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Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica - 2019
Exerc´ıcios 6 — matriz inversa
1) Para cada uma das matrizes abaixo:
(a) decida se a matriz tem uma matriz inversa;
(b) calcule a matriz dos cofatores e a matriz adjunta da matriz;
(c) calcule a inversa da matriz, se existir;
(d) verifique se a inversa que calculou em (c) est´a correta multiplicando pela matriz.
A=1−1
2 2 B=−1 1
0−3C=
1 2 3
−102
0 0 1
D=
2a0
−1 5 −2
2 2 −1
F=
1−1 0
2 0 2
√200
G=
0−1 1
0 0 −3
a0 0
H=
1 2 3 0
−1 0 2 0
0 0 1 0
0 0 0 1
J=
122
3−1−1
2−5−5
K=
1 2 2 2
3−1−1 6
2−5−5 4
4−1−1 8
L=
0 1 −1 2
2−1 0 −4
0 1 −2 3
3−2 1 −1
M=
1 1 4 −3
2−1 1 4
3 0 5 1
4 1 9 −2
N=
1 0 6
2 0 2
7 0 √3
P=
−1 1 −3
0−3 0
5 9 15
Q=
001
011
111
R=
2 0 0 0
−1 5 0 0
2 2 −1 0
1√223
2) Escreva a forma expl´ıcita da inversa de uma matriz a b
c d.
3) Encontre a inversa de 1 0
a1e, para b6= 0 6=c, de b0
0c.
4) Se a(t), b(t), c(t) e d(t) forem fun¸c˜oes podemos formar a matriz a(t)b(t)
c(t)d(t)como para
n´umeros. Calcule o determinante das matrizes abaixo, e se for poss´ıvel, calcule a sua inversa:
R=sen t−cos t
cos tsen tP=t+ 1 t−1
t2t+ 5Q=2t+ 4 −t
−t−2t
5) Sejam f(t) e g(t) duas fun¸c˜oes que tenham derivadas de todas as ordens e seja ϕ(t) a fun¸c˜ao
dada por
ϕ(t) = det f(t)g(t)
f0(t)g0(t)
Mostre que
ϕ0(t) = det f(t)g(t)
f00(t)g00(t)
6) Seja Auma matriz 2 ×2 tal que A2= 0. Mostre que det(kI −A) = k2para qualquer n´umero
k.
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