Métodos Numéricos para Engenharias
Tarcisio Ferreira Maciel
Universidade Federal do Ceará
Centro de Tecnologia
9 de Outubro de 2012
T. F. Maciel (UFC-CT) Métodos Numéricos para Engenharias 9 de Outubro de 2012 1 / 203
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Tipologia: Slides
2012
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Métodos Numéricos para Engenharias
Tarcisio Ferreira Maciel
Universidade Federal do Ceará
Centro de Tecnologia
9 de Outubro de 2012
Parte 1
Erros em aproximação numérica
Erros em aproximação numérica Fundamentos
Conteúdo
1 Erros em aproximação numérica
Fundamentos
Representação de números no computador
Erros em aproximação numérica
Erros em aproximação numérica Fundamentos
Fundamentos
Métodos numéricos ➜ métodos matemáticos para resolver problemas:
que são difíceis de resolver analiticamente
que não possuem solução analítica
Solução numérica ➜ aproximação para a solução analítica, porém muito
precisa
θ m
F
μ: o coeficiente de atrito estático
g: a aceleração da gravidade
m: massa do bloco
F =
μmg
cos(θ) + μ sin(θ)
Se o valor de F é conhecido, o ângulo θ
necessário para mover o bloco pode ser
determinado numericamente, mas não
analiticamente
Erros em aproximação numérica Representação de números no computador
Conteúdo
1 Erros em aproximação numérica
Fundamentos
Representação de números no computador
Erros em aproximação numérica
Erros em aproximação numérica Representação de números no computador
Representação de números no computador
Sistema de numeração ➜ possui uma base B e dígitos d para representar
números
Sistema decimal ➜ base B = 10 e dígitos d = 0, 1 ,... , 9 (note que B − 1 = 9)
Números maiores que B − 1 são representados usando notação posicional
Os dígitos d multiplicam a base B elevada à posição p ocupada pelo dígito
As posições são negativas à direita do separador da parte fracionária
Para a base 10, tem-se que 1. 423 , 3510 é
Posição p 3 2 1 0 -1 -
Potência B
p 10
3 10
2 10
1 10
0 10
− 1 10
− 2
Dígito d 1 4 2 3 3 5
Valor 1 · 10
3
- 4 · 10
2
- 2 · 10
1
- 3 · 10
0
- 3 · 10
− 1
- 5 · 10
− 2 = 1. 423 , 35
Erros em aproximação numérica Representação de números no computador
Representação em ponto flutuante: forma decimal
Números de ponto flutuante ➜ notação científica d, dddddd × 10
p
Um único algarismo à esquerda da vírgula e os demais à direita da vírgula
O número 0 , dddddd é chamado mantissa
A ordem do número corresponde a
p se o número antes da vírgula é menor que 5
p + 1 se o número antes da vírgula é maior ou igual a 5
Notação científica
6519 , 23 ➜ 6 , 51923 · 10
3
0 , 00000391 ➜ 3 , 91 · 10
− 6
Ordem O(·)
6519 , 23 ➜ O
( 104
)
0 , 00000391 ➜ O
( 10 −^6
)
Erros em aproximação numérica Representação de números no computador
Representação em ponto flutuante: forma binária
Números binários em ponto flutuante ➜ 1 , bbbbbb × 2 bbb
Um único algarismo à esquerda da vírgula e os demais à direita da vírgula
O número 0 , bbbbbb é chamado mantissa
A potência de 2, i.e., 2
bbb , é chamada expoente
Mantissa e expoente ➜ escritos em forma binária
Escrita de um número decimal N na forma 1 , bbbbbb · 2
bbb
Obtida através de normalização
Divide e multiplica N pela maior potência de 2 menor que N
Normalização
50 ➜
50
25
· 2
5 = 1, 5625 · 2
5 ⇒ 1 , 1001 · 2
101
1344 ➜
1344
210
· 2
10 = 1, 3125 · 2
10 ⇒ 1 , 0101 · 2
1010
0 , 3125 ➜
0 , 3125
2 −^2
· 2
− 2 = 1, 25 · 2
− 2 ⇒ 1 , 01 · 2
− 10
Erros em aproximação numérica Representação de números no computador
Representação em ponto flutuante: IEEE-
Considere, por exemplo, o número 22,5 a ser representado em precisão
dupla
Aplicando a normalização, temos
4 = 1, 40625 · 2
4 ⇒ 1 , 01101 · 2
100
Polarizando o expoente, 4 + 1023 = 1027 = 10000000011 2
Assim, temos
Erros em aproximação numérica Representação de números no computador
Representação em ponto flutuante: IEEE-
Número de bits limitado para expoente e mantissa ➜ maior e menor
números armazenáveis (em módulo)
O menor número em precisão dupla ➜ ± 2
− 1023 ≈ ± 1 , 1 · 10
− 308
O maior número em precisão dupla ➜ ± 2
1024 ≈ ± 1 , 8 · 10
308
Tentar armazenar números fora desses limites gera erros de underflow
ou overflow
Nem todo número é armazenável em binário de forma exata
Erros em aproximação numérica Erros em aproximação numérica
Erros em aproximação numérica
Soluções numéricas ➜ muito precisas mas inexatas
Dois tipos de erros: de arredondamento e de truncamento
Juntos, esses dois erros constituem o erro total
Erros de arredondamento ➜ forma de armazenamento e processamento
Número finito de bits da mantissa ➜ número finito dígitos após a vírgula
Corte (descarte) ou arredondamento com certo número de dígitos após a
vírgula
2 / 3 com 4 casas decimais ➜ 0 , 6666 (corte) ou 0 , 6667 (arredondamento)
Vide [GS08, pág. 31]
Erros de truncamento
Devidos à aproximações usadas nos métodos numéricos
Aproximação por série de Taylor ➜ sin(x) =
x
1!
−
x^3
3!
x^5
5!
−
x^3
7!
+...
Vide [GS08, pág. 33]
Erros em aproximação numérica Erros em aproximação numérica
Erros em aproximação numérica
Solução numérica ➜ aproximação envolvendo erros de arredondamento e
de truncamento (de acordo com o método)
Erro total (ou erro real) EReal ➜ diferença entre a solução exata SExata
e a solução numérica SN um
EReal = SExata − SN um (1)
Erro total (ou erro real) ERelat ➜ módulo da razão entre o erro real
EReal e a SExata
ERelat =
EReal
SExata
SExata − SN um
SExata
Erro real e o erro relativo ➜ solução exata precisa ser conhecida
Há outras maneiras de estimar o erro (ou sua ordem de grandeza)
Conteúdo
(^2) Zeros de funções
Fundamentos
Método da bisseção
Método da falsa posição
Método de Newton
Método da secante
Método do ponto fixo
3 Solução numérica de sistemas não-lineares
Fundamentos
Método do ponto fixo
Método de Newton
Zeros de funções Fundamentos
Conteúdo
(^2) Zeros de funções
Fundamentos
Método da bisseção
Método da falsa posição
Método de Newton
Método da secante
Método do ponto fixo
3 Solução numérica de sistemas não-lineares
Fundamentos
Método do ponto fixo
Método de Newton