metodos numericos, Notas de estudo de Engenharia Civil

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4a Semana - Bibliografia: C. Numérico - M. Ruggiero

Métodos Numéricos Prof. Gerson Farion CavalcanteUTP – Facet – Engenharia Civil

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4a Semana - Bibliografia: C. Numérico - M. Ruggiero

Ementa: • Erros• Equações• Interpolação• Integração•Equações diferenciais• Mínimos Quadrados

4a Semana - Bibliografia: C. Numérico - M. Ruggiero Paramos em aritmética de ponto flutuante: norma de representação^ Seja

x^ um número qualquer na base

β^ em aritmética de ponto

flutuante de

t^ dígitos:

x^ = ±(.d

d 1 2 ... d

)× βtβ

e

Onde: (i) ±(.d

d 1 2 ... d

)× βtβ

e^ é uma fração na base

β

(ii) d

∈{0,1,2,...,j

β-1}

(iii) e

∈^ [m, M] (iv)

t^ = número máximo de dígitos da mantissa

4a Semana - Bibliografia: C. Numérico - M. Ruggiero Um número não pode ser representado se o expoente “e” estiverfora dos limites m e M.“Underflow”

se

e < m

“Overflow”

se

e > M

Números cuja representação em aritmética de ponto flutuantede^ t

dígitos extrapolam os

t^ dígitos da mantissa são

armazenados por arredondamento ou por truncamento.

•truncagem: descartar todos os decimais a partir deum específico•arredondamento:

–para cima, descartado para > 5–para baixo, descartado para < 5

^

^

^

^

4a Semana - Bibliografia: C. Numérico - M. Ruggiero Ex^6

: Dados x = 0.

×^10

4

e^ y = 0.

×^10

2 , calcule x + y

para um sistema em que

t =4 e

β=10.

x + y = 0.

×^10

×^10

×^10

4

4a Semana - Bibliografia: C. Numérico - M. Ruggiero Estimativa de erros^ •^

Definição de erro:–^ ε

=^ a

-^ ã

, onde

• erro relativo: -^ Tipos de erros: - operações (truncagens e arredondamento)– experimentais

ã = valor aproximadoa = valor verdadeiro (não conhecido)

a

se a

a aa a a r r

~

~

) 0

~ (^ <<ε ε≅ ε

≠ − ε^ = = ε^

Na prática,

ε

também não éconhecido. Assim,devemos definir umvalor limite para oerro:

β ≥

|^ ε^

4a Semana - Bibliografia: C. Numérico - M. Ruggiero Ex: Para determinar o período de oscilação de um sistema massa-mola, um aluno^7 mediu a constante elástica da mola e a massa do bloco, encontrando:

m^ = (100,

±^ 0,03) ge

k^ = (200,

±^ 0,7)x

2 N/m

O período de oscilação do sistema é:

s

m k T^

2 10 (^406) , 1

2

− × = =^ π

O erro

∆ T no período será dado por

k m k m mk k T k m T m T^

∆

∆

∂∆∂

∆ ∂=∂ ∆^

3 π π

onde

∆ m

= 0,03x

-3^ kg

e

∆ k =0,7 x 10

2 N/m

Substituindo esses valores na equação, obtém-se ∆ T^ = 2,66 x

-5^ s = 0,00266 x 10

-2^ s

T=(1,

±^ 0,003) x 10

-2^ s

4a Semana - Bibliografia: C. Numérico - M. Ruggiero

RAÍZES DE FUNÇÕES

Objetivo

: Resolver

f ( x

) = 0, isto é, encontrar números

ξtaisi^

que

f (ξ

)=0i

4a Semana - Bibliografia: C. Numérico - M. Ruggiero Ex^8

: Isolar a(s) raíz(es) positiva(s) de f(x) = 2x – cos(x) = 0; Processo I (Esboço do gráfico - varredura): Determinar um pontoinicial, um passo

h^ e um ponto final de busca

Façamos a = 0,

h =1, b = 10

f(x)

x Conclusão: Há raiz

ξ ∈

[0,1].

Como f’(x) = 2 + sen(x) > 0

∀x

∈[0,1] então

ξ^ é única.

4a Semana - Bibliografia: C. Numérico - M. Ruggiero Processo II: Transformar f(x) = 0 em g(x) – h(x) = 0 e encontraros pontos de interseção de g e h.Ex: Isolar a(s) raíz(es) positiva(s) de f(x) = 2x – cos(x) = 0;^8 Resp.: Ex: Isolar a(s) raíz(es) de f(x) = x + ln(x) = 0;^9

ξ ∈

[0,

π/2].

Ex^10 Resp.: : Isolar a(s) raíz(es) de f(x) = xln(x) - 1 = 0;

ξ ∈

[? , ?].

Resp.:

ξ ∈

[?, ?].

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|f(x

)| 4a Semana - Bibliografia: C. Numérico - M. Ruggiero

|x-k^

ξ| <

ε, mas |f(x

)| >>k

ε

4a Semana - Bibliografia: C. Numérico - M. Ruggiero Solução 2

: Aplicar o teorema:

TEOREMA: Sejam f e f’contínuas em [a,b]. Se f’preserva o sinalem [a,b] e se m=min|f’(x)| e M=max|f’(x)| para x

∈[a,b], então:

Além disso, se [a,b] é tão pequeno que M

≤^ 2m então:

|x-k^

ξ|^ ≤

|xk^

• xk-

Conclusão

: Para intervalo [a,b] suficientemente pequeno:

|x– xk^

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Método da Bisseção

Idéia

: Reduzir o intervalo que contém a raiz, dividindo-o ao meio a cada iteração.