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Matemática Básica 2012/2 EP
Prezado aluno,
Esta semana termina o estudo dos números reais e estamos entrando na reta final para a 1ª avaliação presencial (AP1), que será realizada no dia 23 de setembro. Não deixe de realizar os exercícios propostos nesse EP e de conferir os exercícios feitos do ep5 com o gabarito abaixo. Além disso, preparamos para essa semana alguns exercícios resolvidos sobre resolução de equações. Atenção a esses exemplos, pois notamos que vários alunos têm dificuldades nesse assunto. No próximo EP vamos complementar o estudo de equações com exemplos de equações envolvendo módulo. Deixaremos também alguns exercícios diversos propostos para seu estudo.
Bom estudo!
Coordenadores da disciplina
Cristiane Argento
Ion Moutinho
Luciana Pena
Exercícios de revisão
- Resolva as equações no conjunto dos reais e represente o conjunto solução numa reta
graduada.
a)
x x
b) 60 %
x
x
c) (^) √ , onde (^) √ 1. (Não use aproximação.)
- Resolva os sistemas no conjunto dos reais e marque o conjunto solução numa reta graduada.
a) { b) { √ √
c) {
Desenhe uma representação da reta graduada e represente os seguintes valores sobre o seu desenho: 3 – √ ; 2 3 ; √ + ; 5,2. Você pode usar que √ é aproximadamente 1,4 e é aproximadamente 3,1.
Resolva as inequações. Dê a resposta em termos de intervalos e represente o conjunto solução na reta graduada.
a) 2 x + 5 < 6
b)
c)
d)
e) |x+2| 3
f) |x+2| 3
Resolução de Equações:
Vamos resolver algumas equações mais elaboradas fazendo uso das propriedades algébricas dos números reais vistas na página 11 da Unidade 4 da apostila. Ressaltamos que para as propriedades e), f), l), m) e p) vale a recíproca, ou seja, a implicação (⇒) pode ser substituída pela equivalência (⟺). Esse fato é muito importante na resolução de equações, pois se usarmos só propriedades equivalentes em cada passo da solução, ao final não precisamos checar se os valores encontrados pertencem ao conjunto solução da equação dada.
Tomamos nos exemplos a seguir como conjunto universo, o conjunto dos números reais.
Exemplos: Determine o conjunto solução de cada equação.
1..
𝑑𝑒 𝑚
𝑑𝑒 𝑒
𝑑𝑒 𝑙
3, 𝜋.
Logo, 𝑆 { , 3,14𝜋 }.
Obs: 3,14𝜋 ≠ , 𝑝𝑜𝑖𝑠 𝜋 ≠ ,.
Solução: Aqui também, a primeira providência que pensamos em tomar é cancelar o termo comum ,usando a propriedade m) , porém como pode ser 0, devemos analisar as duas possibilidades, quando e ≠. Se , observe que a equação é satisfeita e portanto resolve a equação. Seja ≠ , isto é, ≠. Então, obtemos
6 ⟺⏟ 𝑑𝑒 𝑚
𝑑𝑒 𝑒
𝑑𝑒 𝑙 (^3).
Assim, 𝑆 { , 3 }.
Exercícios Complementares :
- Analisando a raiz quadrada : Lembremos que : Dado um número real ≥ , a raiz quadrada de a é o número real 𝑏 ≥ , tal que 𝑏. Usamos a notação (^) √ para denotar b. Portanto, (√ ) , onde (^) √ ≥. a) Calcule √. b) Determine todas as soluções da equação. c) Analisando a definição de (^) √ , é correto escrever (^) √ ± ou (^) √ 6 ±? Justifique. d) Calcule √ , para , 𝑒. Pensando nesses exemplos, podemos escrever que √ , ∀ 𝜖ℝ? e) Complete a lacuna √ _____, ∀ 𝜖ℝ
OBS: Agora, não escreva mais como no item c), você já aprendeu a escrever corretamente:
√ =2,^ √ ,√ 6^ ...
- Dê um contraexemplo para mostrar que a igualdade (^) √ √ √ , , é FALSA!
- Determine o conjunto solução:
a)
b) √ √ c)
Respostas dos exercícios do EP05:
1) Resolva as expressões numéricas e escreva o resultado em forma de fração irredutível.
a) 1 0 , 25 ( 2 3 6 ): 0 , 1
b) 6 ): 0 , 2
[ 6 ( 2 ) 3 ]
Solução: a) Passo 1: resolva o denominador na primeira fração:
: ×
× 6 : ,
: ×
× 6 : ,
Passo 2: resolva o produto por zero:
: ×
× 6 : , : × 6 : ,
Passo 3: substitua o valor 0,1 por sua fração irredutível:
foi de × 1000 × 15 ,6 , reais. O desconto obtido foi de 60-38,40=21,60 reais. Em relação ao preço normal, o percentual de desconto obtido pelo Daniel foi de ,6 × 10060 ,6 × 53 6%. O Jônatas cortou na 5ª feira e como tem 14 anos, pela promoção Teen, pagou 60- 6 × 1000 6 6 × 15 6 reais. Seu desconto foi de somente 20%.
4) Um número x ℚ é tal que a diferença de x por
^2 é 40% da diferença de
15 por
. Determine x representado-o como uma fração irredutível. Solução: Interpretando o problema, temos a equação
^
x^2
Podemos manipular as expressões da equação a fim de obter uma nova equação equivalente, mas simplificada:
^
x x x
Resolvendo a última equação, temos:
x ^41
Escrevendo x na forma de fração irredutível, temos x=7/10.
5) Um quadrado de lado 10 teve a medida de seu lado reduzido em 20%. Qual o percentual de redução da área do quadrado?
Solução: Com a redução, a medida do lado do quadrado ficou igual a 8. Então sua área é dada por × 6. Assim, a área foi reduzida de 100 para 64, ou seja de 36 unidades de área, o que corresponde a 36% de redução para a área.
6) Escreva as dízimas periódicas em forma de fração ou como número inteiro. a) 0,151515... b) 2,023232323.... c) 99,9999... d) 2,32132132... Solução:
a) Seja x=0,151515.., então
100x=15,151515.... e tem a mesma parte decimal de x. Portanto, 100x-x=15, donde 99x=15
x .
b) Seja x=2,0232323..., então 10x=20,232323... e 1000x=2023,232323... têm a mesma parte decimal, donde 1000x-10x=2003 ⟹990x=2003. Logo, x =
c) Seja x=99,999..., então x x ⇒ x ⇒ x. Logo, 99,999.....= . d) Seja x , …. ⇒ x x ⇒ x ⇒ x 999319 773333.
7) Efetue. a) (0,151515...).( 2,023232323...) b) (^) √ , … c) 3 2,32132132...
d) 0,6666…. Solução:
a) Pelo exercício 6), temos (0,151515...).( 2,023232323...)= 335. (^990003) 33.5.198^ 5. 003 003
003
b) Como vimos no exercício 6), 99,9999...=100, logo (^) √ , …=√. c) Usando o ex. 6), temos que 3 2,32132132... = 3 773333 333 +773^995333. d) Como 0,666....= 3 , temos que 0,6666….^ /3.^3 √^4 √^3 1 4.^6
8) Numa gincana estudantil, a equipe Lua terminou a tarefa em
2 do dia e a outra equipe
Terra levou
horas. Quem ganhou a gincana?
Solução: Temos que
do dia é igual a
de 24 horas, que é igual a
horas.
Como 48 7 6,85 e 22 3 7,33, concluímos que a equipe Lua ganhou.
9) Resolva a equação em x ,
onde a 3,1. Depois de encontrar o valor de x , diga por que devemos considerar a 3,1.
Solução: Se ax + 2 3 x = 0,1 x + bc , temos ( a 3,1) x = bc 2, donde x =
a
bc
. A restrição a
3,1 é para garantir a última passagem. Se tivéssemos a = 3,1, equação ficaria 0. x = bc 2 e poderia não ter solução, caso bc 2 fosse diferente de zero.
