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Matriz Triangular
Uma matriz quadrada A = ( a (^) ij )F 0 B 4 n n é dita triangular quando a (^) ij = 0 se i > j ou a (^) ij = 0 se i < j.
EXEMPLOS:
Em outras palavras, podemos dizer que uma matriz quadrada de ordem n > 1 é triangular se, e somente se os elementos posicionados acima ou abaixo da diagonal principal são nulos.
Propriedade
O determinante de uma matriz triangular A é igual ao produto dos elementos da diagonal principal de A.
EXEMPLOS:
A =
det A = 1F 0 B 4 3 F 0 B 4F 0 2 D 3
B =
det B = 3F 0 B 42 = 6
Propriedade (Teorema de Jacobi)
Adicionando a uma fila de uma matriz quadrada A = ( a (^) ij ) n F 0 B 4 n , uma outra fila paralela previamente multiplicada por uma constante, obtemos uma nova matriz A ' tal que det A ' = det A.
EXEMPLO:
Dada a matriz A = , vamos escrever o seu determinante usando a propriedade acima para facilitar os cálculos.
Como na 2ª linha temos dois zeros, vamos aplicar o Teorema de Laplace: det A = a F 0 D 7 21 A 21 + a F 0 D 7 22 A (^) 22 + a F 0 D 7 23 A 23 = 2F 0 D 7F 0 2 D( 1) 2 + 3F 0 D 7= (F 0 2 D2)(1F 0 2 D6) =F 0 2 D2(F 0 2 D5) = 10
Observação: A vantagem dessa propriedade é que podemos introduzir zeros numa linha qualquer de uma matriz, sem alterar o seu determinante. com isso, podemos facilitar os cálculos para aplicar o Teorema de Laplace, ou então, podemos transformar a matriz dada numa matriz triangular cujo determinante é igual ao produto dos elementos da diagonal principal.
EXEMPLO:
Calcule o determinante da matriz A = 1º modo:
Inicialmente, vamos colocar zeros na 1ª coluna para aplicar o Teorema de Laplace:
det A' = a F 0 D 7 (^) 11 A 11 = 1F 0 B 4F 0 2 D( 1) 1 + 1F 0 D 7 Usando Sarrus, temos
det A' F 0 3 DF 0 2 D33 + 18F 0 3 DF 0 2 D 5
2º modo
Vamos transformar a matriz A dada numa matriz triangular A ' tal que det A ' = det A.
Assim. det A ' = 1F 0 D 7 1 F 0 D 7 1 F 0 D 7F 0 2 D( 15) =F 0 2 D 15
EXEMPLO:
Calcule o determinante da matriz A =. Temos um determinante de Vandermonde (2, 6, 10).
det A = (6F 0 2 D2)(10F 0 2 D2)(10F 0 2 D6) = 4F 0 B 4 8 F 0 B 44 = 128
Cálculo da matriz inversa
por meio de determinantes
1. Matriz dos Cofatores
Seja A uma matriz quadrada de ordem n. Chama-se matriz dos cofatores de A , e indicamos por A ', a matriz que se obtém de A substituindo cada elemento de A pelo seu respectivo cofator. Assim, se A = então A ' =.
EXEMPLO:
, pois: A (^) 11 F 0 3 DF 0 2 D( 1) 1 + 1F 0 D 7F 0 3 D 3 A 12 F 0 3 DF 0 2 D( 1) 1 + 2F 0 D 7F 0 3 D 1 A (^) 13 F 0 3 DF 0 2 D( 1)1 + 3F 0 D 7F 0 3 DF 0 2 D 6 A (^) 21 F 0 3 DF 0 2 D( 1) 2 + 1F 0 D 7F 0 3 DF 0 2 D 2 A 22 F 0 3 DF 0 3 DF 0 2 D 1 A (^) 23 F 0 3 DF 0 2 DF 0 3 D 4 A (^) 31 F 0 3 DF 0 3 DF 0 2 D 1 A 32 F 0 3 DF 0 2 DF 0 3 D 0 A (^) 33 F 0 3 DF 0 3 D 1
2. Matriz Adjunta
Sendo A uma matriz quadrada de ordem n F 0 B 32 e A ' a matriz dos cofatores de A , chama-se matriz adjunta de A a matriz tal que = ( A ') t^. No exemplo anterior vimos que A =, A ' = Temos então =.
Teorema :
Se A é uma matriz quadrada de ordem n e det A F 0 B 90, então a inversa de A é: F 0 2 D A^1 =F 0 D 7.
EXEMPLO:
Determine a inversa da matriz A =. Resolução:
det A F 0 3 DF 0 2 D 6 F 0 2 D2 + 3 + 4F 0 3 DF 0 2 D 1
Assim:
F 0 2 D A (^1) =F 0 2 DF 0 D 7=
