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Operações com Matrizes
Igualdade de Matrizes Duas matrizes A e B de mesma ordem mxn são iguais, se, e somente se, todos os elementos que correspondem a B e a A sejam iguais. Ou seja, A = B ⇔ aij = bij. Ex.: Determine x e y para que as matrizes A e B sejam iguais. Adição de Matrizes Para fazer a adição de duas matrizes, devemos somar todos os elementos correspondentes de uma matriz com a outra, ou seja, somar linha com linha e coluna com coluna. As matrizes devem ter a mesma ordem. Exemplo: Dada as matrizes A e B determine A+B. Propriedades da adição Sendo A, B, C e N(matriz nula) matrizes de mesmo tipo e p, q ∈ R, valem as propriedades:
- Comutativa: A + B = B + A - Associativa: A + (B + C) = (A + B) + C - Elemento neutro: A + N = N + A = A - (A + B)t = At + Bt
Subtração de Matrizes Para fazer a subtração de duas matrizes, devemos subtrair todos os elementos correspondentes de uma matriz com a outra. As matrizes devem ter a mesma ordem. Ex.: Sejam as matrizes A e B: Para obter a matriz C = A – B, realiza-se os seguintes cálculos: C = A – B = A + (-B) Multiplicação de um número real por uma Matriz Uma matriz multiplicada por um número qualquer resulta em uma nova matriz com todos os seus elementos multiplicados por este número. Propriedades Considerando A e B matrizes de mesma ordem e a e b números reais, caso as operações a seguir sejam possíveis, então temos que: 1.A = A (–1).A = –A a.0mxn = 0mxn 0.Amxn = 0mxn a.(b. Amxn) = (a. b). Amxn a.(A + B) = a. A + a. B
(A • B) • C = A • (B • C) (associativa) (A + B) • C = A • C + B • C (distributiva) A • B ≠ B • A (não comutativa) na maioria das vezes Para efetuar a multiplicação entre as matrizes A e B, devemos multiplicar cada uma das linhas da primeira matriz por todas as colunas da segunda, da seguinte maneira: o primeiro elemento de A é multiplicado pelo primeiro elemento de B e, em seguida, somado ao segundo elemento de A multiplicado pelo segundo elemento de B, e assim sucessivamente. Ex.3 : Considerem as matrizes A e B , então B x A é:
Matriz Inversa
A matriz inversa ou matriz invertível é um tipo de matriz quadrada , ou seja, que possui o mesmo número de linhas e colunas. Ela ocorre quando o produto de duas matrizes resulta numa matriz identidade de mesma ordem (mesmo número de linhas e colunas). Assim, para encontrar a inversa de uma matriz, utiliza-se a multiplicação. A • B = B • A = In (quando a matriz B é inversa da matriz A) Propriedades da Matriz Inversa Existe somente uma inversa para cada matriz; Nem todas as matrizes possuem uma matriz inversa. Ela é invertível somente quando os produtos de matrizes quadradas resultam numa matriz identidade (In); A matriz inversa da inversa corresponde à própria matriz: A=(A-1)-1 ; A matriz inversa de uma matriz identidade é igual à matriz identidade: I-1^ = I ; Se o determinante de uma matriz for igual a zero, essa matriz não possui inversa.
Como Calcular a Matriz Inversa?
Ex.1: Encontre a inversa da matriz abaixo de ordem 3.
