 Exame – 2016, 2.a^ Fase
- Para que o n´umero seja ´ımpar o algarismo das unidades deve ser 1 (porque ´e o ´unico n´umero das bolas que ´e ´ımpar). Assim, dos 9 algarismos do n´umeros, apenas 8 podem ser ocupados pelas bolas com os n´umeros 2 e 4.
Selecionando 4 das 8 posi¸c˜oes (dispon´ıveis) do n´umero para serem ocupadas por bolas com o n´umero 2, temos 8 C 4 hip´oteses, e selecionando 1 das 4 posi¸c˜oes dispon´ıveis (excluindo a posi¸c˜ao das unidades e as posi¸c˜oes ocupadas pelas bolas com os n´umeros 4), temos 4 C 1 = 4 hip´oteses diferentes. As restantes posi¸c˜oes ser˜ao ocupadas pelas bolas com os n´umeros 1, pelo que a quantidade de n´umeros ´ımpares que ´e poss´ıvel obter, ´e: (^8) C 4 × 4 = 280
Exame – 2016, 1.a^ Fase
- Calculando o n´umero de grupos ordenados de trˆes rapazes, temos 3 A 3 = P 3 = 3! hip´oteses para dispor os trˆes rapazes juntos. E por cada grupo de rapazes, existem 7 A 7 = P 7 = 7! ordena¸c˜oes poss´ıveis dos nove jovens, correspondendo `a disposi¸c˜ao das 6 raparigas e do grupo de rapazes, considerando a ordena¸c˜ao relevante. Assim, o n´umero de maneiras de dispor os nove jovens, com os trˆes rapazes juntos ´e
3! × 7! = 30 240
Resposta: Op¸c˜ao B
Exame – 2015, Ep. especial´
- Escolhendo os lugares das extremidades para os dois rapazes, existem 2 hip´oteses correspondentes a uma troca entre os rapazes. Existem ainda 4 A 4 = P 4 = 4! hip´oteses para sentar as 4 raparigas nos 4 bancos, ou seja, 4 elementos organizados em 4 posi¸c˜oes em que a ordem ´e relevante. Assim, o n´umero de maneiras de sentar os 6 amigos ´e
2 × 4! = 48
Resposta: Op¸c˜ao C
Exame – 2015, 1.a^ Fase
- Para que os n´umeros de cinco algarismos sejam ´ımpares e tenham 4 algarismo pares, todos os n´umeros devem ser pares `a exce¸c˜ao do ´ultimo. Assim, existem 4 hip´oteses para selecionar o primeiro algarismo, das dezenas de milhar (nomeadamente 2, 4, 6, e 8, ficando garantido que o n´umero ´e superior a 20 000), 5 hip´oteses para a escolha do segundo algarismo (os anteriores e o zero), tal como para os terceiro e quarto algarismos; e tamb´em 5 hip´oteses para o quinto algarismo, o das unidades (nomeadamente 1, 3, 5, 7 e 9, ficando garantido que o n´umero ´e ´ımpar). Assim a quantidade de n´umeros ´ımpares com cinco algarismos que tˆem quatro algarismos pares e s˜ao superiores a 20 000 ´e 4 × 5 × 5 × 5 × 5 = 4 × 54 Resposta: Op¸c˜ao D
Exame – 2014, Ep. especial´
- Se o n´umero tem 10 posi¸c˜oes (algarismos), das quais 6 ser˜ao ocupadas por algarismo 2, o n´umero de conjuntos diferentes de 6 posi¸c˜oes para os algarismos 2 ´e 10 C 6 (por n˜ao interessar a ordem, uma vez que as posi¸c˜oes ser˜ao ocupadas por elementos iguais).
Por cada um destes conjuntos, podemos colocar nas restantes 4 posi¸c˜oes (algarismos) 8 elementos (os algarismos de 3 a 9 e mais o algarismo 1), eventualmente repetidos. Assim, considerando a ordem como relevante (por poderem ser algarismos diferentes), temos 8 A′ 4 = 8^4 grupos diferentes.
Logo o total de n´umeros diferentes que existem, nas condi¸c˜oes definidas, ´e 10 C 6 × 84
Resposta: Op¸c˜ao A
Exame – 2014, 1.a^ Fase
- Para que a comiss˜ao seja mista, deve ter pelo menos um rapaz, e como deve ter mais raparigas que rapazes, ent˜ao o n´umero de comiss˜oes diferentes que se podem formar pode ser calculado como a soma de comiss˜oes diferentes relativas a composi¸c˜oes de dois tipos:
- 3 raparigas e 2 rapazes Como a ordem n˜ao ´e relevante podemos escolher 3 raparigas do conjunto das 15, de 15 C 3 formas diferentes e podemos escolher os 2 rapazes de 7 C 2 formas diferentes, logo existem 15 C 3 ×^7 C 2 comiss˜oes deste tipo
- 4 raparigas e 1 rapaz As comiss˜oes deste tipo s˜ao 15 C 4 ×7 que correspondem a escolher 4 das 15 raparigas e 1 dos 7 rapazes, sem considerar a ordem relevante.
Assim, o n´umero de comiss˜oes diferentes que se podem formar, de acordo com as condi¸c˜oes impostas, ´e: (^15) C 3 × (^7) C 2 + 15 C 4 × 7
Resposta: Op¸c˜ao B
Exame – 2013, Ep. especial´
- A escolha pode ser feita selecionando, 9 dos 16 quadrados para colocar os discos brancos (n˜ao considerando a ordem relevante porque os discos s˜ao iguais). Ou seja, 16 C 9 s˜ao as diferentes formas de dispor os discos brancos no tabuleiro.
Depois, selecionamos 3 quadrados, de entre os 7 que permanecem sem qualquer disco. Ou seja 7 C 3 s˜ao as diferentes formas de dispor os discos pretos no tabuleiro, depois de termos colocado os 9 discos brancos.
Assim, o n´umero de formas diferentes de colocar os 12 discos no tabuleiro, de acordo com as condi¸c˜oes definidas ´e (^16) C 9 × 7 C 3
Resposta: Op¸c˜ao B Exame – 2013, 2.a^ Fase
- A Resposta (I) (^20 C 16 × 16! ×^8 A 4 ) pode ser interpretada como: Selecionando, de entre os 20 jornalistas 16 para ocupar as duas filas da frente, temos 20 C 16 grupos dife- rentes de 16 jornalistas. Como em cada um destes grupos, existem 16! maneiras diferentes de os sentar, correspondentes a todas as trocas de lugar entre eles que podem ser feitas, multiplicamos os dois n´umeros. E, por cada uma das situa¸c˜oes diferentes antes consideradas, existem ainda 8 A 4 hip´oteses a considerar, decorrentes de selecionar 4 cadeiras, ou posi¸c˜oes, de entre as 8 existentes na terceira fila (considerando a ordem relevante) para fazer a atribui¸c˜ao de cada uma delas a um dos 4 jornalistas que se senta nesta fila. Como consideramos a ordem relevante, ficam j´a consideradas as trocas poss´ıveis entre eles.
A Resposta (II) (^20 A 8 ×^12 A 8 ×^8 A 4 ) pode ser interpretada como: Existem 20 A 8 formas de ocupar a primeira fila, selecionam-se 8 de entre os 20 jornalistas (considera-se a ordem relevante para considerar as trocas poss´ıveis entre cada grupo de 8 selecionados). Por cada uma das hip´oteses anteriores, existem 12 A 8 formas de ocupar a segunda fila, correspondentes a selecionar 8 de entre os 12 jornalistas que n˜ao ocuparam a primeira fila, podendo estes 8 fazer todas as trocas entre si. Finalmente, por cada uma das 20 A 8 ×^12 A 8 formas de ocupar as duas primeira filas, existem ainda 8 A 4 hip´oteses a considerar, decorrentes de selecionar 4 cadeiras, ou posi¸c˜oes, de entre as 8 existentes na terceira fila (considerando a ordem relevante) para fazer a atribui¸c˜ao de cada uma delas a um dos 4 jornalistas que se senta nesta fila. Como consideramos a ordem relevante, ficam j´a consideradas as trocas poss´ıveis entre eles.
Exame – 2013, 2.a^ Fase
- Como a comiss˜ao deve ter exatamente 2 mulheres, num total de 3 pessoas, ser´a constitu´ıda por um ´unico homem. Logo, como existem 6 homens no grupo, existem 6 formas distintas de escolher o homem que integra a comiss˜ao. Por cada uma das 6 escolhas anteriores, existem 3 C 2 formas de escolher 2 de entre as 3 mulheres que existem no grupo (n˜ao se considera a ordem relevante, porque n˜ao existe referˆencia a diferentes estatutos na comiss˜ao). Assim, existem 6 ×^3 C 2 formas de escolher os elementos da comiss˜ao, de acordo com a restri¸c˜ao imposta.
Resposta: Op¸c˜ao B
Exame – 2013, 1.a^ Fase
- Para que os n´umeros resultantes da troca dos algarismos de 12 345 sejam maiores que 40 000, o primeiro algarismo deve ser 4 ou 5. Para que o algarismo seja ´ımpar, deve terminar em 1,3 ou 5. Assim, o n´umero total resulta da soma de duas contagens parciais:
- N´umeros ´ımpares cujo primeiro algarismo ´e 4: Selecionando o algarismo 4 para a primeira posi¸c˜ao (1) e um dos 3 algarismos ´ımpares para a ´ultima posi¸c˜ao (3), restam 3 algarismos que podem ser ordenados nas 3 posi¸c˜oes interm´edias (3!), resultando num conjunto de 1 × 3! × 3 = 18 n´umeros diferentes
- N´umeros ´ımpares cujo primeiro algarismo ´e 5: Selecionando o algarismo 5 para a primeira posi¸c˜ao (1) e um dos 2 algarismos ´ımpares restantes para a ´ultima posi¸c˜ao (2), restam 3 algarismos que podem ser ordenados nas 3 posi¸c˜oes interm´edias (3!), resultando num conjunto de 1 × 3! × 2 = 12 n´umeros diferentes
Assim, podemos formar 18 + 12 = 30 n´umeros diferentes, de acordo com as condi¸c˜oes do enunciado.
Resposta: Op¸c˜ao B
Teste Interm´edio 12.o^ ano – 24.05.
- Como se pretende que o Carlos seja o elemento da fam´ılia Andrade a participar no jogo, resta escolher um dos outros dois irm˜aos do Carlos, ou seja s´o existem 2 hip´oteses de escolher os irm˜aos Andrade. Por cada uma das 2 hip´oteses para os irm˜aos Andrade, podemos escolher grupos de 2, de entre os 4 irm˜aos da fam´ılia Martins, ou seja, 4 C 2 = 6 grupos poss´ıveis.
Logo, existem 2 × 6 = 12 formas de escolher os dois pares de irm˜aos, observando a restri¸c˜ao do enunciado.
Resposta: Op¸c˜ao B
Teste Interm´edio 12.o^ ano – 28.02.
- Como o primeiro e ´ultimo algarismo s˜ao iguais, o segundo e o pen´ultimo tamb´em, o mesmo acontecendo com o terceiro e o antepen´ultimo, apenas consideramos as escolhas para os 3 primeiros algarismos, sendo os restantes, a repeti¸c˜ao das escolhas j´a feitas, por ordem inversa.
Assim, para o primeiro algarismo existem 9 hip´oteses de escolha (exclu´ımos o algarismo zero). Para o segundo e o terceiro podemos considerar 10 hip´oteses para cada um, porque podem ocorrer repeti¸c˜oes de algarismos e o zero pode ocorrer em todas as posi¸c˜oes `a exce¸c˜ao da primeira.
Assim o um n´umero total de capicuas diferentes (com 6 algarismos) ´e
9 × 10 × 10 = 900
Resposta: Op¸c˜ao B
Exame – 2012, Ep. especial´
- Se considerarmos o bloco das trˆes cartas como um elemento ´unico, temos um conjunto de 11 elementos (o bloco das 3 figuras e as restantes 10 cartas) para serem dispostos em 11 posi¸c˜oes, ou seja, 11 A 11 = P 11 = 11! disposi¸c˜oes diferentes. Por cada uma das disposi¸c˜oes anteriores, temos que considerar, adicionalmente, as trocas poss´ıveis das 3 figuras no bloco das 3 cartas, ou seja, 3 A 3 = P 3 = 3! trocas poss´ıveis.
Assim, o n´umero de sequˆencias diferentes que ´e poss´ıvel construir, de modo que as trˆes figuras fiquem juntas ´e 11! × 3! = 239 500 800
Exame – 2011, Ep. especial´
- A resposta correta ´e a Resposta II. Relativamente a esta resposta, o n´umero de formas diferentes de escolher os 3 funcion´arios, de forma que pelo menos 2 dos funcion´arios escolhidos estejam a favor do novo hor´ario de trabalho, ´e calculado como a soma dos n´umeros de casos de duas situa¸c˜oes distintas:
- 2 dos 3 funcion´arios escolhidos s˜ao favor´aveis `a altera¸c˜ao, ou seja, escolher 1 funcion´ario de entre os 6 que n˜ao est˜ao no grupo dos que s˜ao favor´aveis, e por cada uma das 6 escolhas poss´ıveis, escolher um conjunto de 2 de entre os 9 trabalhadores que s˜ao favor´aveis (6 × 9 C 2 );
- escolher 3 trabalhadores que sejam favor´aveis `a altera¸c˜ao, ou seja, escolher um grupo de 3, do conjunto de 9 trabalhadores que s˜ao favor´aveis (^9 C 3 ).
Outra forma de fazer este c´alculo, consiste em subtrair ao total dos conjuntos de 3 trabalhadores que podemos fazer com os 15 funcion´arios (^15 C 3 ), o n´umero de grupos onde nenhum trabalhador ´e favor´avel a altera¸c˜ao, ou apenas 1 ´e favor´avela altera¸c˜ao. Observando a Resposta I, podemos identificar este racioc´ınio, embora tenham sido subtra´ıdos apenas os conjuntos em que nenhum trabalhador ´e favor´avel (^6 C 3 , que consiste em calcular o n´umero de conjuntos de 3 que podemos fazer com os 6 trabalhadores que n˜ao est˜ao no grupo dos que s˜ao favor´aveis). Assim, para que o c´alculo fique correto, deve ser ainda subtra´ıdo o n´umero 6 C 2 ×9, ou seja, o n´umero de conjuntos em que s˜ao escolhidos 2 de entre os 6 trabalhadores que n˜ao est˜ao no grupo dos que s˜ao favor´aveis e um terceiro trabalhador do grupo dos 9 apoiantes da altera¸c˜ao. Desta forma, alterando a Resposta I para: 15 C 3 − 6 C 3 − 6 C 2 × 9, obtemos outra resposta correta.
Exame – 2011, 2.a^ Fase
- Como o c´odigo tem 4 algarismos e sabemos que 2 deles s˜ao 7 ^ e os restantes 2 s˜ao diferentes de 7 , podemos come¸car por calcular o n´umero de situa¸c˜oes diferentes em que os algarismos 7 podem ser dispostos (^4 C 2 , que corresponde a selecionar 2 das 4 posi¸c˜oes do c´odigo, sem considerar a ordem, porque estas posi¸c˜oes ser˜ao ambas ocupadas por algarismos iguais - o algarismo 7 ). Depois, por cada uma destas escolhas, existem 9 hip´oteses (todos os algarismos `a exce¸c˜ao do 7 ) para ocupar a primeira posi¸c˜ao n˜ao ocupada, e outras 9 para a segunda posi¸c˜ao n˜ao ocupada, pelo que o n´umero total de c´odigos pode ser calculado como (^4) C 2 × 9 × 9 = 486
Resposta: Op¸c˜ao A
Exame – 2011, 1.a^ Fase
- Selecionando 2 das 4 cartas de espadas, temos 4 A 2 formas de colocar as cartas nas extremidades (consi- deramos a ordem relevante, porque uma das cartas selecionadas fica no in´ıcio da sequˆencia e a outra no fim). Depois de termos colocado as 2 cartas nas posi¸c˜oes dos extremos, sobram 5 cartas (as 2 de espadas res- tantes e as 3 de copas) para serem dispostas em 5 posi¸c˜oes, que podem ser colocadas de 5 A 5 = P 5 = 5! formas diferentes. Assim, existem 4 A 2 × 5! = 1440 sequˆencias diferentes.
Teste Interm´edio 12.o^ ano – 19.01.
- O grupo dos 3 livros de Matem´atica pode ser arrumado de 3 A 3 = P 3 = 3! formas diferentes. Como a prateleira tem duas pontas, o grupo dos trˆes livros pode ser colocado de 2 formas. Os restantes 5 livros podem ser arrumados de 5 A 5 = P 5 = 5! formas diferentes. Logo, o n´umero de arruma¸c˜oes diferentes ´e
3! × 2 × 5! = 1440
Resposta: Op¸c˜ao D
Exame – 2010, Ep. especial´
- Se ao total do n´umero de grupos diferentes de 5 alunos que se podem formar com os 27 alunos (^27 C 5 , n˜ao se considera relevante a ordem por n˜ao haver diferencia¸c˜ao dentro do grupo), subtrairmos os grupos que s˜ao formados apenas por rapazes (^17 C 5 ) e tamb´em os que s˜ao formados apenas por raparigas (^10 C 5 , como existem 17 rapazes na turma, o n´umero de raparigas ´e 27 − 17 = 10), o resultado ´e o n´umero de grupos em que existe pelo menos um aluno de cada sexo, ou seja (^27) C 5 −^
17 C
5 −^
10 C
Exame – 2010, Ep. especial´
- Como os n´umeros tˆem cinco algarismos, e trˆes deles s˜ao o algarismo 5 ^ podemos calcular o n´umero de formas diferentes de dispor os 3 algarismos 5 ^ nas 5 posi¸c˜oes do n´umero (^5 C 3 , n˜ao se considera relevante a ordem, por serem algarismos iguais). Assim, por cada disposi¸c˜ao dos algarismos 5 ^ existem 4 hip´oteses ( 6 , 7 , 8 ^ e o 9 ) para ocupar a primeira posi¸c˜ao livre do algarismo, e ainda outras 4 para a segunda posi¸c˜ao livre do algarismo. Logo, a quantidade de n´umeros deste tipo que tem exatamente 3 algarismos 5 ´e (^5) C 3 ×^4 ×^ 4 =^
5 C
3 ×^4
2
Resposta: Op¸c˜ao B
Exame – 2010, 2.a^ Fase
- Como a quinta parte dos alunos tem computador port´atil e existem 150 alunos, temos que o n´umero de
alunos com computador port´atil ´e
× 150 = 30.
Assim, o n´umero de conjuntos de 4 alunos formados a partir destes 30, ´e 30 C 4. A cada um destes grupos de 4 alunos podem juntar-se 120 C 2 pares de alunos sem computador port´atil (existem 150 − 30 = 120 alunos sem computador port´atil). Assim, o n´umero de comiss˜oes diferentes que se pode formar com, exatamente, quatro dos alunos que tˆem computador port´atil ´e (^30) C 4 ×^
120 C
Exame – 2010, 1.a^ Fase
- Num n´umero natural de 3 algarismos, o algarismo das centenas n˜ao pode ser ocupada pelo algarismo zero. Assim, para o algarismo das centenas temos 7 hip´oteses (todos exceto o 2, o 5 e o zero). Para o algarismo das dezenas temos igualmente 7 hip´oteses (todos exceto o 2, o 5 e o que foi usado para o algarismo das centenas, mas incluindo o zero). Para o algarismo das unidades restam 6 hip´oteses (todos exceto o 2, o 5, e os dois usados anteriormente). Logo, a quantidade de n´umeros naturais de trˆes algarismos diferentes se podem escrever, n˜ao utilizando o algarismo 2 nem o algarismo 5, ´e: 7 × 7 × 6 = 294 Resposta: Op¸c˜ao D
Teste Interm´edio 12.o^ ano – 19.05.
- Sendo ases a primeira e a ´ultima cartas da sequˆencia, existem 4 A 2 formas de arranjar os extremos da sequˆencia (selecionamos 2 dos 4 ases existentes, que por serem diferentes, deve ser considerada relevante a ordem de coloca¸c˜ao). Considerando as 3 posi¸c˜oes centrais, da sequˆencia, ocupadas por figuras, existem 12 A 3 configura¸c˜oes diferentes (que correspondem a selecionar 3 das 12 figuras existentes, e considerar relevante a ordem, por serem todas diferentes). Logo o n´umero total de sequˆencias que se podem formar em que a primeira carta e a ´ultima carta s˜ao ases, e as restantes s˜ao figuras ´e (^4) A 2 ×^
12 A
Exame – 2009, 2.a^ Fase
- Como os algarismos que comp˜oem o n´umero est˜ao definidos, os n´umeros que satisfazem estas condi¸c˜oes diferem entre si apenas na posi¸c˜ao de coloca¸c˜ao dos algarismos. Assim, selecionando 3 das 7 posi¸c˜oes para serem ocupadas pelo algarismo 1 ^ (sem considerar relevante a ordem porque estas posi¸c˜oes ser˜ao ocupadas por algarismos iguais), temos 7 C 3 coloca¸c˜oes poss´ıveis dos algarismos 1 . Por cada uma das coloca¸c˜oes anteriores, devemos ainda selecionar 2 das 4 posi¸c˜oes dispon´ıveis (7 − 3 = 4) para colocar o algarismos 4 , ou seja 4 C 2 escolhas. As 2 posi¸c˜oes ainda dispon´ıveis (7 − 3 − 2 = 2) ser˜ao ocupadas pelo algarismo 5 , o que corresponde a (^2) C 2 = 1 escolha poss´ıvel. Assim a quantidade de n´umeros diferentes que satisfazem as condi¸c˜oes definidas ´e (^7) C 3 × 4 C 2 × 2 C 2 = 210
Exame – 2009, 1.a^ Fase
- Como existem 3 raparigas, existem 3 formas diferentes de ocupar a posi¸c˜ao do meio que respeitam a condi¸c˜ao definida. Para al´em da posi¸c˜ao do meio, existem mais 4 posi¸c˜oes que ser˜ao ocupadas por 4 elementos diferentes, ou seja, devemos considerar relevante a ordem pela qual cada posi¸c˜ao ´e atribu´ıda a cada pessoa, pelo que, existem 4 A 4 = P 4 = 4! formas de sentar as restantes pessoas pelas posi¸c˜oes do banco, que n˜ao a posi¸c˜ao do meio. Assim o n´umero de maneiras diferentes que as 5 pessoas se podem sentar no banco, ficando uma rapariga no lugar do meio, ´e 3 × 4! = 72 Resposta: Op¸c˜ao B
Teste Interm´edio 12.o^ ano – 11.03.
- Considerando a hip´otese de pintar o c´ırculo com 4 cores, existem 5 A 4 hip´oteses diferentes, que corres- pondem a selecionar 4 das 5 cores dispon´ıveis, uma para cada setor, sendo a ordem relevante porque os setores s˜ao diferentes. Adicionalmente, devemos considerar a hip´otese de pintar o c´ırculo com 2 cores, existem 5C 2 formas di- ferentes de selecionar 2 das 5 cores. E por cada sele¸c˜ao existem 2 formas diferentes de pintar o c´ırculo, porque setores adjacentes n˜ao podem ser pintados da mesma cor. Ou seja 5C 2 × 2 formas diferentes de pintar o c´ırculo com 2 cores. Assim, o n´umero de formas diferentes que o c´ırculo pode ser pintado ´e 5 A 4 + 5 C 2 × 2 = 140
Resposta: Op¸c˜ao A
Teste Interm´edio 12.o^ ano – 10.12.
57.1. Selecionando 3 de entre os 8 v´ertices, podemos formar 8 C 3 conjuntos, e, por cada um destes conjuntos, podemos ainda formar 6 C 2 conjuntos de 2 v´ertices, escolhidos, de entre os 6 do octaedro. Assim n´umero total de conjuntos de cinco v´ertices que s˜ao constitu´ıdos por trˆes v´ertices do cubo e dois v´ertices do octaedro ´e (^8) C 3 ×^
6 C
57.2. Para que os 5 v´ertices sejam do mesmo poliedro, podem ser escolhidos de entre os 8 v´ertices do cubo, ou em alternativa, de entre os 6 v´ertices do octaedro. Assim, o n´umero de conjuntos de cinco v´ertices do mesmo poliedro ´e a soma das hip´oteses relativas aos dois tipos de escolha anteriores, ou seja: (^8) C 5 +^
6 C
Teste Interm´edio 12.o^ ano – 10.12.
- Para formar um n´umero ´ımpar, de quatro algarismos diferentes, o algarismos das unidades s´o pode ser 1, 3 ou 5, ou seja temos 3 hip´oteses. Por cada uma destas hip´oteses existem 3 A 3 = P 3 = 3! hip´oteses de colocar os restantes 3 algarismos nas restantes 3 posi¸c˜oes, ou seja, a quantidade de n´umeros que existem, nas condi¸c˜oes do enunciado, ´e
3 × 3! = 18
Resposta: Op¸c˜ao C
Exame – 2008, Ep. especial´
- O n´umero de hip´oteses em que nas extremidades ficam sentados rapazes ´e dado por 3 A 2 , que corresponde a selecionar 2 dos 3 rapazes, considerando a ordem relevante para distinguir a extremidade da esquerda e da direita. Depois, por cada uma das hip´oteses anteriores, existem 4 pessoas para ocupar as 4 posi¸c˜oes centrais, o que corresponde a 4 A 4 = P 4 = 4! hip´oteses para ocupar os lugares centrais. Assim, o n´umero de maneiras diferentes que os seis amigos se podem sentar, ficando um rapaz em cada uma das extremidades, ´e (^3) A 2 ×^ 4! = 144
Exame – 2008, Ep. especial´
- Como a Ana e o Miguel n˜ao querem fazer parte da comiss˜ao em simultˆaneo, uma forma de calcular o n´umero de comiss˜oes diferentes que se podem formar ´e calcular o n´umero de todas as comiss˜oes (forma- das por 3 raparigas quaisquer e dois rapazes quaisquer) e subtrair o n´umero de comiss˜oes que integram simultaneamente a Ana e o Miguel.
Como n˜ao existem diferen¸cas entre os elementos da comiss˜ao, a ordena¸c˜ao dos elementos que a cons- tituem n˜ao ´e relevante, e como existem 12 raparigas, e em cada comiss˜ao est˜ao 3, o n´umero de conjuntos de raparigas numa comiss˜ao arbitr´aria ´e 12 C 3. Da mesma forma, como existem 10 rapazes, o n´umero de conjuntos de 2 rapazes que podem integrar uma comiss˜ao ´e 10 C 2 , pelo que o n´umero de comiss˜oes diferentes que se podem formar ´e 12 C 3 × 10 C 2. Se considerarmos o n´umero de comiss˜oes em que est˜ao inclu´ıdos a Ana e o Miguel, simultaneamente re- sulta de considerar o n´umero de conjuntos de 2 raparigas, selecionada de entre as 11 (todas exceto a Ana), (^11) C 2 ; e selecionar 1 dos 9 rapazes (todos exceto o Miguel), 9 C 1 = 9. Logo o n´umero de comiss˜oes com estes dois colegas na sua composi¸c˜ao ´e 11 C 2 × 9. Assim, se subtrairmos os dois valores, obtemos o n´umero de comiss˜oes que n˜ao s˜ao integradas pelos dois em simultˆaneo (^12) C 3 ×^
10 C
2 −^
11 C
2 ×^9
Exame – 2008, 1.a^ Fase
- Sabendo que apenas os rapazes podem conduzir, existem 2 hip´oteses para ocupar o lugar do condutor, pelo que o n´umero de formas distintas ´e a soma de duas parcelas. Se for o Paulo a conduzir, o outro lugar da frente tem que ser ocupado pela Inˆes, e os 3 lugares de tr´as podem ser ocupados por qualquer um dos restantes trˆes amigos, ou seja, existem 3 A 3 = P 3 = 3! formas diferentes de ocuparem os 5 lugares. Se o Paulo n˜ao conduzir, existem 2 hip´oteses para ocupar o lugar do passageiro,
a frente (porque nem o Paulo, nem a Inˆes podem ocup´a-lo) e 4 hip´oteses para a ocupa¸c˜ao do banco traseiro, que correspondem a 2 hip´oteses para sentar os namorados (o Pauloa direita ou a esquerda) e a rapariga restantea direita ou `a esquerda do casal de namorados. Assim, de acordo com as restri¸c˜oes impostas, o n´umero de formas distintas que os amigos podem ocupar os 5 lugares no autom´ovel ´e 3! + 2 × 4 = 6 + 8 = 14 Resposta: Op¸c˜ao B
Teste Interm´edio 12.o^ ano – 07.12.
- Como se pretende que a sequˆencia seja iniciada por uma figura, temos 3 hip´oteses para a escolha da primeira carta. Para cada hip´otese de in´ıcio da sequˆencia, existem 12 cartas (as restantes duas figuras do naipe de paus e as restantes 10 cartas do naipe de paus) para ocupar as 12 posi¸c˜oes da sequˆencia, ou seja, 12 A 12 = P 12 = 12! hip´oteses. Assim, o n´umero de sequˆencias diferentes de cartas do naipe de paus, iniciadas com uma figura, que ´e poss´ıvel construir ´e 3 × 12! = 1 437 004 800
Teste Interm´edio 12.o^ ano – 07.12.
- O algarismo dos milhares dos n´umeros naturais compreendidos entre 1 000 e 3 000 s´o pode ser 1 ou 2, pelo que existem 2 hip´oteses para o algarismo das unidades. Como os algarismos devem ser todos diferentes, devem ser escolhidos 3 algarismos de entre os 9 que s˜ao diferentes do selecionado para o algarismo dos milhares, ou seja, 9 A 3 escolhas diferentes, visto ser relevante a ordena¸c˜ao destes 3 algarismos, por gerarem n´umeros diferentes. Assim, a quantidade de n´umeros naturais, escritos com algarismos todos diferentes, compreendidos entre os n´umeros 1 000 e 3 000 ´e 2 × 9 A 3 = 1008 Resposta: Op¸c˜ao D
Exame – 2006, Ep. especial´
- Como ficam dois rapazes de p´e, calculamos quantos grupos de rapazes podem ficar de p´e, selecionando 2 de entre os 4 rapazes, sem considerar relevante a ordem 4 C 2 Depois, por cada grupo de rapazes que fica de p´e, calculamos o n´umero de formas diferentes de ocupar 6 posi¸c˜oes (lugares), com 6 elementos (4 raparigas e 2 rapazes que v˜ao sentados), onde a ordem ´e considerada relevante, por gerarem configura¸c˜oes diferentes na ocupa¸c˜ao dos lugares sentados, ou seja 6 A 6 = P 6 = 6! Assim, supondo que ficam dois rapazes em p´e, o n´umero de maneiras diferentes que podem ficar ocupados os 6 lugares dispon´ıveis ´e (^4) C 2 ×^ 6! = 4 320 Resposta: Op¸c˜ao D
Exame – 2006, 2.a^ Fase
- Como a coluna tem seis faces laterais, como as faces opostas devem ser pintadas da mesma cor, a escolha da cor para 3 faces determina que as restantes 3 tenham as mesmas cores. Como uma dessas 3 faces j´a est´a pintada de verde, faces adjacentes n˜ao podem ter a mesma cor, restam 3 faces (a base superior e 2 das faces laterais) que podem ser pintadas com 1 das 5 cores dispon´ıveis (n˜ao considerando para esta escolha a cor verde). Assim existem 5 elementos (cores) que podem ser arranjados em 3 posi¸c˜oes(a base superior e duas faces laterais adjacentes n˜ao pintadas de verde), pelo que o n´umero de maneiras diferentes que podem ficar pintadas as restantes cinco faces, de cordo com as condi¸c˜oes impostas ´e (^5) A 3 = 5^ ×^4 ×^ 3 = 60 Exame – 2006, 1.a^ Fase
- Como s´o se pretende garantir que cada para de namorados fiquem juntos, em cada par, o rapaz pode ficar
a direita oua esquerda da rapariga, ou seja, para cada para existem 2 disposi¸c˜oes poss´ıveis, pelo que existem 2 × 2 × 2 = 2^2 disposi¸c˜oes poss´ıveis no conjunto dos 3 pares. Como os 3 pares ainda podem ocupar posi¸c˜oes diferentes na fila, podemos considerar que existem 3 posi¸c˜oes na fila para serem ocupadas por 3 elementos (pares), e em que a ordem da disposi¸c˜ao ´e relevante, pelo que as disposi¸c˜oes poss´ıveis dos 3 pares s˜ao 3 A 3 = P 3 = 3! Assim, o n´umero de maneiras que as 6 pessoas se podem dispor, lado a lado, de modo que cada par de namorados fique junto na fotografia ´e 23 × 3! = 48 Resposta: Op¸c˜ao D Teste Interm´edio 12.o^ ano – 07.12. - Como a primeira carta ´e o As de espadas, existe 1 hip´´ otese para ocupar a primeira posi¸c˜ao. Como as 3 cartas seguintes s˜ao as figuras de espadas, e existem 3 figuras, a ordena¸c˜ao pressup˜oe a relevˆancia da ordem, pelo que existem 3 A 3 = P 3 = 3! hip´oteses para colocar as figuras. Como as restantes duas cartas podem ser qualquer uma das restantes 9, e a ordem ´e relevante, existem (^9) A 2 hip´oteses de coloca¸c˜ao das restantes duas cartas. Assim, o n´umero de sequˆencias diferentes pode a Joana fazer ´e
1 × 3! × 9 A 2 = 432
Resposta: Op¸c˜ao B Teste Interm´edio 12.o^ ano – 07.12.
72.1. Os elementos do conjunto C que s˜ao m´ultiplos de 5, s˜ao constitu´ıdos por 3 algarismos ou posi¸c˜oes, em que a primeira pode ser ocupada por 9 algarismos (todos exceto o zero), a segunda pode ser ocupada por qualquer um dos 10 algarismos, e a terceira apenas por 2 algarismos (o zero e o 5). Assim, o n´umero de m´ultiplos de 5 que pertencem ao conjunto C ´e
9 × 10 × 2 = 180
72.2. Para um elemento do conjunto C que tenha os algarismos todos diferentes, existem 9 hip´oteses para a posi¸c˜ao das centenas (todos os algarismos exceto o zero); tamb´em existem 9 hip´oteses para a posi¸c˜ao das dezenas (incluindo o zero, mas excluindo o algarismo usado na posi¸c˜ao das centenas); e finalmente 8 hip´oteses para a posi¸c˜ao das unidades (todos os algarismos exceto os dois j´a utilizados), ou seja, um total de 9 × 9 × 8 = 648
Teste Interm´edio 12.o^ ano – 07.12.
