CEFET Química – Unidade Maracanã
Matemática – 4° período
Professora: Bianca da Rocha
email: [email protected]
PRIMEIRA AULA
MATRIZ
Bibliografia: Dante - Editora: Ática
Iezzi - Editora: Atual Editora
Bianca da Rocha 2009
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Teoria sobre Matrizes para estudo de Álgebra Matemática para Enem
Tipologia: Resumos
2018
1 / 25
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Baixe Noções sobre Matrizes - Matrizes - Álgebra e outras Resumos em PDF para Matemática, somente na Docsity!
CEFET Química – Unidade Maracanã
Matemática – 4° período
Professora: Bianca da Rocha
email: [email protected]
PRIMEIRA AULA
MATRIZ
Bibliografia: Dante - Editora: Ática
Iezzi - Editora: Atual Editora
Matrizes
- Definição, representação, matrizes especiais, igualdade, adição e subtração.
- Matrizes transposta, simétrica e anti-simétrica – Multiplicação
- Matrizes inversa e identidade
Determinantes
- Definição, determinante de matrizes de ordens 1,2 e 3.
- Teorema de Laplace
- Propriedades dos determinantes
- Regra de Chió
Sistemas Lineares
- Equação linear, Sistema linear, Sistemas equivalentes, Sistemas homogêneos e Sistemas escalonados.
-Escalonamento e Discussão de um sistema
-Regra de Cramer
Geometria Espacial
- Poliedros (relação de Euler, sólidos de Platão)
- Geometria de posição
- Prisma, Pirâmide
-Cilindro, Cone, Esfera
Programa:
Então chamamos de matriz toda tabela m x n sendo que m e n
podem assumir qualquer valor natural menos o zero. Sendo que m
é o número de linhas (horizontal) e n o número de colunas
(vertical).
Para representar uma matriz devemos colocar as linhas e colunas
entre parênteses, chaves ou entre duas barras duplas, veja alguns
exemplos:
MATRIZ
Observe que em cada matriz dos exemplos anteriores têm ao
lado indicando o número de linhas e o de colunas da matriz, o
primeiro exemplo esta indicado 2 x 3 (lê-se que a matriz é de
ordem dois por três). E cada número pertencente a uma matriz é
um elemento da matriz.
A = {5} є A , {-5} є A, {9} є A …
Quando tivermos m=n chamaremos de matriz quadrada de ordem n.
Veremos a seguir, como podemos representar cada elemento da
matriz de acordo com sua posição?
Bianca da Rocha 2009Bianca da Rocha 2009
MATRIZ
Para representarmos uma matriz, por exemplo de ordem
de ordem 2 x 2, onde não temos seus elementos definidos,
faremos da seguinte forma:
- Então o elemento a 21 pertence a 2ª linha e 1º coluna
- (^) Então o elemento a 12 pertence a __ linha e __ coluna
- (^) Então o elemento a 22 pertence a __ linha e __ coluna
- (^) Então o elemento a pertence a __ linha e __ coluna
a 11
; a 21
; a 12
; a 22
são elementos da
matriz de ordem 2 x 2 (duas linhas
e duas colunas).
Bianca da Rocha 2009
MATRIZ
Vejamos um exercício de lei de formação:
- Escreva a matriz A de ordem 3x3 onde cada aij = i + j
como cada a ij
= i + j teremos: a 11
=1+1=2 , a 12
=1+2= ,
a 13
=1+3=4 ,
a 21
= 2+1=3 , a 22
= 2+2= 4 ,
a 23
= 2+3 = 5 ,
a 31
=3+1=4 , a 32
=3+2= ,
a 33
=
3+3=6. Assim,
A =
a
11
a
12
a
13
a
21
a
22
a
23
a
31
a
32
a
33
Se A é de ordem 3x3 ela é da forma:
3x
3x3 (^) Bianca da Rocha 2009
MATRIZ
Então a matriz A é a seguinte:
Exercícios: 1-) Escreva a matriz A = (aij )3 x 2 tal que
aij = 2j - i.
EXERCÍCIOS:
2-) Escreva a matriz A = (aij )2 x 4 tal que a
ij
= j. i - j.
2
3) Escreva a matriz A = (a
ij
)3 x 3 tal que
a
ij
i. j, se i=j
0 , se i≠j
EXERCÍCIOS:
Matriz quadrada ► é a matriz que tem o número de linhas igual ao
número de colunas, isto é, m=n.
Matriz identidade ► denotada por In ou Idn, tem os elementos da
diagonal principal iguais a 1 e zero fora da diagonal principal.
I 2 = I 3 = I 1 = I 4 =
2x
1x
3x
1x
2x
3x
4x
Matrizes Especiais
Matriz Diagonal ► é aquela que tem todos os elementos fora da
diagonal principal nulos.
Matriz Triangular► é aquela que tem todos os elementos nulos abaixo
ou acima da diagonal principal.
2x2 (^) 3x
3x
3x
2x
3x
Matrizes Especiais
► Recebe o nome de Matriz nula toda matriz que
independentemente do número de linhas e colunas
todos os seus elementos são iguais a zero. Por exemplo:
1x
2x
3x1^ 3x
1x
3x
Matriz Nula
Dada uma matriz A de ordem m x n, a matriz transposta dela será
representada por At^ de ordem “invertida” n x m.
Essa ordem invertida significa que para transformarmos uma matriz
em matriz transposta, basta trocar os elementos das linhas pelo das
colunas e vice-versa.
- (^) Exemplo:Dada a matriz A = a matriz transposta
3 x 2
representada por At, será: At^ =
2x
Observamos que a ordem das matrizes A e da sua transposta At^ foi
invertida, o que era linha virou coluna e o que era coluna virou linha.
Matriz Transposta
Matriz Simétrica ► É quando a matriz transposta é
igual à matriz (A = At). Isto só acontece se A for matriz
quadrada e aij = aji para todo 1≤i ≤n e 1 ≤j ≤n.
Exemplos:
A = é matriz simétrica, pois A
t = =
A
Matriz Simétrica
Só podemos somar ou subtrair matrizes de mesma ordem, ou
seja, uma matriz 2x3 não pode ser somada com uma 3x3 ou 3x2,
2x2… apenas poderá ser somada a outra matriz 2x3.
Exemplo 1:
Sejam as matrizes A= e B =
Determine a matriz C tal que C é a soma da matriz A com a matriz B.
3 x 2 3 x 2
Cada elemento c ij
da matriz C será determinado pela soma
a ij
- b ij
, ou seja c ij
= a ij
- b ij
c 11
= a 11
- b 11
= 2+1 = 3 c 12
= a 12
- b 12
c 21
= a 21
- b 21
= 3+2 = 5 c 22
= a 22
- b 22
Soma de Matrizes