Mínimos e Máximos de Funções Multivariadas, Notas de estudo de Administração Empresarial

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C´alculo III

Alexandre N. Carvalho, Wagner V. L. Nunes e S´ergio L. Zani

• 1 A F´ormula de Taylor
  • 1.1 F´ormula e polinˆomio de Taylor para fun¸c˜oes de uma vari´avel
  • 1.2 F´ormula e polinˆomio de Taylor para fun¸c˜oes de duas vari´aveis
• 2 M´aximos e m´ınimos
  • 2.1 Defini¸c˜ao e resultados gerais
  • 2.2 Teste do hessiano
  • 2.3 Exemplos
  • 2.4 Extremos de fun¸c˜oes em regi˜oes fechadas e limitadas
• 3 O problema de um v´ınculo
  • 3.1 Introdu¸c˜ao
  • 3.2 Teorema do multiplicador de Lagrange
  • 3.3 Exemplos
• 4 O problema de dois v´ınculos
  • 4.1 Teorema dos multiplicadores de Lagrange
• 5 Transforma¸c˜oes
  • 5.1 Defini¸c˜ao e Propriedades B´asicas
  • 5.2 Exemplos
• 6 Teorema da Fun¸c˜ao Inversa
  • 6.1 Introdu¸c˜ao
  • 6.2 O Teorema da fun¸c˜ao inversa
• 7 Fun¸c˜oes Definidas Implicitamente
  • 7.1 Deriva¸c˜ao de Fun¸c˜oes Definidas Implicitamente
  • 7.2 O Teorema da fun¸c˜ao impl´ıcita (caso F (x, y) = 0).
  • 7.3 O Teorema das fun¸c˜oes impl´ıcitas: Caso Geral
• 8 Integrais M´ultiplas
  • 8.1 Integrais Iteradas
  • 8.2 Integrais M´ultiplas
    • 8.2.1 Regras para estabelecer limites de integra¸c˜ao para integrais iteradas
  • 8.3 Mudan¸ca de Vari´aveis
    • 8.3.1 Coordenadas Polares
    • 8.3.2 Coordenadas Cil´ındricas
    • 8.3.3 Coordenadas Esf´ericas
  • 8.4 Densidade e Centro de Massa
    • 8.4.1 Momento de In´ercia
    • 8.4.2 Momento Angular
    • 8.4.3 Miscelˆanea de Exemplos
    • 8.4.4 Aplica¸c˜oes no Espa¸co R 4 SUM ARIO´
• 9 Apˆendice
  • 9.1 Substitui¸c˜ao e Integra¸c˜ao por Partes (C´alculo I)
• 10 Campos Vetoriais
  • 10.1 Introdu¸c˜ao
  • 10.2 Exemplos
• 11 Integrais de Linha
  • 11.1 Introdu¸c˜ao
  • 11.2 Aplica¸c˜ao
  • 11.3 Integral de linha de um campo vetorial
  • 11.4 Campos conservativos e integrais de linha
• 12 Teorema de Green
  • 12.1 Introdu¸c˜ao
  • 12.2 Aplica¸c˜ao
• 13 Integrais de Superf´ıcie
  • 13.1 Superf´ıcies
  • 13.2 Integral de Superf´ıcie
  • 13.3 Exemplos
• 14 Fluxo
  • 14.1 Defini¸c˜ao e Exemplos
• 15 Os Teoremas de Gauss e Stokes
  • 15.1 O Divergente e o Rotacional
  • 15.2 O Teorema de Gauss
    • 15.2.1 Interpreta¸c˜ao F´ısica do Divergente
  • 15.3 O Teorema de Stokes
    • 15.3.1 Interpreta¸c˜ao F´ısica do Rotacional
  • 15.4 Resumo

Cap´ıtulo 1

A F´ormula de Taylor

1.1 F´ormula e polinˆomio de Taylor para fun¸c˜oes de uma vari´avel

Nesta se¸c˜ao recordaremos a f´ormula de Taylor para fun¸c˜oes de uma vari´avel como vista em C´alculo I.

Teorema 1.1.1 Seja g : [a, b] → R uma fun¸c˜ao de classe Cn−^1 e n vezes diferenci´avel em (a, b). Ent˜ao existe c ∈ (a, b) tal que

g(b) = g(a) + g′(a)(b − a) + · · · +

g(n−1)(a) (n − 1)!

(b − a)n−^1 +

g(n)(c) n!

(b − a)n.

Defini¸c˜ao 1.1.1 Dada uma fun¸c˜ao f : I → R definida num intervalo I e n vezes deriv´avel no ponto a ∈ I, o polinˆomio de Taylor de f em a ´e definido por

pn(x) = f (a) + f ′(a) (x − a) + f ′′(a) 2!

(x − a)^2 + · · · + f (n)(a) n!

(x − a)n.

Observe que nas condi¸c˜oes do teorema (1.1.1) com b = a + h temos a seguinte igualdade

g(a + h) = pn− 1 (a + h) + Rn(h)

onde Rn(h) = f (n)(c)hn/n! satisfaz limh→ 0 Rn(h)/hn−^1 = 0.

1.2 F´ormula e polinˆomio de Taylor para fun¸c˜oes de duas vari´aveis

Sejam A ⊂ R^2 um aberto, Po = (xo, yo) ∈ A e (h, k) tal que (xo, yo) + t(h, k) ∈ A para todo 0 ≤ t ≤ 1. Considere uma fun¸c˜ao f : A → R de classe Cn+1^ e, a partir dela, defina a fun¸c˜ao de uma vari´avel g : [0, 1] → R dada por g(t) = f (xo +th, yo + tk), ou seja, g ´e a composta da fun¸c˜ao ϕ(t) = (xo +th, yo +tk) (qual a imagem de ϕ? ) com f e, portanto, tamb´em ´e uma fun¸c˜ao de classe Cn+1. Podemos assim aplicar o teorema (1.1.1) para g e obter a f´ormula de Taylor correspondente, usando a = 0 e b = 1. Entretanto, estamos interessados em ver o comportamento do polinˆomio de Taylor de g calculado em t = 1. Note que g(0) = f (Po) e fazendo uso da regra da cadeia podemos ver que

g′(0) =

∂f ∂x

(Po)h +

∂f ∂y

(Po)k,

g′′(0) =

∂^2 f ∂x^2

(Po)h^2 + 2

∂^2 f ∂x∂y

(Po)hk +

∂^2 f ∂y^2

(Po)k^2 ,

g′′′(0) =

∂^3 f ∂x^3

(Po)h^3 + 3

∂^3 f ∂x^2 ∂y

(Po)h^2 k + 3

∂^3 f ∂x∂y^2

(Po)hk^2 +

∂^3 f ∂y^3

(Po)k^3 ,

.. .

1.2. F ORMULA E POLIN ´ OMIO DE TAYLOR PARA FUNCˆ ¸ OES DE DUAS VARI ˜ AVEIS´ 7

Exemplo 1.2.1 Encontre o polinˆomio de Taylor p 2 (x, y) da fun¸c˜ao f (x, y) = x sen y em torno de (xo, yo) = (0, 0).

A fun¸c˜ao acima ´e claramente suave, isto ´e, de classe Ck^ para todo k. Precisamos calcular todas as derivadas at´e a segunda ordem. Temos

(x, y) (0, 0) f x sen y 0 ∂f ∂x ∂f sen^ y^0 ∂y x^ cos^ y^0 ∂^2 f ∂x^2 0 ∂^2 f ∂x∂y cos^ y^1 ∂^2 f ∂y^2 −x^ sen^ y^0

Assim, p 2 (x, y) =

(2xy) = xy,

cujo gr´afico representa uma sela. A figura abaixo representa os gr´aficos de f e de p 2 sobre um quadrado centrado na origem de lado trˆes. O gr´afico de f se encontra abaixo do gr´afico de p 2.

Figura 1.1: gr´aficos de f e p 2 pr´oximos `a origem

A figura (1.2) procura mostrar que a aproxima¸c˜ao ´e boa nas proximidades da origem, deixando de possuir utilidade para pontos mais afastados.

Figura 1.2: gr´aficos de f e p 2 numa vis˜ao global

8 CAP´ITULO 1. A F ORMULA DE TAYLOR´

Exemplo 1.2.2 Encontre o polinˆomio de Taylor p 2 (x, y) da fun¸c˜ao f (x, y) = x sen x + y sen y em torno de (xo, yo) = (0, 0).

Como no exemplo acima, a fun¸c˜ao ´e claramente suave. As suas derivadas at´e a segunda ordem s˜ao

(x, y) (0, 0) f x sen x + y sen y 0 ∂f ∂x ∂f sen^ x^ +^ x^ cos^ x^0 ∂y sen^ y^ +^ y^ cos^ y^0 ∂^2 f ∂x^2 2 cos^ x^ −^ x^ sen^ x^2 ∂^2 f ∂x∂y 0 0 ∂^2 f ∂y^2 2 cos^ y^ −^ y^ sen^ y^2

Assim,

p 2 (x, y) =

(2x^2 + 2y^2 ) = x^2 + y^2 ,

cujo gr´afico ´e um parabol´oide. A figura abaixo (1.3) representa o os gr´aficos de f e de p 2 numa vizinhan¸ca da origem.

Figura 1.3: gr´aficos de f e p 2 pr´oximos `a origem

A pr´oxima figura (1.4) procura mostrar que a aproxima¸c˜ao ´e boa nas proximidades da origem, deixando de possuir utilidade para pontos mais afastados.

Vejamos o ´ultimo exemplo

Exemplo 1.2.3 Encontre o polinˆomio de Taylor p 2 (x, y) da fun¸c˜ao f (x, y) = sen (x^4 + y^4 ) em torno da origem.

Como no exemplo acima, a fun¸c˜ao ´e claramente suave. As suas derivadas at´e a segunda ordem s˜ao

10 CAP´ITULO 1. A F ORMULA DE TAYLOR´

Cap´ıtulo 2

M´aximos e m´ınimos

2.1 Defini¸c˜ao e resultados gerais

Defini¸c˜ao 2.1.1 Seja f : A ⊂ Rn^ → R. Dizemos que Po ∈ A ´e um ponto de m´aximo (resp., m´ınimo) de f se f (P ) ≤ f (Po) (resp., f (P ) ≥ f (Po)) para todo P ∈ A.

Defini¸c˜ao 2.1.2 Seja f : A ⊂ Rn^ → R. Dizemos que Po ∈ A ´e um ponto de m´aximo local (resp., m´ınimo local) de f se existir uma bola B centrada em Po tal f (P ) ≤ f (Po) (resp., f (P ) ≥ f (Po)) para todo P ∈ A∩B.

Observa¸c˜ao 2.1.1 As vezes usaremos a denomina¸` c˜ao de m´aximo (m´ınimo) global no caso da defini¸c˜ao (2.1.1) para ressaltar a diferen¸ca entre as duas defini¸c˜oes acima. E comum tamb´´ em empregarmos o termo extremo (local) para designarmos um ponto que ´e de m´aximo ou de m´ınimo (local).

Vejamos alguns exemplos.

Exemplo 2.1.1 Considere a fun¸c˜ao definida em R^2 dada por f (x, y) = x^2 + y^2. Como f (x, y) ≥ 0 e f (0, 0) = 0 ´e claro que (0, 0) ´e ponto de m´ınimo de f. Note que o gr´afico de f representa um parabol´oide com v´ertice na origem e concavidade voltada para cima.

Antes de apresentarmos o pr´oximo exemplo vamos relembrar que o gradiente de uma fun¸c˜ao aponta na dire¸c˜ao de maior crescimento desta. Seja f : A ⊂ Rn^ → R uma fun¸c˜ao diferenci´avel definida num aberto A. Seja ~u um vetor unit´ario de Rn. A derivada direcional de f num ponto Po ∈ A na dire¸c˜ao ~u ´e dada por

∂f ∂~u

(Po) = D~uf (Po) = ∇f (Po) · ~u = ||∇f (Po)|| cos θ,

onde θ ´e o ˆangulo entre ∇f (Po) e ~u. Deste modo, a derivada direcional ser´a m´axima quando cos θ = 1, ou seja, quando θ = 0. Isto nos diz que ~u deve ter a mesma dire¸c˜ao e sentido de ∇f (Po).

Exemplo 2.1.2 Considere o conjunto A = {(x, y) ∈ R^2 ; x ≥ 0 , y ≥ 0 , x + y ≤ 3 e y ≥ x}. Seja f : A → R dada por f (x, y) = 2x − y. Como os valores de f crescem `a medida que se avan¸ca na dire¸c˜ao do vetor 2 ~i − ~j = ∇f, pela ilustra¸c˜ao podemos perceber que o m´ınimo de f ´e atingido no ponto (0, 3) e o seu m´aximo no ponto (3/ 2 , 3 /2). Vamos verificar que isto de fato ocorre. Se (x, y) ∈ A, temos

f (x, y) − f (3/ 2 , 3 /2) = 2x − y − 3 /2 = (x − 3 /2) + (x − y) ≤ 0

pois, como (x, y) ∈ A, temos x + y ≤ 3 e x ≤ y. Somando estas duas desigualdades obtemos 2 x + y ≤ 3 + y que ´e equivalente a x ≤ 3 / 2. Portanto, f (x, y) ≤ f (3/ 2 , 3 /2) para todo (x, y) ∈ A e (3/ 2 , 3 /2) ´e, de fato, ponto de m´aximo de f em A. O valor m´aximo ´e f (3/ 2 , 3 /2) = 3/ 2.

2.2. TESTE DO HESSIANO 13

2.2 Teste do hessiano

O teorema a seguir fornece uma condi¸c˜ao suficiente, sob determinadas condi¸c˜oes, para decidir se um ponto cr´ıtico ´e ponto de m´aximo local, m´ınimo local ou ponto de sela. Apresentaremos o teste para fun¸c˜oes de duas vari´aveis. O caso de fun¸c˜ao de mais de duas vari´aveis ser´a brevemente explicado a seguir (veja o teorema 2.2.2). Antes, por´em, faremos a seguinte defini¸c˜ao.

Defini¸c˜ao 2.2.1 Seja f : A → R uma fun¸c˜ao de classe C^2 definida num aberto A ⊂ Rn. A matriz hessiana de f num ponto P ∈ A ´e definida como

Hess(P ) =

∂^2 f ∂x^21 (P^ )^ · · ·^

∂^2 f ∂x 1 ∂xn (P^ ) .. .

∂^2 f ∂xn∂x 1 (P^ )^ · · ·^

∂^2 f ∂x^2 n^ (P^ )

O determinante da matriz acima ser´a denotado por H(P ) e denominado de o hessiano de f em P.

Note que Hess(P ) ´e uma matriz sim´etrica. No caso n = 2 o hessiano ´e dado por

H(P ) = det

( (^) ∂ (^2) f ∂x^2 (P^ )^

∂^2 f ∂x∂y (P^ ) ∂^2 f ∂y∂x (P^ )^

∂^2 f ∂y^2 (P^ )

∂^2 f ∂x^2

(P )

∂^2 f ∂y^2

(P ) −

∂^2 f ∂x∂y

(P )

Teorema 2.2.1 Seja f : A ⊂ R^2 de classe C^2 definida em um aberto A. Se Po ´e um ponto cr´ıtico de f ent˜ao

1. se ∂

(^2) f ∂x^2 (Po)^ >^0 e^ H(Po)^ >^0 ent˜ao^ Po^ ´e um ponto de m´ınimo local de^ f^ ;

2. se ∂

(^2) f ∂x^2 (Po)^ <^0 e^ H(Po)^ >^0 ent˜ao^ Po^ ´e um ponto de m´aximo local de^ f^ ;

3. se H(Po) < 0 ent˜ao Po ´e um ponto de sela de f ;
4. se H(Po) = 0 n˜ao podemos afirmar nada sobre a natureza do ponto cr´ıtico Po.

Prova

1. Como A ´e aberto e as derivadas parciais at´e segunda ordem s˜ao cont´ınuas, existe uma bola aberta Bo centrada em Po de raio ε > 0 tal que ∂

(^2) f ∂x^2 (x, y)^ >^ 0 e^ H(x, y)^ >^ 0 para todo (x, y)^ ∈^ B.^ Colocando Po = (xo, yo), defina h = x − xo e k = y − yo onde (x, y) ∈ Bo. Como ∇f (xo, yo) = 0, a f´ormula de Taylor para f fica

f (x, y) − f (xo, yo) =

[

∂^2 f ∂x^2

( P¯ )h^2 + 2 ∂^2 f ∂x∂y

( P¯ )hk + ∂^2 f ∂y^2

( P¯ )k^2

]

onde P¯ ∈ Bo ´e da forma (¯x, ¯y) = (xo + ch, yo + ck) com 0 < c < 1. Coloque

A =

∂^2 f ∂x^2

( P¯ ), B =

∂^2 f ∂x∂y

( P¯ ) e C =

∂^2 f ∂y^2

( P¯ ).

Temos H( P¯ ) = AC − B^2 > 0 e para k 6 = 0,

f (x, y) − f (xo, yo) =

[

Ah^2 + 2Bhk + Ck^2

]

k^2 2

[

A

h k

+ 2B

h k

+ C

]

Assim se pusermos v = h/k vemos que

f (x, y) − f (xo, yo) =

k^2 2

[

Av^2 + 2Bv + C

]

14 CAP´ITULO 2. M AXIMOS E M´ ´INIMOS

pois ∆ = (2B)^2 − 4 AC = 4(B^2 − AC) = − 4 H( P¯ ) < 0 e A > 0. Se k = 0 ent˜ao

f (x, y) − f (xo, yo) =

Ah^2 ≥ 0.

Portanto, para todo (x, y) ∈ Bo temos f (x, y) − f (xo, yo) ≥ 0 , isto ´e, f (x, y) ≥ f (xo, yo). Isto demonstra 1.

2. Considere a fun¸c˜ao g(x, y) = −f (x, y). Temos ∂

(^2) g ∂x^2 (Po) =^ −^

∂^2 f ∂x^2 (Po)^ >^ 0 e o hessiano de^ g^ ´e igual ao hessiano de f (os sinais se cancelam nas multiplica¸c˜oes que aparecem no determinante) e, portanto, pela parte anterior g tem um ponto de m´ınimo local em Po; conseq¨uentemente f tem um ponto de m´aximo local em Po.

3. Dado ~v = (h, k) considere a fun¸c˜ao ϕ~v (t) = f (Po + t~v) = f (xo + ht, yo + kt) onde t ∈ (−ε, ε) como no item 1. Observe que ϕ~v ´e a restri¸c˜ao de f sobre o segmento de extremos Po − ε~v e Po + ε~v. Esta restri¸c˜ao nos fornece a informa¸c˜ao de como ´e o gr´afico de f quando cortado por um plano vertical paralelo ao vetor ~v e passando por (Po, f (Po)). Usando a regra da cadeia obtemos ϕ ~′v (0) = ∇f (Po) · ~v e

ϕ′′ ~v (0) =

∂^2 f ∂x^2

(Po)h^2 + 2

∂^2 f ∂x∂y

(Po)hk +

∂^2 f ∂y^2

(Po)k^2.

Coloque

A = ∂^2 f ∂x^2

(Po), B = ∂^2 f ∂x∂y

(Po) e C = ∂^2 f ∂y^2

(Po.)

Note que neste caso temos B^2 − AC > 0. Defina

Q(~v) = Q(h, k) = ϕ′′ ~v (0) = Ah^2 + 2Bhk + Ck^2.

O que vamos mostrar a seguir ´e que ´e sempre poss´ıvel escolher dire¸c˜oes ~u e ~v tais que ϕ′′ ~u(0) e ϕ′′ ~v (0) tˆem sinais opostos. Desse modo, pelo teste da derivada segunda para fun¸c˜oes de uma vari´avel, a restri¸c˜ao de f numa dire¸c˜ao ter´a um m´ınimo em Po numa dire¸c˜ao e um m´aximo na outra. Com isto em m˜aos ´e f´acil ver que existem pontos arbitrariamente pr´oximos de Po cujos valores de f s˜ao maiores do que f (Po) (na dire¸c˜ao de m´ınimo) e outros pontos onde valores s˜ao menores do que f (Po) (na dire¸c˜ao de m´aximo). Isto ´e o que caracteriza uma sela. Veja a figura (2.2). Caso 1: A = 0 e C = 0 e, portanto, B 6 = 0. Temos que Q(1, −1) = − 2 B e Q(1, 1) = 2B tˆem sinais diferentes. Caso 2: A = 0 e C 6 = 0 e, portanto, B 6 = 0. Temos que Q(−C/ 4 B, 1) = C/2 e Q(− 3 C/ 2 B, 1) = − 2 C tˆem sinais diferentes. Caso 3: A 6 = 0. Temos que Q(1, 0) = A e Q(B/A, −1) = −[B^2 − AC]A−^1 tˆem sinais diferentes pois −[B^2 − AC] < 0. Deste modo, em qualquer um dos casos ´e poss´ıvel encontrar duas dire¸c˜oes ~u e ~v tais que ϕ′′ ~u(0) e ϕ ~′′v (0) tˆem sinais opostos. Para isto, basta tomar os versores (vetores unit´arios) dos vetores obtidos em cada caso. Por exemplo, no caso (1) tomamos ~u = (

2 /2) e ~u = (

2 /2) e assim por diante.

4. Basta considerar as seguintes fun¸c˜oes f (x, y) = x^4 + y^4 , g(x, y) = −x^4 − y^4 , h(x, y) = x^4 − y^4. A origem ´e ponto cr´ıtico para todas elas e o hessiano tamb´em se anula em todos os trˆes casos. Entretanto, a origem ´e um m´ınimo para f, um m´aximo para g e um ponto de sela para h. Isto termina a demonstra¸c˜ao deste teorema.

Observa¸c˜ao 2.2.1 Note que se A, B e C s˜ao n´umeros reais tais que AC −B^2 > 0 e A > 0 ent˜ao C > 0 , pois caso contr´ario ter´ıamos AC ≤ 0 e, portanto, AC − B^2 ≤ −B^2 ≤ 0 , o que contradiz o fato de AC − B^2 > 0. Do mesmo modo se prova que se AC − B^2 > 0 e A < 0 ent˜ao C < 0. Assim, os itens 1 e 2 do teorema

acima podem ser reescritos substituindo-se as hip´oteses ∂

(^2) f ∂x^2 (x, y)^ >^0 e^

∂^2 f ∂x^2 (x, y)^ <^0 por^

∂^2 f ∂y^2 (x, y)^ >^0 e ∂^2 f ∂y^2 (x, y)^ <^0 ,^ respectivamente.

Antes de enunciarmos o caso geral, relembremos o seguinte fato de Algebra Linear:´

16 CAP´ITULO 2. M AXIMOS E M´ ´INIMOS

= (h 1 λ 1 v~ 1 + · · · + hnλn v~n) · (h 1 v~ 1 + · · · + hn v~n)

∑^ n

i,j=

λihihj v~i · v~j =

∑^ n

i=

λih^2 i = λ 1 h^21 + · · · + λnh^2 n,

pelo fato dos vetores serem ortonormais. Agora, se λj > 0 , para todo 1 ≤ j ≤ n temos que λ 1 h^21 + · · · + λnh^2 n > 0 se ~u = h 1 v~ 1 + · · · + hn v~n 6 = ~ 0. Se λj < 0 , para todo 1 ≤ j ≤ n temos que λ 1 h^21 + · · · + λnh^2 n < 0 se ~u = h 1 v~ 1 + · · · + hn v~n 6 = ~ 0. Isto leva `as conclus˜oes 1 e 2. Suponha agora que existam λi < 0 e λj > 0. Tome P 1 = Po + hi v~i, hi 6 = 0 e P 2 = Po + hj v~j , hj 6 = 0. Temos 2[f (P 1 ) − f (Po)] ≈ (Hess(Po)hi v~i) · (hi v~i) = λih^2 i < 0

e 2[f (P 2 ) − f (Po)] ≈ (Hess(Po)hj v~j ) · (hj v~j ) = λj h^2 j > 0.

A partir da´ı, segue-se 3. O caso 4 segue de exemplos como no teorema do caso bidimensional. Por exemplo, considere as fun¸c˜oes f (x 1 , · · · , xn) = x^41 + x^42 , g(x 1 , · · · , xn) = −x^41 − x^42 e h(x 1 , · · · , xn) = x^41 − x^42 que tˆem a origem como ponto de m´ınimo, m´aximo e sela, respectivamente. Note que nos trˆes casos, os autovalores s˜ao todos nulos.

Exemplo 2.2.1 Classifique os pontos cr´ıticos de

f (x, y, z) = x^3 − 3 x + y^2 + z^2 − 2 z.

Temos que ∇f (x, y, z) = (3x^2 − 3 , 2 y, 2 z − 2) = (0, 0 , 0)

se e somente se (x, y, z) = (1, 0 , 1) = P 1 ou (x, y, z) = (− 1 , 0 , 1) = P 2. A matriz hessiana de f ´e

Hess(x, y, z) =

6 x 0 0 0 2 0 0 0 2

Desta forma,

Hess(P 1 ) =

e da´ı segue-se que todos os autovalores s˜ao positivos. Portanto, P 1 ´e ponto de m´ınimo local. Quanto a P 2 , temos

Hess(P 2 ) =

Deste modo, P 2 ´e ponto de sela pois a matriz hessiana possui um autovalor positivo e um negativo

Exemplo 2.2.2 Classifique os pontos cr´ıticos de

f (x, y, z, w) = 2xy + 2yz + y^2 + z^2 − 2 w^2.

Temos que ∇f (x, y, z, w) = (2y, 2 x + 2y + 2z, 2 y + 2z, − 4 w)) = (0, 0 , 0 , 0)

se e somente se (x, y, z) = (0, 0 , 0 , 0) = P 0. Temos

Hess(P 0 ) =

2.2. TESTE DO HESSIANO 17

O polinˆomio caracter´ıstico desta matriz ´e

p(λ) = det

−λ 2 0 0 2 2 − λ 2 0 0 2 2 − λ 0 0 0 0 − 4 − λ

 = (4 +^ λ)(λ

(^3) − 4 λ (^2) − 4 λ + 8).

Note que λ 1 = − 4 < 0 ´e um autovalor da matriz acima. Como p(1) = 5 > 0 e p(2) = − 48 < 0 , vemos que existe λ 2 ∈ (1, 2) tal que p(λ 2 ) = 0, ou seja, existe tamb´em um autovalor positivo. Portanto, P 0 ´e um ponto de sela. Vejamos que o teorema 2.2.2 no caso n = 2 ´e equivalente ao teorema 2.2.1. Para tanto, usaremos a nota¸c˜ao

A =

∂^2 f ∂x^2

(Po), B =

∂^2 f ∂y^2

(Po), C =

∂^2 f ∂x∂y

(Po) e H = AB − C^2.

Coloque

H =

A C

C B

e, portanto, o seu polinˆomio caracter´ıstico ´e dado por

p(λ) = λ^2 − (A + B)λ + AB − C^2 = λ^2 − (A + B)λ + H

e tem como ra´ızes os n´umeros reais

λ 1 =

A + B +

e λ 2 =

A + B −

onde ∆ = (A + B)^2 − 4 H = (A − B)^2 + 4C^2 ≥ 0. Vamos supor que a hip´otese de 1 do teorema 2.2.1 seja v´alida, isto ´e, A > 0 e H > 0. Queremos mostrar que λ 1 e λ 2 s˜ao positivos. Como H = AB − C^2 > 0 devemos ter AB > C^2 ≥ 0. Como A > 0 ent˜ao B > 0. Logo,

λ 1 ≥

A + B

Tamb´em, H > 0 ⇒ AB > C^2 ⇒ 4 AB > 4 C^2 ⇒ 2 AB > 4 C^2 − 2 AB ⇒ A^2 + B^2 + 2AB > A^2 + B^2 + 4C^2 − 2 AB = (A − B)^2 + 4C^2 ⇒ (A + B)^2 > ∆

⇒ A + B = |A + B| >

∆ ⇒ λ 2 =

A + B −

Reciprocamente, se λ 1 e λ 2 s˜ao positivos

−A − B <

∆ < A + B ⇒

∆ < |A + B| ⇒ ∆ = (A + B)^2 − 4 H < (A + B)^2 ⇒ H > 0.

Da´ı, AB > C^2 ≥ 0 e, portanto A e B tˆem o mesmo sinal. Se fosse A < 0 ent˜ao B < 0 e ter´ıamos

λ 2 =

A + B −

A + B

um absurdo. Portanto, se λ 1 e λ 2 s˜ao positivos devemos ter A > 0 e H > 0 , que s˜ao as hip´oteses de 1 do teorema 2.2.1. Agora, se H > 0 e A < 0 ent˜ao, como anteriormente, vemos que devemos ter B < 0 , e da´ı segue que

λ 2 =

A + B −

A + B

Tamb´em, como antes,

H > 0 ⇒ (A + B)^2 > ∆ ⇒ −(A + B) = |A + B| >

∆ ⇒ λ 1 =

A + B +

2.3. EXEMPLOS 19

Vamos procurar os pontos cr´ıticos de A : { 2 y − (^2) xV 2 = 0 2 x − (^) yV 2 = 0

ou seja, (^) { yx^2 = V 2 xy^2 = V

Logo 2y = x e voltando `as equa¸c˜oes, obtemos x = 3

2 V , y = 3

V /4 e z = 3

2 V.

Agora,

H(x, y) = det

∂^2 A ∂x^2

∂^2 A ∂x∂y ∂^2 A ∂y∂x

∂^2 A ∂y^2

(x,y)

= det

( 4 V

x^3 (^2 2) yV 3

8 V 2

x^3 y^3

Assim H( 3

2 V , 3

V /4) = 12 > 0 e ∂

(^2) A ∂x^2 (^

√ (^32) V , √ (^3) V /4) = 2 > 0. Logo, pelo crit´erio do hessiano vemos que

( 3

2 V , 3

V /4) ´e um ponto de m´ınimo local de A. Na verdade, trata-se de um m´ınimo global. A verifica¸c˜ao pode ser vista da seguinte maneira. Para cada y > 0 fixo a fun¸c˜ao

Ay (x) = A(x, y) = 2xy + 2

V

x

V

y

possui um m´ınimo global pois limx→0+ Ay (x) = +∞ e limx→+∞ Ay (x) = +∞ e ele ocorre em x =

V /y (note que esta ´e a ´unica solu¸c˜ao de ∂A∂x (x, y) = A′ y (x) = 0). O valor m´ınimo ´e m(y) = Ay (

V /y) =

A(

V /y, y) = 4

V y + V /y. Logo, A(x, y) = Ay (x) ≥ m(y). Por outro lado, a fun¸c˜ao m(y), que representa o m´ınimo de Ay para cada y > 0 fixado, tamb´em possui um m´ınimo global, pois limy→0+ m(y) = +∞ e limy→+∞ m(y) = +∞ e este m´ınimo ocorre para y tal que m′(y) = 0, isto ´e, quando 2

V /y − V /y^2 = 0, ou seja, quando y = 3

V / 4. Isto nos d´a x =

√ V /y^ = V /( 3

V /4) = 3

2 V. Assim, para todo x > 0 e y > 0 , temos

A(x, y) = Ay (x) ≥ m(y) ≥ m( 3

V /4) = A(

2 V , 3

V /4).

Portanto, ( 3

2 V , 3

V /4) ´e um ponto de m´ınimo global. Finalmente, as dimens˜oes da caixa s˜ao

x = 3

2 V , y = 3

V / 4 e z = 3

2 V.

Exemplo 2.3.2 Classifique os pontos cr´ıticos da fun¸c˜ao

f (x, y) = x^4 + y^4 − 2 x^2 − 2 y^2.

Vamos procurar os pontos cr´ıticos de f : { 4 x^3 − 4 x = 4x(x − 1)(x + 1) = 0 4 y^3 − 4 y = 4y(y − 1)(y + 1) = 0

que nos fornece as seguintes solu¸c˜oes

P 1 = (0, 0) P 2 = (0, 1) P 3 = (0, −1) P 4 = (1, 0) P 5 = (1, 1) P 6 = (1, −1) P 7 = (− 1 , 0) P 8 = (− 1 , 1) P 9 = (− 1 , −1).

O hessiano de f em (x, y) ´e dado por

H(x, y) = det

12 x^2 − 4 0 0 12 y^2 − 4

= 16(3x^2 − 1)(3y^2 − 1).

20 CAP´ITULO 2. M AXIMOS E M´ ´INIMOS

P H(P ) ∂

(^2) f ∂x^2 P^ ´e^ f^ (P^ ) P 1 16 − 4 max. loc. 0 P 2 − 32 sela − 1 P 3 − 32 sela − 1 P 4 − 32 sela − 1 P 5 64 8 min. loc. − 2 P 6 64 8 min. loc. − 2 P 7 − 32 sela − 1 P 8 64 8 min. loc. − 2 P 9 64 8 min. loc. − 2

A figura (2.3) mostra os pontos cr´ıticos de f e a curva de n´ıvel −1 referente aos pontos de sela.

Figura 2.3: pontos cr´ıticos de f e a curva de n´ıvel − 1

A figura (2.4) mostra o gr´afico de f.

Figura 2.4: gr´afico de f

Observe que P 1 ´e apenas um ponto de m´aximo local pois, por exemplo f (2, 0) = 8 > 0 = f (P 1 ). Por´em, os pontos de m´ınimo local s˜ao na verdade pontos de m´ınimo global. Nestes pontos f tem o valor −2 e assim