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Metodos numericos de transferencia de calor
Tipologia: Notas de estudo
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PROFESSOR: Dr. JEAN PIERRE VERONESE
Rafael Monteiro Veras
Teresina-PI, 06 de dezembro de 2010
MÉTODOS NUMERICOS EM CONDUÇÃO DE CALOR
Muitos problemas encontrados na prática implicam em geometrias complicadas com condições de contorno complexas e/ou propriedades variáveis, dessa forma, a resoluções analíticas dos problemas se tornam muitas vezes difíceis, e demasiadamente demoradas. Assim, soluções aproximadas precisas o suficiente podem ser obtidas por computadores utilizando-se um método numérico.
O método das diferenças finitas para equações diferenciais se baseia na substituição das derivadas por diferenças finitas. Assim, se considera a aproximação da derivada para a diferença finita:
Essa expressão também pode ser obtida pela expansão da série de Taylor da função f sobre o ponto x ,
e desprezando os outros termos fora os dois primeiros. É bom observar que o erro será minimizado com de acordo com a adoção de valores Δx menores.
Considerando-se uma parede plana de espessura L, com uma condução de calor permanente unidimensional e com geração de calor, subdividindo-a em M secções de mesma espessura Δx = L/M na direção x passando por M + 1 pontos, esses pontos são chamados de pontos nodais. Utilizando as equações acima, a equação para essa transferência de calor (admitindo-se uma condutividade térmica constante) na forma de diferenças finitas é:
Da mesma forma, poder-se-ia formular a equação para uma condução bi ou tridimensionais, substituindo cada derivada de segunda ordem por uma equação de diferenças nessa direção. Por exemplo, no caso bidimensional ficaria:
no qual a M representa as sub-regiões em x e N em y , e tem o total de (M + 1)(N + 1) nós e a equação acima pode ser utilizada para obter as equações em diferenças finitas em (M - 1)(N - 1) desses nós (isto é, todos exceto os nós no contorno).
Uma abordagem melhor, pois não exige que se tenha a equação diferencial antes da análise, é a utilização do balanço de energia para a formulação numérica. Ele é baseado na subdivisão do meio em um numero suficiente de elementos de volume e, em seguida, na aplicação de um balanço de energia em cada elemento. Primeiramente, são selecionados os pontos nodais nos quais as temperaturas devem ser determinadas, e depois pela formação de elementos em torno desses nós desenhando linhas nos pontos médios entre os nós. Isso faz com que os nós internos fiquem no meio do elemento, e as propriedades nos nós, sejam as médias no elemento.
A equação do balanço de energia para um regime permanente de transferência de calor é:
Note que ambas as formulações são simples expressões entre as temperaturas nodais antes e depois de um intervalo de tempo e têm por base a determinação das novas temperaturas usando temperaturas anteriores. Elas também são bastante gerais e podem ser utilizadas em qualquer sistema de coordenada, independentemente da dimensão da transferência de calor (uni, bi ou tridimensional).
