Matemática para Negócios, Resumos de Matemática

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autor

LUIZ ALBERTO GRAVINA BELMIRO

1ª edição SESES rio de janeiro 2015

MATEMÁTICA PARA

NEGÓCIOS

Sumário

• Prefácio
• 1. Revisão de Funções e Gráficos
  • Objetivos
  • 1.1 Conceito
  • 1.2 Domínio
  • 1.3 Funções lineares e não lineares
  • 1.3.1 Função quadrática e representação gráfica
  • 1.3.1.1 Introdução
  • 1.3.2 A função de segundo grau: definição e exemplos
  • 1.4 Funções crescentes e decrescentes
  • 1.5 Pontos de máximo e mínimo
  • 1.5.1 Gráfico da função de segundo grau: a parábola
  • 1.6 Estudo do sinal de funções elementares e suas aplicações
  • 1.6.1 Intercepto
  • 1.6.2 Vértice da parábola
  • 1.6.3 Exemplos de gráficos
• 2. Limites
  • Objetivos
  • 2.1 Introdução ao Limite
  • 2.1.1 O conceito intuitivo de limite
  • 2.1.2 Funções contínuas
  • 2.2 Análise Gráfica de Limite
  • 2.2.1 Funções descontínuas
  • 2.3 Como Calcular Limites
• 3. Derivada de uma função
  • Objetivos
  • 3.1 Introdução à Derivada
  • 3.2 O coeficiente angular
  • 3.3 Interpretação gráfica da derivada
  • 3.3.1 Derivada pela definição
  • 3.3.2 Interpretação gráfica da derivada
• 4. Regras de Derivação
  • Objetivos
  • 4.1 Regras de Derivação
  • 4.2 Derivada de função
  • 4.2.1 Derivada da função xn
  • 4.2.2 Derivada de k· f(x)
  • 4.2.3 Derivada de f(x) = k
  • 4.3 Derivada de uma soma (ou subtração) de funções
  • 4.4 Derivada do produto de duas funções: a regra do produto
  • 4.5 Derivada da divisão de duas funções: a regra do quociente
  • Referências bibliográficas
  • Problema de Otimização 4.6 Aplicação de Derivada para Determinação de Máximos e Mínimos –
• 5. Aplicações Matemáticas em Economia
  • Objetivos
  • 5.1 Maximização do lucro de uma empresa
  • 5.1.1 Maximização do lucro
  • 5.2 Receita, Custo e Lucro Marginais
  • 5.3 Ponto de Equilíbrio
  • 5.3.1 Equilíbrio de firma (break-even-point)
  • 5.3.1.1 Custo total
  • 5.3.1.2 Receita total ou faturamento
  • 5.3.1.3 Ponto de equlíbrio
  • 5.4 Elasticidade – preço da demanda
• 6. Aplicações Matemáticas em Marketing
  • Objetivos
  • 6.1 Previsão e mensuração da demanda em marketing
  • 6.2 Pesquisa de marketing
  • 6.3 Mensuração do valor da marca
  • 6.4 Gerenciamento de preços
  • 6.5 PROMOÇÃO DE VENDAS/ DESCONTOS
  • 6.6 Propaganda/ dispêndio de marketing
  • 6.7 Orçamento de marketing
• 7. Aplicações Matemáticas em Produção
  • Objetivos
  • 7.1 Medida da produtividade
  • 7.2 Projeto e medida do trabalho
  • 7.3 Medida da capacidade
  • 7.4 Avaliação de alternativas de localização
• 8. Aplicações Matemáticas em Logística
  • Objetivos
  • 8.1 Operações de armazenagem
  • 8.2 Controle de estoque
  • 8.3 Operações de transporte
  • 8.4 Operações de movimentação e embalagem
  • 8.5 Otimização de sistemas de transporte
• 9. Aplicações Matemáticas em Finanças
  • Objetivos
  • 9.1 Risco sistemático e beta de carteira de investimentos
  • 9.2 CAPM (modelo de precificação de ativos financeiros)
  • 9.3 WACC (Custo de capital médio ponderado) /Obtenção de capital
  • 9.4 Modelo de dividendos
  • 9.5 Análise de investimentos
  • 9.6 Alavancagem financeira
  • 9.7 Medidas de liquidez, rentabilidade, estrutura de capital e de giro
• 10. Matemática Aplicada a Negócios
  • Objetivos
  • 10.1 Plano de Negócios

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Prefácio

Prezados(as) alunos(as), Nos dias atuais, presenciamos avanços tecnológicos inimagináveis há al- guns anos. Isso ocorre em todas as áreas e facilita, de forma significativa, a ob- tenção de informações a respeito dos fenômenos que nos cercam. E, se parar- mos para prestar atenção, veremos a presença da Matemática em praticamente todos os acontecimentos relacionados com tais fenômenos. Essa evolução gera um grande volume de informações e também a necessidade crescente de reso- lução de diversos tipos de problemas. Isso, certamente, aumenta a importância do conhecimento matemático. Compreender e aplicar os conceitos, métodos e algoritmos matemáticos tem fundamental importância aos profissionais de diversas áreas do conhecimento. E não é somente no campo profissional que a Matemática é importante. Em nosso dia a dia, cada vez mais, vemos a necessi- dade da utilização do raciocínio matemático. Participante, há muito tempo, da evolução humana, a Matemática desen- volveu-se (e desenvolve-se) a partir da necessidade do homem em resolver seus problemas. E não é muito diferente nos dias atuais. Nosso aprimoramento pro- fissional passa pelo conhecimento, superficial ou abrangente, dessa ciência. Não permita que eventuais dificuldades de compreensão dos conceitos mate- máticos diminuam sua capacidade de ação profissional. Dedique-se aos estu- dos e procure sempre construir, gradativamente, o conhecimento e o raciocínio lógico que lhe ajudarão a compreender melhor os fenômenos que o cercam. Veremos aqui a aplicação de conceitos matemáticos na resolução de diver- sos tipos de problemas, desenvolvendo assim o raciocínio lógico e analítico, habilidade fundamental para a tomada de boas decisões, mesmo em momen- tos que não envolvam a matemática propriamente dita, pois o raciocínio lógico auxilia na análise de vários tipos de situações encontradas no cotidiano de uma organização. Este livro está dividido em cinco capítulos. Começaremos, no Capítulo 1, pelo estudo dos conjuntos e suas operações com ênfase na resolução de pro- blemas envolvendo tais conceitos. No Capítulo 2, estudaremos as equações do 1º grau, razões, proporções e suas aplicações na resolução de problemas en- volvendo porcentagens. A função linear, seu comportamento e características serão apresentados no Capítulo 3. Nele também serão apresentadas aplicações

Revisão de Funções

e Gráficos

10 • capítulo 1

OBJETIVOS

• Compreender o que é uma função matemática;
• Reconhecer uma função do primeiro grau;
• Realizar cálculos de valores de função de primeiro grau e determinar sua raiz e intercepto;
• Esboçar e interpretar gráficos de funções do primeiro grau;
• Aplicar o conhecimento sobre função do primeiro grau em situações práticas do cotidiano.

12 • capítulo 1

Neste capítulo estudaremos um tipo de função que conhecemos por função do primeiro grau. É uma das formas mais elementares de função que existe, mas que possui uma infinidade de aplicações.

1.2 Domínio

Uma ideia intuitiva de função que podemos ter é a de uma “máquina” que pro- duz um valor y quando nela inserimos um valor x. Há uma “transformação” da variável x para a produção da variável y. E isso acontece através de uma fórmula matemática que relaciona valores de dois conjuntos. Considere dois conjuntos A e B. Uma função matemática entre A e B, nes- sa ordem, é uma relação que associa a cada um dos elementos de A um único elemento de B. Há uma infinidade de tipos de função. Neste capítulo, estuda- remos a função de primeiro grau, que é aquela que pode ser escrita na forma:

y = ax + b ou f x( ) = ax +b

em que a e b são valores reais quaisquer, com a ≠ 0. A letra a é denominada de coeficiente angular (ou de inclinação ) da função. Como o gráfico da função de primeiro grau é sempre uma reta , então o valor de a determina se ela será crescente ( a > 0) ou decrescente ( a < 0). A letra b é o co- eficiente angular (ou intercepto ) da função e determina o ponto no qual a reta (gráfico da função de primeiro grau) cruza com o eixo vertical (que é também conhecido por eixo y ). O conjunto de valores x numa função é denominado domínio da função e denotado por D(f). Já os valores de y que são relacionados aos valores do do- mínio constituem um conjunto denominado imagem da função , denotado por Im(f).

O coeficiente da variável x numa função de primeiro grau não pode assumir valor zero porque, se isso acontecer, a função deixa de ser de primeiro grau para tornar-se uma função constante (aquela cujo valor não varia mesmo quando alteramos o valor de x).

capítulo 1 (^) • 13

É comum utilizarmos as letras x e y para representar as variáveis em uma função matemática. No entanto, podemos utilizar as letras que quisermos. Quando, por exemplo, relacionamos o custo de produção de determinada utili- dade com a sua quantidade produzida, utilizamos as letras C e q para represen- tar tais variáveis. Vamos ver, inicialmente, dois exemplos de funções do primeiro grau, cal- culando alguns de seus valores e construindo seus gráficos. Mais adiante, vere- mos algumas aplicações.

1.3 Funções lineares e não lineares

EXEMPLO Considere a função f x( ) = 2 x + 3. Vamos determinar alguns de seus valores a partir dos seguintes valores de x : –2, –1, 0, 1, 2 e 3.

• Se x = –2, então f (^) (− 2 ) = 2 ⋅ −( 2 ) + 3 = − 4 + 3 = − 1.
• Se x = –1, então f (^) (− 1 ) = 2 ⋅ −( 1 ) + 3 = − 2 + 3 = 1.
• Se x = 0, então f 0( ) = 2 0⋅ + 3 = 0 + 3 = 3.
• Se x = 1, então f 1( ) = 2 1⋅ + 3 = 2 + 3 = 5.
• Se x = 2, então f 2( ) =^ 2 2⋅^ +^3 =^4 +^3 =^7.
• Se x = 3, então f 3( ) = 2 3⋅ + 3 = 6 + 3 = 9.

Podemos apresentar os resultados numa tabela: X F(X)

Tabela 1.3 – Valores da função f(x) = 2x + 3.

capítulo 1 (^) • 15

Como vimos em um dos exemplos do capítulo anterior, a função que fornece a receita total y de uma utilidade em relação à quantidade comercializada x tem a forma: y = p · 2p em que p é o preço unitário de venda. Se o preço p for fixo, a função receita total é considerada de primeiro grau e seu valor cresce indefinidamente à medida que a quantidade x aumenta. No entanto, no caso desse restaurante, temos a informação de que a quantidade vendida está diretamente relacionada com o preço unitário através da relação: x = 100 – 2p Da mesma forma que podemos escrever x em função de p , podemos fazer o inverso: escrever p em função de x. Para isso, basta isolar p na função x = 100 – 2p: x p p x p x p x

= − = − = − = −

100 2 2 100 100 50 2 0 5, Substituindo a expressão p = 50 – 0,5 x na função receita total, temos: y x x

p

= (^  50  −^ 0 5,) ⋅

Aplicando a propriedade distributiva, podemos escrever: y = 50 x – 0,5 x^2 Note que o formato da função obtida difere daquele que vimos quando estudamos as funções de primeiro grau. Temos, agora, uma função de segundo grau (pois a variável indepen- dente aparece elevada à potência 2). Vamos estudar algumas das características dessas funções. Podemos determinar, entre outras coisas, qual deve ser a quantidade comercializada para que o valor da receita seja máximo. Você pode pensar assim: quanto maior a quantidade vendida, maior será o valor re- cebido (receita). Mas não podemos nos esquecer que, agora, para que a quantidade vendida aumente, o preço deve baixar. E se o preço for muito baixo, mesmo com uma quantidade grande, a receita pode parar de crescer. É isso que acontece em casos como o deste exem- plo.

16 • capítulo 1

Mais adiante, após estudarmos as características de uma função de segundo grau, reto- maremos este exemplo para determinar “qual é a melhor relação preço versus quantidade para que a receita seja a maior possível”.

1.3.2 A função de segundo grau: definição e exemplos

Toda função que relaciona elementos de A e B ( x ∈ A e y ∈ B), nessa ordem, é uma função de A em B se puder ser escrita na forma: y = f(x) = ax^2 + bx + c em que a , b e c são valores reais, com a ≠ 0. EXEMPLO São exemplos de funções do segundo grau:

a) f (x) = x^2 – 6 x + 5, em que a = 1, b = – 6, c = 5;

b) g (x) = – x^2 + 4x – 3, em que a = – 1, b = 4, c = – 3;

c) y = – 5x^2 + 2x, em que a = – 5, b = 2, c = 0;

d) h (x) = x^2 + 7, em que a = 1, b = 0, c = 7;

e) f (x) = 2 – 5 x + 3x^2 , em que a = 3, b = – 5, c = 2;

f) y + 2x^2 + x = 9, que pode ser escrita na forma y = – 2x^2 – x + 9, em que a = – 2, b = –1, c = 9.

18 • capítulo 1

O mesmo acontece com relação aos outros pontos e em toda a extensão do do- mínio da função. Por isso, após localizarmos os pontos calculados, podemos ligá-los através de segmentos de reta. 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0

Figura 2 – Gráfico de função do primeiro grau do exemplo da tabela 1.3.

Note que, no gráfico, a reta é crescente (à medida que x cresce, y também cresce) e a taxa de crescimento é de 2 unidades em y para cada unidade em x. Essa taxa de crescimento é determinada pelo coeficiente angular (ou de inclina- ção) da função. Outro ponto notável é o intercepto (ou coeficiente linear), que no caso da função abordada é o 3. Ele determina onde o gráfico irá interceptar o eixo y.

capítulo 1 (^) • 19

Embora a representação do gráfico da função f ( x ) = 2 x + 3 da figura 2 limite- se ao domínio (valor de x ) de –2 a 3, poderíamos expandi-la infinitamente tanto para valores maiores quanto para valores menores que os considerados na ta- bela 1.3. Representamos a função de forma finita, mas não podemos esquecer que ela é infinita. Vejamos, agora, um exemplo em que o coeficiente angular é negativo.

EXEMPLO Considere, agora, a função f ( x ) = – 2 x + 3. Vamos determinar, como no exemplo anterior, alguns de seus valores a partir dos seguin- tes valores de x : –2, –1, 0, 1, 2 e 3.

• Se x = –2, então f(–2) = – 2 · (–2) + 3 = 4 + 3 = 7.
• Se x = –1, então f(–1) = – 2 · (– 1) + 3 = 2 + 3 = 5.
• Se x = 0, então f(0) = – 2 · 0 + 3 = 0 + 3 = 3.
• Se x = 1, então f(1) = – 2 · 1 + 3 = – 2 + 3 = 1.
• Se x = 2, então f(2) = – 2 · 2 + 3 = – 4 + 3 – 1.
• Se x = 3, então f(3) = – 2 · 3 + 3 = – 6 + 3 = – 3.

Resumindo os resultados numa tabela, temos: X F(X)

Tabela 1.4 – Valores da função f(x) = –2x + 3.