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M·ximos e mÌnimos
IntroduÁ„o Problemas de m·ximos e mÌnimos est„o pre-
sentes em quase todas as atividades do mundo moderno. Por exemplo, vocÍ pode imaginar como um carteiro distribui a correspondÍncia? Qual seria seu itiner·rio para que o tempo de distribuiÁ„o fosse o menor possÌvel? Uma variaÁ„o desse problema È o trajeto do Ùnibus escolar. Ele deve passar na casa de cada crianÁa para lev·-las ‡ escola. Conhecendo os endereÁos, È preciso planejar o percurso para fazer o serviÁo no menor tempo possÌvel. Em qualquer empresa, grande ou pequena, ouvimos falar em encontrar a receita m·xima, reduzir o desperdÌcio ao mÌnimo entre outras coisas. Na pr·tica, os problemas de m · x i m o s e m Ì n i m o s s„o, freq¸entemente, complexos, porque envolvem muitas vari·veis. Entretanto, existem tambÈm aqueles que se resolvem por uma simples funÁ„o do 2∫ grau. Vamos mostrar alguns desses problemas. Sugerimos que vocÍ releia com atenÁ„o a Aula 31, para compreender bem as nossas soluÁıes.
PROBLEMA 1
Os tÈcnicos de uma f·brica de automÛveis fizeram diversos testes com um de seus carros populares para examinar o consumo de gasolina. O carro percorria 100 km em uma estrada plana, com velocidade constante. O percurso foi feito muitas vezes e, a cada vez, usou-se uma velocidade diferente. No final de cada viagem, os tÈcnicos verificaram a quantidade de combustÌvel gasta e observaram que o consumo n„o se mantinha o mesmo, pois era funÁ„o da velocidade. A conclus„o foi a seguinte: para velocidade entre 40 e 120 km/h, o consumo desse carro È dado por:
y = 0,005 x ² - ---- 0,6 x + 26
onde x È a velocidade em quilÙmetros por hora e y È o n˙mero de litros de gasolina gastos para percorrer 100 km.
Em que velocidade devemos andar com esse carro, para gastar o m Ì n i m o de comb˙stivel?
Nossa aula
32
Este È um problema interessante. Muita gente acha que andar bem A U L A devagar economiza combustÌvel. N„o È verdade! … certo que andar muito r·pido faz com que o consumo seja alto, mas cada carro possui uma velocidade em que o consumo È o menor possÌvel.
SoluÁ„o: A funÁ„o que os tÈcnicos encontraram È do tipo y = ax ² + bx + c. Como o coeficiente a È positivo, sabemos que existe um valor mÌnimo dessa funÁ„o. Seu gr·fico È uma par·bola com a concavidade voltada para cima:
O ponto mais baixo do gr·fico È o v È r t i c e (v) da par·bola e o n˙mero x (^) v È a velocidade que faz com que o consumo seja o menor possÌvel. Na Aula 31 aprendemos a calcular a abscissa do vÈrtice da par·bola. Observe:
x (^) v = -
b 2a
2 ×0, 005
Logo, a velocidade que d· o mÌnimo consumo È de 60 km/h para gastar a menor quantidade possÌvel de gasolina. Se, entretanto, desejarmos saber qual o gasto mÌnimo de combustÌvel para percorrer os 100 km, basta substituir o x da funÁ„o por 60. Teremos ent„o:
y = 0,005. 60² - 0,6. 60 + 26 = 18 - 36 + 26 = 8
Portanto, andando a 60 km/h, gastaremos apenas 8 litros de gasolina para percorrer os 100 km.
PROBLEMA 2
Com 80 m de corda, um fazendeiro deseja cercar uma ·rea retangular junto a um rio para confinar alguns animais.
40 120
V
y (consumo)
x (^) v x (velocidade)
rio
‡rea cercada
corda
corda corda
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Estamos diante de uma funÁ„o do 2∫ grau, que relaciona o lado x do A U L A ret‚ngulo com a ·rea y. O gr·fico tem a seguinte forma:
O ponto mais alto do gr·fico È o vÈrtice v da par·bola; sua abscissa x (^) v È o valor do lado do ret‚ngulo que faz com que sua ·rea seja m·xima. Calculamos, ent„o, essa abscissa da mesma forma que no problema anterior:
x (^) v = -
b 2a
2 α φ- 2
Portanto, se fizermos a largura do ret‚ngulo igual a 20 m, teremos a certeza de que a ·rea cercada ser· a maior possÌvel. Veja como ele ficou:
A ·rea, neste caso, ser· de 20 x 40 = 800 m≤; maior, como se pode ver, que as ·reas dos ret‚ngulos que apareceram nos dois exemplos iniciais.
ExercÌcio 1 Usando a funÁ„o do Problema 1 da nossa aula, calcule: a) O consumo de combustÌvel a 50 km/h; b) O consumo de combustÌvel a 90 km/h; c) Em que velocidade, maior que 60 km/h, o carro andou se gastou 10 litros para percorrer os 100 km?
ExercÌcio 2 Qual È o valor mÌnimo da funÁ„o y = x² - 6x + 13?
ExercÌcio 3 Qual È o valor m·ximo da funÁ„o y = - 3x² + 12x + 5? Sugest„o (para os ExercÌcios 2 e 3): Calcule a abscissa do vÈrtice pela fÛrmula xv = -^ 2ab e substitua esse valor encontrado no x da funÁ„o.
V
y (‡rea)
x (^) v x (lado do ret‰ngulo)
ExercÌcios
20 20
40
rio
32
A U L A ExercÌcio 4 Desejamos construir um edifÌcio de base retangular no interior de um terreno triangular, como mostra a figura:
Determine as medidas do ret‚ngulo de maior ·rea possÌvel que caiba dentro de um tri‚ngulo ret‚ngulo de catetos 30 m e 40 m. Sugest„o: Seja x uma das medidas do ret‚ngulo e y sua ·rea. Vamos calcular y em funÁ„o de x (fig. A):
Os dois tri‚ngulos da figura B s„o semelhantes. Relacione seus elementos e calcule o segmento a em funÁ„o de x. A ·rea do ret‚ngulo È y = x ∑ a. Substituindo a pela express„o encontrada, obtÈm-se uma funÁ„o do 2∫ grau. Determine, ent„o, para que valor de x encontra-se o m·ximo de y.
ExercÌcio 5 Jo„o tem uma pequena f·brica de sorvetes. Ele vende, em mÈdia, 300 caixas de picolÈs por R$ 20,00 cada uma. Entretanto percebeu que, cada vez que diminuÌa R$ 1,00 no preÁo da caixa, vendia 40 caixas a mais. Quanto ele deveria cobrar pela caixa para que sua receita fosse m·xima? Qual o valor m·ximo dessa receita? Sugest„o: Inicialmente ele vendia 300 caixas por R$ 20,00 cada uma. Sua arrecadaÁ„o era 300 ∑ 20 = R$ 6.000,00. Diminuindo R$ 1,00 no preÁo, ele vender· 40 caixas a mais. Nesse segundo caso, sua arrecadaÁ„o ser· 340 ∑ 19 = R$ 6.460,00. Portanto a arrecadaÁ„o aumentou. Complete alguns valores da tabela abaixo.
Imagine agora que ele dÍ um des- conto de x reais em cada caixa. Assim, o preÁo ser· (^20) - ---- x e o n˙mero de caixas vendidas ser· 300 + 40x. Se y È a sua receita, vocÍ deve observar que y È dado por uma funÁ„o do 2∫ grau.
30 m
40 m
30
40 x
a
x
a
30
40 x
40 - a
PRE«O 20 19 18 17
N∫ DE CAIXAS VENDIDAS 300 340
RECEITA
