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MEC442 - Modelagem Josemar, Notas de estudo de Eletrônica

Universidade Paulista (UniP)Eletrônica

Modelagem Josemar

Tipologia: Notas de estudo

2016

Compartilhado em 25/06/2016

patrick-de-menezes-silva-4
patrick-de-menezes-silva-4 🇧🇷

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Modelagem Matemática
MODELOS MATEMÁTICOS DE CIRCUITOS ELÉTRICOS
Os circuitos equivalentes às redes elétricas com as quais trabalhamos
consistem basicamente em três componentes lineares passivos: resistores,
capacitores e indutores. A Tabela 1 resume os componentes e as relações entre
tensão e corrente e entre tensão e carga, sob condições iniciais nulas.
Tabela 1 – Relações tensão-corrente, tensão-carga e impedância para capacitoers,
resistores e indutores.
Nota: ν( t ) = V (volts), i( t ) = A (ampères), q( t) = Q (coulombs), C = F (farads), R = Ω(ohms), G =(mhos), L = H (henries)
Componente Tensão-corrente Corrente-tensão Tensão-carga Impedância
Z(s) = V(s)/I(s) Admitância
Y(s) = I(s)/V(s)
As equações de um circuito elétrico obedecem às leis de Kirchhoff, que
estabelecem:
• A soma algébrica das diferenças de potencial ao logo de um circuito fechado é
igual a zero.
• A soma algébrica das correntes em uma junção ou nó é igual a zero.
A partir destas relações podemos escrever as equações diferenciais do
circuito. Aplica-se, então, a Transformada de Laplace das equações e finalmente se
soluciona a Função de Transferência.
Exemplo:
Obter a função de transferência relacionando a tensão, VC(s), no capacitor à tensão
de entrada, V(s), da figura 1.
Figura 1 - Circuito RLC.
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Modelagem Matemática

MODELOS MATEMÁTICOS DE CIRCUITOS ELÉTRICOS

Os circuitos equivalentes às redes elétricas com as quais trabalhamos

consistem basicamente em três componentes lineares passivos: resistores,

capacitores e indutores. A Tabela 1 resume os componentes e as relações entre

tensão e corrente e entre tensão e carga, sob condições iniciais nulas.

Tabela 1 – Relações tensão-corrente, tensão-carga e impedância para capacitoers,

resistores e indutores.

Nota: ν( t ) = V (volts), i ( t ) = A (ampères), q ( t ) = Q (coulombs), C = F (farads), R = Ω (ohms), G =(mhos), L = H (henries)

Componente Tensão-corrente Corrente-tensão Tensão-carga

Impedância Z(s) = V(s)/I(s)

Admitância Y(s) = I(s)/V(s)

As equações de um circuito elétrico obedecem às leis de Kirchhoff, que

estabelecem:

  • A soma algébrica das diferenças de potencial ao logo de um circuito fechado é

igual a zero.

  • A soma algébrica das correntes em uma junção ou nó é igual a zero.

A partir destas relações podemos escrever as equações diferenciais do

circuito. Aplica-se, então, a Transformada de Laplace das equações e finalmente se

soluciona a Função de Transferência.

Exemplo:

Obter a função de transferência relacionando a tensão, V C (s), no capacitor à tensão

de entrada, V(s), da figura 1.

Figura 1 - Circuito RLC.

Modelos Dinâmicos Prof. Josemar dos Santos

Resolução:

Utilizando as leis de Kirchhoff, obteremos a equação diferencial para o circuito.

Somando as tensões ao longo da malha, supondo condições iniciais nulas, resulta a

equação íntegro-diferencial.

0

t di t L Ri t i d v t dt C

∫

Fazendo uma mudança de variável, de corrente para carga, usando a relação

i t ( ) = dq t ( ) / dt resulta:

2

2

d q t dq t L R q t v t dt dt C

A partir da relação tensão-carga em um capacitor da Tabela 1:

q t ( ) = CvC ( ) t

Substituindo:

2

2

C C C

d v t dv t LC RC v t v t dt dt

Aplicando Laplace:

( )

2 LCs + RCs + 1 VC ( ) s = V s ( )

Calculando a função de transferência, Vc ( ) / s V s ( ) :

2

V c s (^) LC

V s R s s L LC

Modelos Dinâmicos Prof. Josemar dos Santos

Exemplo

Obter a função de transferência, X(s)/F(s), para o sistema da figura abaixo:

Resolução:

Desenhando o diagrama de corpo livre para o sistema proposto e arbitrando o

sentido do movimento para direta, obtemos:

Utilizando a Lei de Newton escrevemos a equação diferencial do movimento.

2

2

v ( )^ ( )

d x t dx t M f Kx t f t dt dt

Aplicando Laplace,

2

2

v

v

Ms X s f sX s KX s F s

Ms f s K X s F s

Resolvendo para obter a função de transferência,

2

v

X s G s F s (^) Ms f s k

Modelos Dinâmicos Prof. Josemar dos Santos

Em sistemas mecânicos, o número necessário de equações de movimento é

igual ao número de movimentos linearmente independentes. A independência linear

implica que um onto de movimento em um sistema em movimento pode continuar a

se mover mesmo se todos os outros pontos forem mantidos parados. A expressão

linearmente independente também é conhecida por graus de liberdade. Desta forma

podemos sugerir uma pequana equação.

[Soma de Impedâncias]X(s) = [Soma de forças aplicadas]

Quando utilizando a lei de Newton, somando as forças de cada corpo e

fazemos a soma igual a zero, o resultado é um sistema de equações simultâneas do

movimento. Estas equações podem ser resolvidas em função da variável de saída de

interesse a partir da qual se calcula a função de transferência.

Exemplo:

Obter a função de transferência, X 2 (s)/F(s), para o sistema da figura abaixo.

Usando o conceito apresentado anteriormente podemos solucionar o

exercício por inspeção, escrevendo as equações de movimento do sistema, sem

desenhar o diagrama de corpo livre.

1 2

1 1 2 1

Soma das Soma das impedâncias Soma das impedâncias conectadas ao forças aplicadas entre movimento (^) em x x e x em x

X ( ) s X ( ) s

⎢ ⎥ ⎡^ ⎤

⎢ ⎥ ⎡^ ⎤

⎢ ⎥ ⎢^ ⎥

⎢ ⎥ ⎢^ ⎥

⎢ ⎥ ⎢^ ⎥

e

Modelos Dinâmicos Prof. Josemar dos Santos

Exemplo

Obter a função de transferência,

s

T s

, para o sistema em rotação mostrado

na figura abaixo. O eixo elástico é suspenso por meio de mancais em cada uma das

extremidades e é submetido à torção. Um torque é aplicado à esquerda e o

deslocamento angular é medido à direita.

Resolução:

Embora a torção ocorra ao longo do eixo, aproximamos o sistema admitindo

que a torção atua como uma mola concentrada em um ponto particular do eixo, com

uma inércia, J 1 , à esquerda, e uma inércia J 2 à direita. Usando o princípio da

superposição notamos que o sistema apresenta dois graus de liberdade. Desta forma

podemos solucionar o problema por inspeção, onde:

1 2 1 2 1 1

1 1 2

Soma das Impedâncias Soma das Impedâncias Soma dos torques conectas ao movimento entre e aplicados em em

Soma das I Soma das Impedâncias

entre e

s s

s

⎢ ⎥ ⎡^ ⎤^ ⎡^ ⎤

2 2 2

mpedâncias Soma dos torques conectas ao movimento aplicados em em

θ ( ) s

⎢ ⎥ ⎡^ ⎤

⎢ ⎥ ⎣^ ⎦

Ou ainda utilizando o diagrama de corpo livre para cada um dos torques.

Modelos Dinâmicos Prof. Josemar dos Santos

Sentido Sentido Sentido

Sentido Sentido Sentido

E assim obtemos as equações do movimento:

2 1 1 1 2 2 1 2 2 2 0

J s D s K s K s T s

K s J s D s K s

θ θ

θ θ

A partir das quais se obtém a função de transferência pedida:

2

2 1 1 2 2 2

s (^) K

T s

J s D s K K

K J s D s K