Baixe Matrizes e Determinantes: Conceitos, Propriedades e Aplicações e outras Resumos em PDF para Matemática, somente na Docsity!
Material Básico de Estudo
Matrizes e Determinantes
Fractal “Rio Pantanoso”
“Eu nunca ensino aos meus alunos, apenas tento dar condições nas quais eles possam aprender”.
(Albert Einstein)
Estudante: ____________________________________________________
Turma: _________________________________ Semestre: ___________
Material elaborado pelo Prof. Júlio César Tomio*
***** Professor do Instituto Federal de Santa Catarina [IFSC] – Campus Joinville.
MENSAGEM PARA O ESTUDANTE!
Com satisfação, apresento este material que tem como finalidade dar suporte à Unidade Curricular de Matemática III que se
estende durante o 3º Módulo do seu Curso Técnico Integrado ao Ensino Médio, e, consequentemente, auxiliar em futuras
aplicações nas disciplinas subsequentes que necessitarão dos conhecimentos e conceitos aqui trabalhados e desenvolvidos. A
concepção deste, baseada na experiência de alguns anos de docência, também objetiva otimizar o processo de estudo,
principalmente no ambiente de sala de aula.
Esta obra almeja mediar com excelência o processo de ensino-aprendizagem das Matrizes e Determinantes. Para tanto,
contribuições em forma de crítica, sugestões ou correções serão calorosamente recebidas. Ficarei imensamente agradecido
caso você queira fazer parte do processo de aprimoramento deste material.
A realização de um Curso Técnico é um fato que pode fazer muita diferença na sua vida pessoal e profissional. Dedique-se!
Faça tudo da melhor maneira que puder, pois desta forma você estará justificando um dos maiores (e também um dos
melhores) investimentos que você já fez em você mesmo.
Desejo que a sua vivência no ambiente escolar seja a melhor possível e que a passagem por mais esta etapa de sua vida
contribua para o seu engrandecimento pessoal e futuramente profissional. Acredito que isso possibilitará uma melhora
significativa na sua qualidade de vida e também na daqueles que convivem próximos de você.
Muita garra, e sucesso!
Professor Júlio César Tomio.
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
Este material foi produzido utilizando como base, parte da bibliografia indicada abaixo e também através de contribuições
minhas e de alguns colegas professores, com os quais tive o prazer de trabalhar.
Normalmente, as Referências Bibliográficas aparecem nas últimas páginas de um livro. Apresento estas referências aqui,
objetivando sempre lembrá-lo que a busca por outras fontes de informação é um fator de grande importância em qualquer
estudo que se queira realizar. Experimente! Vá até a biblioteca e faça uma consulta.
ANTON, Howard; RORRES, Chris. Álgebra Linear com aplicações. 8 ed. Porto Alegre: Bookman, 2001.
BOLDRINI, José Luiz, et al. Álgebra Linear. 3. ed. São Paulo, Harbra, 1986.
GIOVANNI, José Ruy; BONJORNO, José Roberto. Matemática: uma nova abordagem. v.2. São Paulo: FTD, 2000.
KOLMAN, Bernard; HILL, David R. Introdução à Álgebra Linear: com aplicações. 8 ed. Rio de Janeiro: LTC, 2006.
LEON, S. J. Álgebra Linear com aplicações. 4. ed. Rio de Janeiro: LTC, 1999.
MACHADO, Antônio dos Santos. Sistemas Lineares e Combinatória. São Paulo: Atual, 1986.
PAIVA, Manoel Rodrigues. Matemática. v.2. São Paulo: Moderna, 1995.
POOLE, David. Álgebra Linear. São Paulo: Thomson, 2004.
STEINBRUCH, A.; WINTERLE, Paulo. Álgebra Linear. 2. ed. São Paulo: McGraw-Hill, 1987.
STEINBRUCH, A.; WINTERLE, Paulo. Introdução à álgebra linear. São Paulo: McGraw-Hill, 1990.
Não tenha medo de crescer lentamente. Apenas tenha medo de ficar parado. (Provérbio chinês)
ESTUDO DAS MATRIZES E DETERMINANTES
Nós [Halmos e Kaplansky] compartilhamos uma filosofia sobre álgebra linear: pensamos em base-livre, escrevemos em base-livre, mas, quando as dificuldades surgem, fechamos a porta de nossos escritórios e calculamos com matrizes ferozmente.
Irving Kaplansky emPaul Halmos: Celebrating 50 years of mathematics. J.H. Ewing e F. W. Gehring, Eds. Springer-Verlag, 1991, p.
MATRIZES
De maneira simples podemos dizer que matrizes são tabelas retangulares de valores, organizadas em linhas e colunas. Estes
valores podem representar quantidades específicas, variáveis, equações e até dados nominais. A magnitude de aplicações do
conceito e operações de matrizes em diversas áreas do conhecimento (principalmente tecnológico) faz com que o seu estudo
seja imprescindível.
Noção
A tabela abaixo mostra o número de usuários (funcionários) conectados a uma rede (intranet) de várias empresas de um
mesmo grupo multinacional, que possuem senha de acesso a um programa do sistema.
Sistema Manufatura Sistema de Rec. Humanos Sistema de Logística Unidade 1 1 8 7 Unidade 2 4 0 10 Unidade 3 7 12 16 Unidade Sede 15 39 21
A representação destes dados numéricos (e outros associados a estes) pode ser feita através de matrizes. Veja abaixo:
Matriz representante do “número de usuários por sistema”:
15 39 21
7 12 16
4 0 10
1 8 7
Matriz representante do “número total de usuários por sistema”: 27 59 54
Matriz representante do “número de usuários do sistema de manufatura”:
15
7
4
1
Histórico - O pai do nome matriz
Foi só há pouco mais de 150 anos que as matrizes tiveram sua importância detectada e saíram da sombra dos determinantes. O primeiro a lhes dar um nome parece ter sido Augustin-Louis Cauchy , 1826: tableau (= tabela). O nome matriz só veio com James Joseph Sylvester , 1850 (figura ao lado). Seu amigo Arthur Cayley , com sua famosa Memoir on the Theory of Matrices, 1858, divulgou esse nome e iniciou a demonstrar sua utilidade.
Por que Sylvester deu o nome matriz às matrizes?
Usou o significado coloquial da palavra matriz, qual seja:local onde algo se gera ou cria. Com efeito, via-as como ”... um bloco retangular de termos... o que não representa um determinante, mas é como se fosse uma MATRIZ a partir da qual podemos formar vários sistemas de determinantes, ao fixar um número p e escolher à vontade p linhas e p colunas...” (artigo publicado na Philosophical Magazine de 1850, p.363-370).
Observe que Sylvester ainda via as matrizes como mero ingrediente dos determinantes (que veremos adiante). É só com
Cayley que elas passam a ter vida própria e gradativamente começam a suplantar os determinantes em importância.
Histórico retirado de http://www.mat.ufrgs.br/~portosil/passa3b.html em 24/07/
Definição
Matrizes são tabelas retangulares (com linhas e colunas) utilizadas para organizar dados numéricos. Veja abaixo a
representação genérica de uma matriz:
m linha
linha
linha
linha
m m m mn
n
n
n
a a a a
a a a a
a a a a
a a a a
1 2 3
31 32 33 3
21 22 23 2
11 12 13 1
1 ª coluna 2 ª coluna n ª coluna
Representação
Podemos escrever uma matriz utilizando as seguintes representações:
2
3
M ou
2
3
M ou 7 1
2
3
M em desuso.
Ordem
A ordem de uma matriz indica o seu “formato” ou “tamanho”, através do número de linhas e colunas. Veja os exemplos:
5
6
3 A A é uma matriz 2 x 3
B 5 0 417 12 B é uma matriz 1 x 4 (Matriz Linha)
C C é uma matriz 3 x 1 (Matriz Coluna)
Matriz Nula (ou Matriz Zero)
Uma matriz é dita “nula”, quando todos os seus elementos são nulos (zero). Simbolicamente: 0 = (aij)mxn tal que aij = 0.
Exemplo:
2x 0 0 0 0
0 0 0 0 N
Matriz Quadrada
Uma matriz é dita quadrada, quando o número de linhas (m) é igual ao número de colunas (n), ou seja, m = n.
Exemplos:
22
x
A
A é uma matriz 2x2, ou seja, é uma matriz quadrada de ordem 2.
(^233)
11
13
ln 8 2
x
B
B é uma matriz quadrada de ordem 3.
Para refletir: É costume de um tolo, quando erra, queixar-se dos outros. [Sócrates]
Cada elemento “a” da matriz é indicado por dois índices:
indica coluna
indicalinha sendoque j
i aij
Podemos escrever a matriz “A” de forma abreviada:
A = (aij)mxn
Sendo A, uma matriz de “m” linhas com “n” colunas.
Matriz Simétrica
Uma matriz quadrada A, de ordem “n” denomina-se simétrica quando A = A t .
Exemplo:
A matriz
33 1 5
0 1
7 0 33
A é SIMÉTRICA, pois
33 1 5
0 1
7 0 33
t A.
Observe a posição de simetria dos elementos em relação à diagonal principal.
Matriz Antissimétrica
Uma matriz quadrada A = [aij] denomina-se antissimétrica quando A t = – A.
Exemplo:
A matriz
A é ANTISSIMÉTRICA, pois
t A.
Observe a posição de “antissimetria” dos elementos em relação à diagonal principal.
Matriz Triangular Superior e Inferior
Uma matriz quadrada A = [aij] em que os elementos aij = 0 para i > j denomina-se matriz triangular superior.
Exemplos:
A
B I 14
Uma matriz quadrada A = [aij] em que os elementos aij = 0 para i < j denomina-se matriz triangular inferior.
Exemplos:
A
B I 14
Igualdade de Matrizes
Duas matrizes são iguais quando forem de mesma ordem e seus elementos correspondentes (mesmo índice) forem iguais.
Formalmente, se temos duas matrizes A = (aij)mxn e B = (bij)mxn, A = B aij = bij com 1 i m e 1 j n.
Exemplo:
0
4
x y
e
x z
=
5
4
e
As duas matrizes serão iguais quando:
x 3 10 x 7
z
z
x y y y
Adição e Subtração de Matrizes
Para adicionarmos (ou subtrairmos) duas matrizes A e B, de mesma ordem, basta adicionar (ou subtrair) os elementos
correspondentes, ou seja, de mesmo índice.
Exemplos:
Adição:
3
20 3
Subtração:
p q 3 7 p q
Observe que, se uma matriz C é resultante da subtração de duas matrizes A e B, podemos escrevê-la também como uma
adição de matrizes. Veja:
C = A – B C = A + (– B)
↳ (^) Matriz Oposta de B
Multiplicação de um número real por uma Matriz
Para realizar tal operação, basta multiplicarmos o número real por todos os elementos da matriz em questão.
Exemplo:
Dada a matriz
2 1 1
3 5 17
0 4
A , determine a matriz 2A. Então:
2 1
6 5 34
0 8
1
3 5 17
0 4
2A 2.
2
1
Note que: A A2A.
Observação: Se A é uma matriz e n é um escalar (número real), então a matriz nA é chamada “múltiplo escalar de A”.
EXEMPLOS – Matrizes
1) [GIOVANNI] Obtenha a matriz B = (bij)3x3 sabendo que sua lei de formação é: bij = 3i – j 2 .
Resolução:
Como a matriz B tem formato 3x3, genericamente, escrevemos:
b b b
b b b
b b b
B
31 32 33
21 22 23
11 12 13
Substituindo os valores encontrados, a matriz em questão é:
8 5 0
5 2 3
2 1 6
B.
2) [GIOVANNI] O diagrama abaixo, representa um esquema de um mapa rodoviário, mostrando as estradas que ligam as
cidades 1, 2, 3 e 4. A matriz A = [aij]4x4 associada a esse mapa é definida da seguinte forma:
0 ,se i joui não temligação diretacom j
1 ,se i estáligadodiretamente a j aij
Sabendo que i e j se referem às cidades do mapa e variam
portanto no conjunto {1, 2, 3, 4}; construa a matriz A.
1
2
3
4
Calculando os elementos da matriz B, através da lei de formação bij = 3i – j 2 dada, temos:
b 11 = 3(1) – (1) 2 = 2 b 12 = 3(1) – (2) 2 = – 1 b 13 = 3(1) – (3) 2 = – 6 b 21 = 3(2) – (1) 2 = 5 b 22 = 3(2) – (2) 2 = 2 b 23 = 3(2) – (3) 2 = – 3 b 31 = 3(3) – (1) 2 = 8 b 32 = 3(3) – (2) 2 = 5 b 33 = 3(3) – (3) 2 = 0
Subtraímos as duas matrizes:
13 4
3 5 3X
Multiplicando a expressão por (1/3):
13/ 3 4/ 3
3/ 3 5/ 3 X
Logo, a matriz procurada é:
13/ 3 4/ 3
1 5/ 3 X
5) [CPTO] Quantas matrizes “X” existem, formadas por números naturais, tais que:
6 10
14 6 X X
t .
Resolução:
Neste caso, temos que considerar “genericamente” a matriz X, tal que:
c d
a b X.
Assim, temos:
6 10
14 6 X X
t
6 10
14 6
b d
a c
c d
a b
6 10
14 6
c b 2d
2a b c Daí, temos que: 2a = 14 e 2d = 10
a = 7 d = 5
E também que:
c b 6
b c 6
Note que as duas equações [do sistema acima] são iguais e que para números naturais teremos apenas 7 possibilidades.
São elas: 0 + 6 = 6
1 + 5 = 6
2 + 4 = 6
3 + 3 = 6
4 + 2 = 6
5 + 1 = 6
6 + 0 = 6
Solução: Assim, existem 7 matrizes “X” que satisfazem a condição dada.
Observação: Apenas para efeito conclusivo, as 7 matrizes “X” são:
6 5
7 0 X 1
5 5
7 1 X (^2)
4 5
7 2 X (^3)
3 5
7 3 X (^4)
2 5
7 4 X 5
1 5
7 5 X (^6)
0 5
7 6 X (^7)
Para refletir: Existe um paralelismo fiel entre o progresso social e a atividade matemática; os países socialmente atrasados são aqueles em que a atividade matemática é nula ou quase nula. [Jacques Chapellon]
EXERCÍCIOS – Matrizes
1) Construa as matrizes, definidas a seguir:
a) A = (aij)1x3 tal que: aij = 2i – j
b) B = (bij) quadrada de ordem 2, tal que: bij = 2i + 3j – 1
c) C = [cij]4x2 tal que: cij =
i j,sei j
i j,se i j
d) H = (hij)3x3 tal que: hij =
i j 1,sei j
2 ,se i j
2
ij
2) Forme a matriz M = [mij] de ordem 3, de modo que mij =
1, sei j
2, sei j
0, sei j
. A matriz M é uma matriz diagonal? Por quê?
3) Monte a matriz V = (vij)2x3 tal que vij = | i – j | , e diga se é possível determinar a soma dos elementos da diagonal
secundária, justificando sua resposta.
4) Dadas as matrizes:
2 1
4 1 A ,
5 0
1 2 B ,
3 6 2
0 7 1 C e
0 2
8 5
9 2
D , determine (se possível):
a) B + 2A
b) A – B
c) 2A + C
d) D – 3C t
e) (A + B) t
5) Sendo
3 1
2 1 A ,
1 0
1 2 B e
2 1
4 1 C , calcule a matriz X de modo que 3(X – A) = 2(B + X) + 6C.
6) [GIOVANNI] Determine os valores de a, b, x e y de modo que:
0 7
3 1
2x y a b
x y 2a b .
7) [GIOVANNI] A matriz
2 1 z
x y z
1 2 3
A admite a transposta
3 y 6 y z
x 2 y 1
1 x 2
A t
. Nestas condições, calcule x, y e z.
8) Determine os valores de a e b para que a matriz
x 121 0
a 1 b
3 8 x
M
3 2 seja simétrica.
9) Determine os valores de m, n, p e q, de modo que
1 5
7 8
q 3q
n n
p p
m 2m .
RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS
1a) 1 0 1 1b)
6 9
4 7 1c)
3 2
2 1
1 4
2 3
1d)
9 8 7
4 3 32
1 8 16 2)
2 2 0
2 0 1
0 1 1
; Não! 3)
1 0 1
0 1 2 ; Não!
4a)
9 2
7 4 4b)
3 1
5 1 4c) Não é possível! 4d)
3 8
29 13
9 11 4e)
3 1
3 7 5)
23 3
28 1
6) x = 1, y = 2, a = 2, b = – 5 7) x = 4, y = 1, z = 5 8) a = 2, b = 11 9 ) m = 5, n = 2, p = 2, q = – 1
10) x = 6, y = 2 11) x = 2, y = 0, z = 1, t = 3 12)
5
3
5
2
0
0 M ,
5
6
5
6
0
3 N 13) x = 4 14 ) zero
15)
12 2 5
5 4 9 X 16) a = b = 2 , x = 1/2 , y = 0 17)
4
1
4 X e
2
5
9 Y
18) b = – 3 , m = – 4 , t = 4 19a) 2ª linha 19b) 107ª coluna 20)
0 1
1 0 X
Multiplicação de Matrizes
Até o momento, estudamos três operações que envolvem matrizes. A adição, a subtração e a multiplicação de um número
real por uma matriz. São operações que envolvem regras relativamente simples.
A multiplicação de matrizes requer uma atenção especial. Vamos introduzir esse conceito através de um exercício intuitivo.
Veja o exemplo a seguir:
Vamos considerar que a pequena empresa MATRISOM fabrica caixas acústicas para grande ambientes, espaços públicos e
shows. A mesma fabrica três modelos de caixas acústicas:
Modelo I: Modelo II: Modelo III:
3 alto-falantes agudos 1 alto-falante agudo 1 alto-falante médio
2 alto-falantes médios 2 alto-falantes médios 3 alto-falantes graves
1 alto-falante grave
A tabela a seguir, que chamaremos de “ C/M ” [ C aixa Acústica por M ês], apresenta os pedidos à empresa MATRISOM
referentes aos meses de Julho e Agosto.
Julho Agosto Caixa Acústica Modelo I 10 0 Caixa Acústica Modelo II 15 20 Caixa Acústica Modelo III 30 40
Assim, monte uma tabela que apresente a quantidade que deverá ser disponibilizada, de cada alto-falante , em cada um
dos meses em questão, para suprir exatamente os pedidos feitos das caixas acústicas.
RESOLUÇÃO:
Inicialmente vamos montar a tabela que relaciona o número de alto-falantes em cada modelo de Caixa Acústica, ou seja, a
tabela que chamaremos de “ A/C ” [ A lto-falante por C aixa Acústica].
Veja:
Agora, adaptando as duas tabelas acima para a forma de matrizes, temos:
Matriz da Tabela A/C:
0 1 3
2 2 1
3 1 0
Matriz da Tabela C/M:
30 40
15 20
10 0
A tabela solicitada poderá ser chamada de “ A/M ” [ A lto-falante por M ês] e é obtida através da multiplicação apresentada
abaixo. Veja com atenção:
A/C C/M A/M A/M A/M
0 1 3
2 2 1
3 1 0
30 40
15 20
10 0
=
0.(10) 1.(15) 3.(30) 0.(0) 1.(20) 3.(40)
2.(10) 2.(15) 1.(30) 2.(0) 2.(20) 1.(40)
3.(10) 1.(15) 0.(30) 3.(0) 1.(20) 0.(40)
=
0 15 90 0 20 120
20 30 30 0 40 40
30 15 0 0 20 0
=
105 140
80 80
45 20
3x3 3x2 3x
É importante ressaltar que: a matriz A/C tem formato 3x3 e a matriz C/M tem formato 3x2 e a matriz produto, que resulta
dessa multiplicação, tem formato 3x2 [As matrizes forma multiplicadas embora tenham formatos diferentes]. Note que, para
que os resultados tenham sentido no problema dado, a multiplicação é feita através das linhas da matriz A/C com as
colunas da matriz C/M.
Logo, a tabela [A/M] solicitada é:
Julho Agosto Alto-falante agudo 45 20 Alto-falante médio 80 80 Alto-falante grave 105 140
Agora, vamos formalizar o conceito da MULTIPLICAÇÃO de matrizes:
O produto de uma matriz por outra NÃO é determinado por meio do produto dos seus respectivos elementos.
O problema apresentado anteriormente é um exemplo de aplicação da multiplicação de matrizes, e nota-se que a
multiplicação ocorreu através das linhas da 1ª matriz com as colunas da 2ª matriz.
A multiplicação de matrizes duas nem sempre será possível. Tal operação dependerá da igualdade do número de colunas da
1ª matriz e do número de linhas da 2ª matriz, na seqüência que serão multiplicadas.
Assim, o produto das matrizes A = [aij] (^) m x p e B = [bij] (^) p x n é a matriz C = [cij] (^) m x n em que cada elemento cij é
obtido por meio da soma dos produtos dos elementos correspondentes da i-ésima linha de A pelos elementos da j-ésima
coluna B.
Formalmente, escrevemos:
Para A = [aij] (^) m x p e B = [bij] (^) p x n teremos (A. B) = C , onde C = [cij] (^) m x n e
p
k 1
cij aik.bkj
Caixa Modelo I Caixa Modelo II Caixa Modelo III Alto-falante agudo 3 1 0 Alto-falante médio 2 2 1 Alto-falante grave 0 1 3
Formalmente, teremos:
Sejam as matrizes A = [aij]m x n e B = [bij]n x p.
Então, a matriz C = A x B é dada por:
Da definição, temos que a matriz produto (A. B) só existe se o número de colunas de A for igual ao número de linhas de B :
Am (^) xp. Bpxn Cmxn
A matriz produto C terá o número de linhas de A (m) e o número de colunas de B (n) :
Se A 3 x 2 e B 2 x 5 , então ( A.B )3 x 5
Se A 4 x 1 e B 2 x 3, então NÃO existe o produto!
Se A 4 x 2 e B 2 x 1, então ( A.B )4 x 1
Exemplo 3: Dadas as matrizes
1 1 2
0 2 0
1 3 1
A e
13
4
2
B , determine a matriz X na equação A. X B.
Resolução: Observe que, para que exista o produto em questão, a Matriz X , tem que ter a ordem 3 x 1. Veja:
A X B
13
4
2
1 1 2
0 2 0
1 3 1
c
b
a
13
4
2
2
2
3
a b c
b
a b c
13
4
2
2
2
3
a b c
b
a b c
Como b 2 , temos:
13
2
( 2 ) 2
3 ( 2 )
a c
a c
2 11
8
a c
a c Resolvendo, teremos: a 5 e c 3. Solução:
3
2
5
X
n
j
mj jp
n
j
mj j
n
j
mj j
n
j
j jp
n
j
j j
n
j
j j
n
j
j jp
n
j
j j
n
j
j j
mp
a b a b a b
a b a b a b
a b a b a b
C A B
1 1
2 1
1
1
2 1
2 2 1
2 1
1
1 1
1 2 1
1 1
=
Propriedades da Multiplicação de Matrizes:
Verificadas as condições de existência para a multiplicação de matrizes, valem as seguintes propriedades:
I) Associativa: (A.B).C = A.(B.C)
II) Distributiva em relação à adição: A.(B + C) = A.B + A.C ou (A + B).C = A.C + B.C
III) Elemento neutro: A.In = Im.A = A, sendo In e Im as matrizes identidade de ordem n e m respectivamente.
IV) uA. vB = (uv).(A.B) com u ℝ e v ℝ
Para você estudante!
Faça um teste com a propriedade III da multiplicação de matrizes [acima], utilizando as matrizes
3 4
1 2 A e
0 1
1 0 I 2.
Observação:
Vimos que a propriedade comutativa geralmente não vale para a multiplicação de matrizes.
Não vale também o anulamento do produto , ou seja, sendo Om x n uma matriz nula,
se A.B = Om x n não implica, necessariamente , que A = Om x n ou B = Om x n.
Tópico Especial: Potências de uma Matriz
Quando A e B forem duas matrizes n n , o produto delas também será uma matriz n n. Um caso especial ocorre
quando A B. Faz sentido definir A A. A
2 e, em geral, definir
k A como:
k fatores
k A A. A.. A sendo k um inteiro positivo.
Assim, A A
1 , e é conveniente definir A In
0 (pense a respeito!).
Antes de fazer outras suposições, precisamos nos perguntar com que extensão as potências de matrizes se comportam como
as potências de números reais. As propriedades a seguir originam-se imediatamente das definições de acabamos de
observar.
Se A é uma matriz quadrada e r e s são inteiros não negativos , então:
i)
r s rs A A A
. ii)
r s rs A A
. ( )
Matriz Inversa
Conceito:
Dada uma matriz A , quadrada, de ordem n , se existir uma matriz A' , de mesma ordem, tal que A.A' = A'.A = In , então A' é
matriz inversa de A. Representamos a matriz inversa de A por A
- .
Condição de existência da matriz inversa:
Nem toda matriz tem inversa. Para uma matriz A ser inversível (ou invertível) será necessário que seu determinante seja
diferente de zero, ou seja, det(A) 0 [estudaremos “determinantes” logo a seguir].
Obtenção da matriz inversa:
Existem alguns métodos para a obtenção de uma matriz inversa, entretanto, neste momento, estudaremos apenas um
deles. O método proposto neste momento consiste em APLICAR A DEFINIÇÃO.
Veja:
Dada uma matriz A , fazemos: A A In
1
. para encontrarmos então a matriz
1 A.
Tópico Especial: Matriz Ortogonal
Uma matriz M , quadrada, cuja inversa coincide com sua transposta é denominada matriz ortogonal. Assim sendo, uma
matriz M é ortogonal se:
t M M
1 , ou seja, M M M M I t t
. . .
Exemplo:
A matriz
(^) M é ortogonal. Verifique!
Tópico Avançado: Pseudo-inversa de uma Matriz
Definição:
Se A é uma matriz com colunas linearmente independentes (veremos isso mais adiante), a pseudo-inversa de A é a
matriz
A , definida por: t t A ( A. A ). A 1
Note que, se A é m n , então
A é n m.
Observação: Existem situações específicas que se precisa encontrar a inversa de uma matriz, mas isso não é possível.
Neste caso utilizamos a pseudo-inversa que seria uma “aproximação” da matriz inversa procurada.
Interessou? Pesquise e procure saber mais!
Para refletir: A vida é um eco. Se você não está gostando do que está recebendo, observe o que está emitindo. (Lair Ribeiro)
EXERCÍCIOS – Multiplicação de Matrizes e Matriz Inversa
1) [GIOVANNI] Dadas as matrizes
A e
B , determine a matriz A. B
2) [GIOVANNI] Efetue a multiplicação das matrizes:
3) Calcule a matriz produto A. B para cada caso a seguir:
a) 0 3 2
1
2
3
A e B b)
0 3
2 1
1 4
5 2 A e B
c)
0 7
8 1
5
4 A e B d)
2 1 2
1 2 2
2 2 1
0 1 1
1 1 0
1 0 0
A e B
4) Dadas as matrizes
3 4
1 1
2 0
M e
0 1 0
1 2 3 A , calcule( M A ).( M A ) t t .
5) Dada a matriz
0 0 1
1 0 0
2 1 0
T , calcule
2 T. [Lembre-se que em matrizes: T T. T 2 ]
6) Determine a matriz B. S , sabendo que
1 2
3 5 B e
4 0
2 1
1 6
S.
7) Dadas
(^) A e
(^) B , calcule (^) A. B e (^) B. A , e mostre que (^) A. B B. A.
8) Sendo
a
a b A 1 1
e
B determine a e b para que
t A B.
9) Considere a matriz identidade de ordem 2, dada por
I 2 e uma matriz quadrada (^) A qualquer, de ordem 2.
Qual é a matriz produto de 2 A. I? E qual é a matriz produto de I. A 2 ?
10) Calcule os valores de a e b para que as matrizes
e
a b comutem na multiplicação.
11) [GIOVANNI] Sendo
A e
B , calcule a matriz X , tal que A. X B.
12) Resolva a equação:
11
8
3
.
1 3 2
2 1 0
1 0 0
X.
13) [UFJF / MG] Considere a matriz
b
a A 0
1
. Determine a e b reais, tais que:
0 1
3 2 2
2 A A.
14) Dadas as matrizes
a
a A 0
e
b
b B , determine a e b , de modo que A. B I , onde I é a matriz
identidade.
15) Determine a matriz inversa de
1 0
3 4 A.
16) Sendo
1 1
4 3 M , determine
1 M.
17) Calcule
1 B sabendo que
1 2 0
1 3 1
1 0 0
B.
18) Qual a inversa da matriz
3 0
1 0 N?
Existem vários métodos para se encontrar uma matriz inversa, como, por exemplo, o método do escalonamento. Pesquise! Alguns métodos se adaptam melhor em situações específicas.
