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XIV — SUMÁRIO 8.10 Divergência de um Campo Vetorial, 501 8.11 Rotacional de um Campo Vetorial, 506 CAPÍTULO 9. INTEGRAIS CURVILINEAS E DE SUPERFICIE. TEOREMAS, 510 9.1 Integral Curvilínea, 510 9.2 Calculo das Integrais Curvilineas, 513 9.3 Integrais Duplas, 519 9.4 Transformação de Integrais Duplas em Integrais Curvilíneas, 528 9.5 Superfícies, 535 9.6 Plano Tangente. Primeira Forma Fundamental. Área, 538 9.7 Integrais de Superfície, 546 9.8 Integrais Triplas. Teorema de Divergência, de Gauss, 552 9.9 Consegiiências e Aplicações do Teorema da Divergência, 557 9.10 Teorema de Stokes, 564 9.11 Consegiiências e Aplicações do Teorema de Stokes, 568 9.12 Integrais Curvilíneas Independentes do Caminho, 571 APÊNDICE 1 — Referências Bibliográficas, 581 APÊNDICE 2 — Respostas dos Problemas de Número Ímpar, 583 APÊNDICE 3 — Algumas Fórmulas Para Funções Especiais, 595 APÊNDICE 4 — Tabelas, 603 Índice Remissivo, 607 VOLUME 3 CAPÍTULO 10. SÉRIES E INTEGRAIS DE FOURIER, 609 10.1 Funções Periódicas. Séries Trigonométricas, 609 10.2 Séries de Fourier. Fórmulas de Euler, 612 10.3 Funções com Período Arbitrário, 621 10.4 Funções Pares e Funções Impares, 625 10.5 Desenvolvimentos de Meio Período, 630 10.6 Determinação dos Coeficientes de Fourier sem Integração, 635 10.7 Oscilações Forçadas, 642 10.8 Aproximação por Polinômios Trigonométricos. Erro Quadrático, 646 10.9 A Integral de Fourier, 648 CAPÍTULO 11. EQUAÇÕES DIFERENCIAIS PARCIAIS, 659 11.1 Conceitos Fundamentais, 659 11.2 Corda Vibrante. Equação de Onda Unidimensional, 662 SUMÁRIO — xV 11.3 Separação das Variáveis (Método do Produto), 664 11.4 Solução de d'Alembert da Equação da Onda, 673 11.5 Difusão Unidimensional do Calor, 678 11.6 Difusão do Calor em uma Barra Infinita, 684 11.7 Membrana Vibrante. Equação Bidimensional de Onda, 689 11.8 Membrana Retangular, 691 11.9 Laplaciano em Coordenadas Polares, 699 11.10 Membrana Circular. Equação de Bessel, 702 11.11 Equação de Laplace. Potencial, 709 11,12 Equação de Laplace em Coordenadas Esféricas. Equação de Legendre, 713 11,13 A Transformação de Laplace Aplicada às Equações Diferenciais Parciais, 718 APÊNDICE 1 — Referências Bibliográficas, 723 APÊNDICE 2 — Respostas dos Problemas de Número Impar, 726 APÊNDICE 3 — Algumas Fórmulas Para Funções Especiais, 733 APÊNDICE 4 — Tabelas, 742 Indice Remissivo, 745 VOLUME 4 CAPITULO 12. NÚMEROS COMPLEXOS. FUNÇÕES ANALITICAS COMPLEXAS, 12.1 Números Complexos, 12.2 Forma Polar dos Números Complexos, Desigualdade do Triângulo, 12.3 Curvas e Regiões no Plano Complexo, 12.4 Função Complexa. Limite. Derivada. Função Analítica, 12.5 Equações de Cauchy-Riemmann, Equação de Laplace, 12.6 Funções Racionais. Raiz, 12.7 Função Exponencial, 12.8 Funções Trigonométricas e Hiperbólicas, 12.9 Logaritmo. Potência Generalizada, CAPITULO 13. REPRESENTAÇÃO CONFORME, 13.1 Representação, 13.2 Representação Conforme, 13.3 Transformações Fracionárias Lineares, 13.4 Transformações Fracionárias Lineares Especiais, 13.5 Transformações por Outras Funções Elementares, 13.6 Superfícies de Riemmann, CAPÍTULO 14. INTEGRAIS COMPLEXAS, 14.1 Integral Curvilínea no Plano Complexo, 14.2 Propriedades Fundamentais da Integral Curvilínea Complexa, 14.3 Teorema da Integral de Cauchy, 14.4 Cálculo das Integrais Curvilíneas Mediante Integração Indefinida, 610 — MATEMÁTICA SUPERIOR (1) fx + TD =fs) para todo x. O número T é então chamado o período! de f(x). O gráfico de tal função é obtido pela repetição periódica de seu gráfico em qualquer intervalo de comprimen- to T(Fig. 10.1). De (1) decorre que, se n é um inteiro qualquer fix +nT) = f(x) para todo x, * de modo que qualquer múltiplo inteiro nT(n + 0) de T é também um período de f(x). Além disso, se f(x) e g(x) possuem período T, então a função h(x) = af(x) + bg(x) (a, b constantes) possui período T. fla) ZON LN A [yo Fig. 10.1 Função periódica, As funções seno e co-seno constituem exemplos familiares de funções perió- dicas, notamos que a função f = c = constante é também periódica no sentido da definição, pois satisfaz (1) para qualquer T positivo. O problema nas primeiras seções será a representação de várias funções de período 27 em termos das funções simples. 1, cosx,senx, cos2x, sen2x,..., cosnx, sennx,... 1 Se uma função periódica tem T(> 0) como o menor valor do período, esse valor é chamado período primitivo de f(x). Por exemplo, os períodos primitivos de sen x e sen 2x são, respectivamente, 2r e m. Exemplos de funções sem período primitivo: f = const ef(x) = 0, se x é racional; f(x) = 1, caso contrário. SÉRIES E INTEGRAIS DE FOURIER — 611 que possuem o período 27 (Fig. 10.2). A série que decorre deste problema será da forma (2) ay+ajcosx + b;senx + a,cos2x + b; senlx + ---, onde do, 04,42,...,b1,ba,-.. são constantes reais. Tal série é chamada uma série trigonométrica, e à, e b, são os coeficientes da mesma. Vemos que cada termo da série possui período 27. Assim, se a série converge, sua soma é uma função de perío- do 2m. ra + e l J (0) x ro T 2 cos x cos 2x cos 3x a | — = — En. Fama sen x sen 2x sen 3x Fig. 10.2 Funções seno e co-seno, de período 2m. As funções periódicas que ocorrem na Engenharia costumam ser um tanto complicadas, sendo, portanto, desejável representá-las em termos de funções perió- dicas simples. Veremos que quase todas as funções periódicas f(x) de período 27 que aparecem nas aplicações, por exemplo, nos problemas de vibrações, podem ser répresentadas por séries trigonométricas, e vamos deduzir fórmulas para os coefi- cientes (2) em termos de f (x), tais que (2) seja convergente e tenha como soma «f(x). Estenderemos depois os resultados às funções de período arbitrário; esta extensão será bem simples. PROBLEMAS DA SEÇÃO 10.1 “Determinar o menor período positivo T das seguintes funções: 1. cosx, sen x, cos 2x, sen 2x, cos mx, sen mx, Cos 27x, sen 27x. 2. cosnx, sennx, cos(2mx/k), sen (2nx/k), cos (2mnx/k), sen (Qmmx/k). Fazer gráficos cuidadosos das seguintes funções: 3. senx, sen x + 4 sen3x, sen x + 4 sen3x + dsen 5x, —r/4 quando 7 (a, cosnx + db, sennx). n=1 Dada tal função f(x), desejamos determinar os coeficientes a, € by na série corres- pondente (1). Em primeiro lugar determinamos a. Integrando ambos os membros de (1) de-ma+ 7m,temos [ro dx = IN [ao + > (a, cosnx + b, seno de. n=1 Se a integração termo a termo da série for permitida? , obtemos fra = as f dx + > (a, Fr cos nx dx + », ,r sen nx dx), Em O primeiro termo no segundo membro é igual a 2ra,, enquanto todas as outras integrais são nulas, como podemos ver facilmente efetuando as integrações. Assim, o primeiro resultado é | KU (2) =) foda, que representa a área sob a curva f(x) de — ma + m, dividida por 27. Em seguida determinamos 4, 4,,. . . por processo semelhante. Multiplicamos (1) por cos mx, onde m é um inteiro positivo fixo qualquer, e integramos de —ma+ 7, encontrando Ea (3) f fd) cos mx dx = | [as + 3 (a, cos nx + b, sen na [cos ms dx. ar n=1 Mediante integração termo a termo o segundo membro se transforma em ao f” cosmx dx + S [af -a n=1 = Cd x cos nx cos mx dx + b,, f sen nx cos mx dx. -— 2 Como, por exemplo, no caso de convergência uniforme (cf. Teor. 3naSeç. 16.6). | 614 — MATEMÁTICA SUPERIOR A primeira integral é nula. Aplicando (11), Apêndice 3, obtemos J = ! =” Cá cos nx cos mx dx = + f" cos (n + mx dx +53) cos(n=mxds, q 1” 17 sen nx cos mx dx = 5] sen (n + m)x dx + 5) sen (n — mjx dx. 24, 24. A integração mostra que os quatro termos à direita são iguais a zero, à exceção do último na primeira linha, que é igual a 7 quando n = m. Como em (3) este termo vem multiplitado por a,,, o membro direito de (3) é igual a a,, 7. Nosso segundo resultado é, pois, 1! a (4) Am = = f(x) cos mx dx, m=1,2,.... = =" Finalmente determinamos b,, b,, . .. em (1). Multiplicando (1) por sen mx, onde m é um inteiro positivo fixo, e integrando em seguida de — 7 a m, obtemos (5) fio senmx dx = f [ão + >) (a, cos nx + b, sen na) [sen mx dx. = = n=1 Por integração termo a termo, o segundo membro se transforma em cd ” rd Tm a f sen mx dx + > [as f cos nx sen mx dx + b,, f sen nx sen mx dx | = n=1 A primeira integral é nula. A segunda é do tipo considerado anteriormente, e sabemos que é nula para qualquer n = 1,2,.... Para a última integral, obtemos q | T 1 T fo penses imeda Ei. cos (n — m)x dx -3J, cos (n + mx dx. O último terno é nulo, O primeiro termo à direita é nulo quando n * m, e vale 7 quando n = m. Como em (5) este termo é multiplicado por b,, , o segundo membro de (5) é igual a b,, 7 e nosso último resultado será ] m da= =) f(x) sen mx dx, mi = 1,2, cm us = 616 — MATEMÁTICA SUPERIOR f(x) cd (o) T 27 x PR | (a) A função f (x). (Onda quadrada periódica) St k [ x -7 T -kh vã 48 k E “E Ed as po a Ed x, ar To o te a + + Ed sen 3r Se Sa Dido LT ti Rs x Ed N 4 N ma, Dam me: no eo. I x =7 Net sen 5x -h (b) As três primeiras somas parciais da série de Fourier correspondente Fig. 10.3 Ex. 1. SÉRIES E INTEGRAIS DE FOURIER — 617 A área sob a curva de f(x) entre — me m é zero e, por isso, em vista de (6a), a, = O. De (6h) vem: pa tro? z =-— cos nx dx = — —k) cos nx d» k j ax] a, E da x A )cos nx + cos nx dx porque sennx = 0 em — mn, 0,é paratodon =1,2,... De(6c), = rio q f foosenaxds =| [ (= k)sennx ds + [ kesem x dx | = Tia (U o o ” - À [4 cosa — SOS nx | 7 no da no Como cos(- a) =cosaecos0=1,vem ba = * (cos 0 — cos(—nm) — cos nm + cos0] = EM] — cos nm). nm nt Sendo cos m = — 1, cos2r = 1, cos Jr = — 1 ctc., em geral, | paran ímpar 2 paran ímpar cos n7 = e assim | —- cosnz = 1 paran par O paran par Assim, os coeficientes de Fourier b,, são dk 4k 4k h= b,=0, da = 0 b,=0, ds= e como osa, são iguais a Zero, a série de Fourier correspondente é 4k 1 1 — |senx + —sen3x + —senSx + -..). m -| 5 As somas parciais são Si= 4 sen x, Sa = É (sena + senda), etc, 7 7 e seus gráficos na Fig. 10.3 parecem indicar que a série é convergente e tem como soma a função dada. Notamos que, em x = 0 ex =, pontos de descontinuidade de f(x), todas as somas parciais possuem o valor zero, média aritmética dos valores — k e k da função. SERIES E INTEGRAIS DE FOURIER — 619 ft) pf —0) 1 Dm | f1+O0) (o) 1 x Fig. 10.4 Limites à esquerda e à direita. q —0=1, x? quando x<1 auma função f(x) = | x/2 quando x > 1 a +0=3 Observação. Se a série de Fourier correspondente a uma função f(x) converge para a soma f(x) conforme caracterizado no Teorema 1, a série é chamada a série de Fourier de f(x); escrevemos então f(x) =ag+acosx + bysenx + + a, cosnx + b,sennx + «+. dizendo que f(x) é representada por esta série de Fourier. Como a inserção de parênteses em uma série convergente fornece uma nova série convergente que possui a mesma soma que a série original (demonstração na Seç. 15.6), podemos escrever de maneira mais breve O) = a + > (a, cos nx + by sen nx). n=1 Demonstração da convergência no Teorema 1 para uma função contínua f(x) que possui derivadas de primeira e segunda ordens contínuas. Integrando (6h) por | partes, obtemos Sl) sen nx |7 nm LG” 17 m=7) faca = = me) SM sem nd O priméirq termo no segundo membro é zero. Uma segunda integração por partes dá 0 — fíx)cosnx J f(x) cos nx dx. ” h2m qn O primeiro termo do segundo membro é nulo devido à periodicidade e continuidade de f'(%). Como" é contínua no intervalo de integração CI) ta cos nx + b, sennx) cujos coeficientes são obtidos de (6), na última seção: Lo” r 1” T g=5) 1 (es a=[4 (52) Ra LçrdT b, = =J fix) sen nx dx. Poderíamos empregar estas fórmulas diretamente, mas a mudança para t simplifica os cálculos. Como 2 2 x= Gr temos dx = a e o intervalo de integração no eixo x corresponde ao intervalo [ms IA IA T e Vê-se, assim, que os coeficientes de Fourier da função periódica f(t) de período T são dados pelas fórmulas de Euler 1 qr . O w=7 f fd -T/2 2 qt? 2nmt L2 mm, (3) O) n=7 J ma) (9008 qdo n= 1, 2, SEU 2 qr? 2nzt b=— ft) sen— dt O h=7), 108 A série de Fourier, com x expresso em termos de t, se escreve 2 2nm 2nm (4) HO) = 4 +2 (a, cost + by senZEs), O intervalo de integração em (3) pode ser substituído por quaiquer intervalo de comprimento T, por exemplo, pelo intervalo O <1 al fod=a[ t4=5 pp nr Lp! nm 2k nm np) Mimi =] hang rd qu T Assim, Gy =0 paran par, q, =2knmsen=1,5,9,...,€ay= — 2kjnn sen=3,7,11,... De (30), temos que b,, = paran = 1; 2,.. . Logo, o resultado é fo = i+ E eos tr — dos Es 4 pros dir ae) fo mi -2 -1 0 1 2 > t Fig. 10.5 Ex. 1, Exemplo 2. Retificador de Meia Onda + Uma tensão senoidal E sen «ot atravessa um retificador de mcia onda que absorve a porção nega- tiva da onda (Fig. 10.6). Desenvolver a função periódica resultante (0) quando —-T/2<1<0, u(t) = T=-—. Esenowt quando O<1 ben = (f ímpar) noi 
