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Teórica- Métodos Numéricos
Tipologia: Notas de estudo
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Aulas Pr´aticas/Laboratoriais – M´etodos Num´ericos
Patr´ıcia Santos
INSTITUTO SUPERIOR DE ENGENHARIA DE COIMBRA DEPARTAMENTO DE F´ISICA E MATEM ATICA´
2014/
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INTRODUC¸ ˜AO A` TEORIA DOS ERROS ⋆ Aproximac¸ ˜ao por arredondamento ou truncatura ⋆ Erro absoluto e erro relativo M ´ETODOS NUM ERICOS DE´ RESOLUC¸ ˜AO DE EQUAC¸ ˜OES N ˜AO LINEARES ⋆ Localizac¸ ˜ao de soluc¸ ˜oes: m´etodo gr´afico e m´etodo anal´ıtico ⋆ M´etodo da Bissecc¸ ˜ao ⋆ M´etodo de Newton-Raphson INTERPOLAC¸ ˜AO POLINOMIAL ⋆ Definic¸ ˜ao de polin´omio interpolador ⋆ Erro de interpolac¸ ˜ao ⋆ F´ormula de Newton das diferenc¸as divididas. INTEGRAC¸ ˜AO NUM ´ERICA ⋆ Regra dos Trap´ezios ⋆ Regra de Simpson M ´ETODOS NUM ERICOS DE´ RESOLUC¸ ˜AO DE EQUAC¸ ˜OES DIFERENCIAIS ORDIN ARIAS´ ⋆ M´etodo de Euler expl´ıcito
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Sejam x → valor exato ¯x → valor aproximado (truncatura ou arredondamento)
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Quando desconhecemos o valor exato x, considera-se
δx = ∆xx ∼= ∆ ¯xx.
O erro relativo r = |δx| e um valor adimensional que nos d´´ a uma medida de aproximac¸ ˜ao de um n´umero x tendo em conta a grandeza desse n´umero.
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Por vezes o erro absoluto n˜ao ´e suficiente para informar sobre a qualidade da aproximac¸ ˜ao, para isso utiliza-se o erro relativo.
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Do ISEC a baixa de Coimbra a distˆancia ´e de x = 1 km e do ISEC a F´atima a distˆancia ´e de y = 100 km. Admita que um aluno que n˜ao conhece os percursos percorre ¯x = 2 km do ISECa baixa e ¯y = 101 km do ISEC a F´atima. Em ambos os casos o erro absoluto ´e de 1 km.
Em qual caso o erro ´e mais significativo? E mais significativo no percurso mais curto, pois´ |δx| = 1 e |δy| = 0 .01.
Consideremos x = 1 /3 e y = 1 /3000, e as aproximac¸ ˜oes ¯x = 0 .3333 e ¯y = 0 .0003.
a) Determine o erro absoluto e o erro relativo relativamente a cada uma das aproximac¸ ˜oes. b) O que pode afirmar sobre a qualidade das aproximac¸ ˜oes?
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Considerem-se duas aproximac¸ ˜oes para um mesmo valor, em que uma delas tem mais algarismos significativos. O facto de uma delas ter mais algarismos significativos n˜ao significa que a aproximac¸ ˜ao seja melhor.
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Pode aproximar-se x = 2 / 3 = 0. 6 ( 6 ) por ¯x 1 = 0 .66667 e por ¯x 2 = 0 .6664984. Apesar da segunda aproximac¸ ˜ao ter mais algarismos significativos, esta aproximac¸ ˜ao ´e pior do que a primeira. A primeira aproximac¸ ˜ao tem 4 algarismos significativos exatos em relac¸ ˜ao ao valor x, e a segunda tem apenas 3.
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Seja ¯x uma aproximac¸ ˜ao de x.
1 .. A aproximac¸ ˜ao ¯x tem k c.d. corretas se e s´o se ϵ = |∆x| ≤ 0. 5 × 10 −k. 2 .. A aproximac¸ ˜ao ¯x tem k a.s. corretos se e s´o se r = |δx| ≤ 5 × 10 −k.
A aproximac¸ ˜ao de um n´umero por conveniente arredondamento tem todas as suas casas decimais (c.d.) e algarismos significativos (a.s.) corretos. Neste tipo de aproximac¸ ˜ao todos os algarismos s˜ao exatos exceto o ´ultimo que ´e um algarismo duvidoso, pois depende da precis˜ao do instrumento de medida.
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Considere-se a aproximac¸ ˜ao ¯x 1 = 0 .66667 de x = 2 /.
1 .. ϵ 1 = |∆x| = 0. 000003 ( 3 ) ≤ 0. 5 × 10 −^5 −→ 5 c.d corretas. 2 .. r 1 = |δx| = 5 × 10 −^6 ≤ 5 × 10 −^5 −→ 5 a.s. corretos.
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Localizar e obter uma aproximac¸ ˜ao inicial das soluc¸ ˜oes da equac¸ ˜ao f (x) = 0:
f (x) = 0 ⇔ f 1 (x) = f 2 (x)
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Localize as soluc¸ ˜oes da equac¸ ˜ao |x| − ex^ = 0 ⇔ |x| = ex.
Figura: f 1 (x) = |x|, f 2 (x) = ex, x⋆^ ∈ [− 1 , 0 ].
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Localize as soluc¸ ˜oes da equac¸ ˜ao xex^ = 1 ⇔ ex^ = (^1) x.
Figura: f 1 (x) = ex, f 2 (x) = (^1) x , x⋆^ ∈ [ 0 , 1 ].
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1 .. Se f (a)f (b) > 0, nada se pode concluir quanto `a existˆencia de soluc¸ ˜oes em ]a, b[. Por exemplo, f (x) = x^2 ´e uma func¸ ˜ao cont´ınua em R e tem um zero em [− 1 , 1 ], no entanto, f (− 1 )f ( 1 ) > 0.
2 .. Existˆencia - Para provar a existˆencia de soluc¸ ˜ao da equac¸ ˜ao f (x) = 0 num intervalo [a, b], recorre-se ao m´etodo gr´afico ou ao teorema de Bolzano (Corol´ario).
3 .. Unicidade - Se existe soluc¸ ˜ao de f (x) = 0 num intervalo [a, b] e al´em disso a derivada f ′(x) n˜ao muda de sinal em ]a, b[, ent˜ao, a soluc¸ ˜ao x⋆^ ´e ´unica no intervalo.
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Seja f uma func¸ ˜ao cont´ınua no intervalo [a, b]. Suponhamos que f (a)f (b) < 0 e que a soluc¸ ˜ao da equac¸ ˜ao f (x) = 0 ´e ´unica em [a, b].
Seja c o ponto m´edio do intervalo [a, b],
c = a^ + 2 b.
Se f (a)f (c) < 0 Ent˜ao b:=c e repete-se o racioc´ınio no intervalo [a, c] Sen˜ao a:=c e repete-se o racioc´ınio no intervalo [c, b]
O processo iterativo termina quando o ponto m´edio satisfaz uma dada condic¸ ˜ao de paragem:
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A soluc¸ ˜ao de menor valor da equac¸ ˜ao ex^ − 3 x = 0 pertence ao intervalo [ 0 , 1 ]. Efetue 3 iterac¸ ˜oes do m´etodo da bissecc¸ ˜ao para aproximar essa soluc¸ ˜ao e determine um majorante para o erro absoluto.
Resoluc¸ ˜ao
A func¸ ˜ao f (x) = ex^ − 3 x e cont´´ ınua e f ( 0 ) > 0 e f ( 1 ) < 0.
iterac¸ ˜ao imagem intervalo x 1 = 0. 5 f ( 0. 5 ) > 0 [ 0. 5 , 1 ] x 2 = 0. 75 f ( 0. 75 ) < 0 [ 0. 5 , 0. 75 ] x 3 = 0. 625
A soluc¸ ˜ao ´e aproximadamente 0.625 com um erro absoluto n˜ao superior a (b − a)/ 2 n^ = 1 / 23 = 0 .125.
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Utilize o m´etodo da bissecc¸ ˜ao para aproximar a soluc¸ ˜ao da equac¸ ˜ao x^3 − x − 1 = 0 no intervalo [ 1 , 2 ], com um erro absoluto n˜ao superior a 0.1.
Resoluc¸ ˜ao
A func¸ ˜ao f (x) = x^3 − x − 1 ´e cont´ınua e f ( 1 ) < 0 e f ( 2 ) > 0. No m´etodo da bissecc¸ ˜ao, o erro absoluto |∆x| ´e menor ou igual a 0.1 se (b − a)/ 2 n^ ≤ 0 .1, ou seja, n ≥ 3 .322, portanto, ´e necess´ario efetuar 4 iterac¸ ˜oes do m´etodo:
iterac¸ ˜ao imagem intervalo x 1 = 1. 5 f ( 1. 5 ) > 0 [ 1 , 1. 5 ] x 2 = 1. 25 f ( 1. 25 ) < 0 [ 1. 25 , 1. 5 ] x 3 = 1. 375 f ( 1. 375 ) > 0 [ 1. 25 , 1. 375 ] x 4 = 1. 3125
A soluc¸ ˜ao ´e aproximadamente 1.3125.
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Seja f uma func¸ ˜ao definida no intervalo [a, b].
O m´etodo de Newton tem a seguinte forma iterativa
xi+ 1 = xi − (^) ff ′^ ((xxi) i)^ , i = 0 , 1 , 2 ,....
A sucess˜ao (xi) gerada pela forma iterativa do m´etodo comec¸a num valor x 0 ∈ [a, b] a que se chama aproximac¸ ˜ao inicial. Em geral, a convergˆencia do m´etodo depende da escolha da aproximac¸ ˜ao inicial no intervalo.
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O gr´afico representa uma func¸ ˜ao f e duas retas tangentes ao gr´afico.
A reta tangente ao gr´afico de f no ponto (x 0 , f (x 0 )) ´e dada por y − f (x 0 ) = f ′(x 0 )(x − x 0 ), da sua intersec¸ ˜ao com o eixo do x resulta
−f (x 0 ) = f ′(x 0 )(x − x 0 ) ⇐⇒ x = x 0 − (^) ff ′((xx^0 ) 0 )^ ent˜ao x 1 = x 0 − f (x 0 )/f ′(x 0 ).
De modo an´alogo, a reta tangente no ponto (x 1 , f (x 1 )) ´e dada por y − f (x 1 ) = f ′(x 1 )(x − x 1 ) e da sua intersecc¸ ˜ao com o eixo do x resulta x 2 = x 1 − f (x 1 )/f ′(x 1 ).
Repetindo o racioc´ınio, sucessivamente, obt´em-se a forma iterativa do m´etodo xi+ 1 = xi − f (xi)/f ′(xi).
