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Métodos Numéricos para Engenheiros Químicos

Algoritmos e Aplicações

Argimiro R. Secchi e Evaristo C. Biscaia Jr.

Copyright c© 2020 A.R. Secchi e E.C. Biscaia Jr.

PUBLICADO PELOS AUTORES

WWW.PEQ.COPPE.UFRJ.BR

Licensed under the Creative Commons Attribution-NonCommercial-ShareAlike 4.0 International License (the “License”). You may not use this file except in compliance with the License. You may obtain a copy of the License at http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/4.0/. Unless required by applicable law or agreed to in writing, software distributed under the License is distributed on an “AS IS” BASIS, WITHOUT WARRANTIES OR CONDITIONS OF ANY KIND, either express or implied. See the License for the specific language governing permissions and limitations under the License.

ISBN: 978-65-00-11321- Primeira Edição: Março de 2020 - Revisão: Março de 2022.

Prefácio

Este livro é uma síntese da disciplina de graduação “Métodos Numéricos em Engenharia Química” ministrada há mais de 20 anos no Departamento de Engenharia Química (DEQ) da Escola de Química da UFRJ. Na realidade, a criação da disciplina resultou de negociação, no final da década de 90, com o curso de Matemática Aplicada do Instituto de Matemática da UFRJ no qual se justificou a necessidade desta disciplina ser ministrada no DEQ. Tal justificativa se baseou nos exemplos aplicativos de interesse à engenharia química (EQ), seguindo aproximadamente as diretivas traçadas nos textos pioneiros de Lapidus (1962), "Digital Computation for Chemical Engineers" e de Amundson (1966), "Mathematical Methods in Chemical Engineering: Matrices and Their Application". É importante mencionar que em 1966 a disciplina, então denominada "Cálculo Numérico", foi ministrada pela primeira vez no curso de Engenharia Química na Escola Nacional de Química da Universidade do Brasil pelo Prof. Giulio Massarani, das notas da disciplina resultou o livro "Introdução ao Cálculo Numérico" (Massarani, 1970).

Parte substancial do conteúdo deste livro já se encontrava disponível no site da Internet http://www2.peq.coppe.ufrj.br/Pessoal/Professores/Arge/, elaborada pelos autores, integrando o material da disciplina EQE-358 – Métodos Numéricos em Engenharia Química. O aprofundamento dos conceitos contidos neste material é um dos principais objetivos do presente texto. Durante sua elaboração, surgiram novos e diferentes aspectos de diversos métodos já consagrados, procurando apresentá-los da forma mais pragmática possível, sem excessivo rigor matemático, visando primordialmente aspectos implementacionais.

As implementações dos métodos numéricos apresentados são feitas de forma algorítmica através de pseudo-códigos simples, de fácil compreensão que podem ser realizados por ferramenta computacional de preferência do leitor. Evitou-se ao máximo caracterizar tais procedimentos por meio de softwares comerciais, assegurando com isto a atemporalidade dos mesmos e a perenidade do material apresentado. Muitos exemplos apresentados são de aplicação corrente na EQ e buscam demonstrar ao estudante de graduação de EQ a importância dos métodos numéricos e computacionais neste ramo da engenharia.

Deve-se enfatizar que o aproveitamento do material contido no presente texto é condicionado ao prévio conhecimento do leitor das disciplinas básicas de Cálculo, de Álgebra Linear e de Métodos

Sumário

• 1 Introdução
• 1.1 Sistemas Numéricos
• 1.2 Erros em Computação
• 1.3 Problemas Propostos
• 2 Aproximações de Funções
• 2.1 Introdução
• 2.2 Séries de Potências
• 2.3 Frações Continuadas
• 2.4 Razão de Polinômios
• 2.5 Séries de Fourier
• 2.6 Problemas Propostos
• 3 Interpolação Polinomial
• 3.1 Introdução
• 3.2 Métodos Diretos de Determinação do Polinômio Interpolador
• 3.3 Tabela de Diferenças Divididas de Newton
• 3.4 Interpolação Polinomial de Lagrange
• 3.5 Análise dos Erros da Interpolação Polinomial
• 3.6 Critério de Minimização do Erro Quadrático Médio
• 3.7 Critério de Minimização do Erro Máximo
• 3.8 Telescopagem de Séries
• 3.9 Problemas Propostos
• 4 Resolução Numérica de Equações em uma Variável
• 4.1 Introdução
• 4.2 Métodos Diretos
• 4.2.1 Método da Bisseção
• 4.2.2 Método de Busca Aleatória
• 4.3 Método das Substituições Sucessivas
• 4.4 Método de Newton-Raphson
• 4.5 Versões Modificadas do Método de Newton-Raphson
• 4.6 Determinação das Raízes de Polinômios de Coeficientes Reais
• 4.7 Métodos Quasi-Newton
• 4.7.1 Método da Secante
• 4.7.2 Método da Regula-Falsi
• 4.7.3 Método de Wegstein
• 4.8 Método de Müller
• 4.9 Critérios de Convergência
• 4.10 Problemas Propostos
• 5 Resolução de Sistemas de Equações Algébricas
• 5.1 Introdução
• 5.2 Análise da Solução de Sistemas Algébricos Lineares
• 5.3 Pivotamento e Método de Eliminação de Gauss
• 5.4 Método de Fatoração LU
• 5.5 Método de Thomas para Matrizes Tridiagonais
• 5.6 Métodos Iterativos para a Resolução de Sistemas Algébricos Lineares
• 5.6.1 Método de Jacobi
• 5.6.2 Método de Gauss-Seidel
• 5.6.3 Método das Sobre-Relaxações Sucessivas (SOR)
• 5.6.4 Método Fundamentado no Método do Gradiente Conjugado
• 5.7 Métodos para a Resolução de Sistemas Algébricos Não Lineares
• 5.7.1 Método de Substituições Sucessivas
• 5.7.2 Método de Newton-Raphson
• 5.7.3 Método de Broyden
• 5.7.4 Métodos de Minimização
• 5.7.5 Homotopia e Método da Continuação
• 5.8 Problemas Propostos
• 6 Integração Numérica
• 6.1 Introdução
• 6.2 Método de Integração Numérica de Newton-Cotes
• 6.2.1 Método de Simpson em Subintervalos (Regra de Simpson Composta)
• 6.2.2 Método de Romberg
• 6.3 Método de Quadratura de Gauss
• 6.3.1 Outras Formas de Quadratura
• 6.4 Métodos Numéricos para Cômputo de Integrais Duplas
• 6.4.1 Regra de Simpson Composta para Cômputo de Integrais Duplas
• 6.4.2 Regra de Romberg Composta para Cômputo de Integrais Duplas
• 6.4.3 Método da Quadratura de Gauss para Cômputo de Integrais Duplas
• 6.5 Cômputo de Integrais com Singularidades
• 6.6 Problemas Propostos
• 7 Resolução Numérica de Equações Diferenciais Ordinárias
• 7.1 Introdução
• 7.2 Métodos de Integração Tipo Euler
• 7.3 Métodos de Integração Tipo Runge-Kutta
• 7.4 Métodos de Integração de Passos Múltiplos
• 7.5 O Conceito de Rigidez em Sistemas de EDOs
• 7.6 Restrições Algébricas e o Conceito de Índice Diferencial
• 7.6.1 Problemas de Índice em Sistemas de Equações Algébrico-Diferenciais
• 7.7 Problemas Propostos
• 8 Introdução à Otimização
• 8.1 Condições de Otimalidade
• 8.1.1 Otimização sem restrição
• 8.1.2 Otimização com restrições
• 8.2 Métodos Diretos
• 8.2.1 Método da Seção Áurea
• 8.2.2 Método das Aproximações Polinomiais Sucessivas
• 8.2.3 Método de Hooke & Jeeves
• 8.2.4 Método de Busca de Limites
• 8.2.5 Método dos Poliedros Flexíveis
• 8.2.6 Métodos Não Determinísticos
• 8.3 Métodos Indiretos
• 8.3.1 Método do Gradiente
• 8.3.2 Método de Newton
• 8.3.3 Método do Gradiente Conjugado
• 8.4 Método dos Mínimos Quadrados
• 8.5 Problemas Propostos
• A Elementos de Álgebra Linear
• A.1 Conceitos Básicos
• A.2 Operações entre Matrizes
• A.3 Conceito de Posto de Matriz e a Ortogonalização de Gram-Schmidt
• A.4 Valores e Vetores Característicos de Matrizes
• A.5 Valores e Vetores Singulares
• A.6 Formas Canônicas de Matrizes
• A.7 Formas Quadráticas
• A.8 Funções de Matrizes
• A.9 Sistemas de Equações Diferenciais Lineares
• Bibliografia
• Artigos
• Livros
• Livros Complementares
• Index

1. Introdução

O objetivo deste texto é apresentar e aplicar técnicas e métodos numéricos para a resolução de problemas em processos químicos, bioquímicos e indústrias de alimentos. Os métodos apresentados estão presentes em praticamente todas as ferramentas computacionais usadas pelos engenheiros para sintetizar, analisar, controlar e otimizar tais processos. Espera-se que este texto auxilie no bom uso dessas ferramentas ou no desenvolvimento das mesmas. Geralmente os métodos numéricos são implementados nessas ferramentas através de uma linguagem de programação, usualmente FORTRAN, C ou C++, e mais recentemente Java e Python. Muitos deles podem ser encontrados em bibliotecas (ou pacotes) numéricos, tais como: LAPACK (http://www.netlib.org/lapack) – público BLAS (Basic Linear Algebra Subprograms) – público IMSL (International Mathematical and Statistical Libraries) – comercial NAG (Numerical Algorithms Group) – comercial Mas também estão disponíveis em ambientes dedicados à resolução de problemas genéricos, tais como: MATLAB, OCTAVE, SCILAB, MAPLE, MATHEMATICA, MAXIMA e MATHCAD.

1.1 Sistemas Numéricos

Como a aritmética em calculadoras e computadores emprega apenas números com uma quantidade finita de dígitos, os cálculos são executados com valores aproximados dos números verdadeiros. Para entender essa aritmética, primeiro trataremos da transformação da base decimal para a binária, usada nos processadores numéricos.

Algoritmo 1.1 — Número Inteiro (N) – uso da função int(x).

1. Identificação da maior potência de 2 contida em N, isto é, determinação de n tal que 2 n^ ≤ N < 2 n+^1 : n = int[log 2 (N)]

sendo int(x) a parte inteira de x.

1.1 Sistemas Numéricos 13

i 0 1 2 3 4 5 6 M 42,5 21 10,5 5 2,5 1 0, ai a 0 = 1 a 1 = 0 a 2 = 1 a 3 = 0 a 4 = 1 a 5 = 0 a 6 = 1

Assim: 85| 10 = 1010101 | 2 =

10  Generalizando para qualquer base: n ← int[logbase(N)] P ← N Para i = 0 , 1 , 2 , ..., n, faça M ← P/base P ← int(M) ai ← base(M − P)

Nota: a operação base[P/base − int(P/base)] é definida como “P mod base” ou mod(P, base) ou ainda P % base e resulta no resto da divisão inteira de P por base.

Algoritmo 1.3 — Número fracionário (α), entre 0 e 1.

1. Especificar o número de dígitos (Ndig)
2. Determinar os coeficientes bi, para i = 1 , 2 , ..., Ndig, tais que: α ≈

Ndig ∑ i= 1

bi 2 i M ← 2 [α − int(α)] Para i = 1 , 2 , ..., Ndig, faça P ← int(M) M ← 2 (M − P) bi ← P

 Exemplo 1.3 α = 0 , 8 a) Ndig = 8 b) i 1 2 3 4 5 6 7 8 M 1,6 1,2 0,4 0,8 1,6 1,2 0,4 0, bi b 1 = 1 b 2 = 1 b 3 = 0 b 4 = 0 b 5 = 1 b 6 = 1 b 7 = 0 b 8 = 0

Assim: 0, 8 | 10 ≈ 0 , 11001100 | 2 =

21 +^

1 22 +^

1 25 +^

1 26

10 =^0 ,^796875 |^10 

 Exemplo 1.4 α = 0 , 1 a) Ndig = 8 b) i 1 2 3 4 5 6 7 8 M 0,2 0,4 0,8 1,6 1,2 0,4 0,8 1, bi b 1 = 0 b 2 = 0 b 3 = 0 b 4 = 1 b 5 = 1 b 6 = 0 b 7 = 0 b 8 = 1

Assim: 0, 1 | 10 ≈ 0 , 00011001 | 2 =

24 +^

1 25 +^

1 28

10 =^0 ,^0976525 |^10 

A representação da aritmética de ponto flutuante em computação foi normalizada em 1985 pelo IEEE (Institute for Electrical and Electronic Engineering) através da Norma 754-1985. Definições: bit – dígito binário byte – conjunto de 8 bits word – ou palavra, é a unidade natural do computador para armazenar os números. O tamanho depende da arquitetura do computador, por exemplo: 1 word = 32 bits = 4 bytes ou 1 word = 64 bits = 8 bytes.

14 Capítulo 1. Introdução

Armazenamento de números inteiros: bit 0: indica o sinal do número, se igual a 0 (zero) número positivo e se igual a 1 número negativo; bits 1 a 31: codificação do número na base binária quando 1 word = 32 bits. bits 1 a 63: codificação do número na base binária quando 1 word = 64 bits. Desta forma o maior número inteiro possível é:

231 − 1 = 2147483647 ≈ 2 × 109 ou 263 − 1 ≈ 9 × 1018

 Exemplo 1.5 Para ilustrar essa capacidade de armazenamento, faz-se uso do problema proposto por Mordell^1 em 1954, que é a solução da equação Diophantina^2

x^3 + y^3 + z^3 = n,

com x, y e z números inteiros positivos ou negativos e n número inteiro positivo, para o caso específico de n = 42. Este problema somente foi resolvido em 2019 por Andrew Booker (Universidade de Bristol) e Andrew Sutherland (MIT), usando 1,3 milhões de horas de computação em rede e mais de 500.000 computadores no sistema Charity Engine^3 , cuja solução exata é:

(− 80538738812075974 )^3 + 804357581458175153 + 126021232973356313 = 42.

Ao realizar essa operação aritmética em um computador de 32 bits, cuja capacidade máxima de armazenamento de número inteiro é ϑ ( 109 ) e os números x, y e z da expressão acima são ϑ ( 1016 ), obtém-se um erro absoluto de 1 , 983 × 1035. Por outro lado, ao usar um computador de 64 bits, cuja capacidade máxima de armazenamento de números inteiros é ϑ ( 1019 ), o valor obtido é exato.  Armazenamento de números reais a) Precisão simples

bit 0 (s): indica o sinal do número, se igual a 0 (zero) número positivo e se igual a 1 número negativo; bits 1 a 8 (c): codificação do expoente (ou característica) de 2 do número (igual ao valor representado em binário menos 127, desta forma o maior expoente é 127 = 11111110 – 127 e o menor expoente é –126 = 00000001 – 127. Esta codificação pode ser lida removendo o bit 1 e somando o seu valor ao bit 8 para os expoentes positivos e a representação complementar para os números negativos, com o primeiro bit representando o sinal negativo. A codificação 11111111 é reservada para infinito e 00000000 para indicar que o número não está normalizado, ou seja, que o número antes da vírgula é zero e não 1); bits 9 a 31 ( f ):codificação da mantissa do número (parte fracionária do número no sistema binário). r = (− 1 )s^2 c−^127 ( 1 + f ) , quando c 6 = 0 r = (− 1 )s^2 −^127 f , quando c = 0 (forma não-normalizada)

 Exemplo 1.6 Armazenamento (normalizado) de ( 3. 5 ) 10 = ( 11. 1 ) 2 = ( 1. 11 × 21 ) 2

 (^1) Louis Joel Mordell (1888-1972). (^2) Diofanto de Alexandria (nascido entre 201 e 214 – falecido entre 284 e 298). (^3) https://phys.org/news/2019-09-sum-cubes-solvedusing-real-life.html

16 Capítulo 1. Introdução

a) se x = 0 , 3000 × 101 e x∗^ = 0 , 3100 × 101 tem-se EAx = 0 , 1 e ERx = 0 , 03333 ≈ 3 , 33% b) se x = 0 , 3000 × 10 −^3 e x∗^ = 0 , 3100 × 10 −^3 tem-se EAx = 0 , 1 × 10 −^4 e ERx = 0 , 03333 ≈ 3 , 33% c) se x = 0 , 3000 × 104 e x∗^ = 0 , 3100 × 104 tem-se EAx = 0 , 1 × 103 e ERx = 0 , 03333 ≈ 3 , 33%

Ou seja, o erro relativo leva em consideração a magnitude dos valores.  Diz-se que o número x∗^ se aproxima do valor x com t algarismos significativos corretos (ASC), ou dígitos significativos corretos, se t é o maior valor inteiro não negativo para o qual: ERx < 5 × 10 −t

Neste ponto é importante diferenciar precisão de acurácia em computação. A precisão indica o quão perto um número representa aquele número que está sendo representado, independente se este estiver correto ou não. Logo, a precisão está diretamente relacionada com a capacidade finita de armazenamento do computador, conforme discutido na Seção 1.1. A acurácia indica o quão perto um número está do valor verdadeiro do número que está sendo representado. Logo, a acurácia está relacionada com os erros da aproximação numérica (erro de arredondamento, erro de convergência do processo iterativo e erro da aproximação inerente ao método numérico). A Figura 1.1 ilustra a diferença entre acurácia e precisão.

Figura 1.1: Diferença entre acurácia e precisão.

 Exemplo 1.10 Exemplo com 4 algarismos significativos x = 0 , 1 → ERx |x| = |x − x∗| = EAx < 5 × 10 −^5 x = 100 → ERx |x| = |x − x∗| = EAx < 0 , 05 x = 10000 → ERx |x| = |x − x∗| = EAx < 5  Representando um número x em aritmética de ponto flutuante com t dígitos na base 10: x = fx × 10 e^ + gx × 10 e−t^ com 0, 1 ≤ fx < 1 e 0 ≤ gx < 1

 Exemplo 1.11 t = 4 e x = 234 , 57 , logo x = 0 , 2345 × 103 + 0 , 7 × 10 −^1 → e = 3 , fx = 0 , 2345 e gx = 0 , 7  Se o número for simplesmente truncado, o valor armazenado de x será: x∗^ = fx × 10 e, apresentando:

Erro de Truncamento Absoluto: EAx = |gx| × 10 e−t^ ≤ 10 e−t Erro de Truncamento Relativo: ERx =

∣ gx×^10

e−t fx× 10 e+gx× 10 e−t

∣ <^10

e−t | fx× 10 e| <^

10 e−t 0 , 1 × 10 e^ =^10

1 −t (^). Se o número for arredondado, o valor armazenado de x será:

x∗^ = fx × 10 e^ +

0 se gx < 0 , 5 10 e−t^ se gx ≥ 0 , 5 ,

1.2 Erros em Computação 17

apresentando Erros de Arredondamento Absoluto e Relativo dados por: i) se gx < 0 , 5: EAx = |gx| × 10 e−t^ ≤ 0 , 5 × 10 e−t e ERx =

∣ gx×^10

e−t fx× 10 e+gx× 10 e−t

∣ <^0 ,^5 ×^10

e−t | fx× 10 e| <^

0 , 5 × 10 e−t 0 , 1 × 10 e^ =^0 ,^5 ×^10

1 −t (^) = 5 × 10 −t

ii) se gx ≥ 0 , 5: EAx = |gx × 10 e−t^ − 10 e−t^ | ≤ | 0 , 5 × 10 e−t^ − 10 e−t^ | ≤ 0 , 5 × 10 e−t e ERx =

∣∣ (gx− 1 )× 10 e−t fx× 10 e+gx× 10 e−t

∣∣ < 0 , 5 × 10 e−t | fx× 10 e| <^

0 , 5 × 10 e−t 0 , 1 × 10 e^ =^0 ,^5 ×^10 1 −t (^) = 5 × 10 −t

Resumindo, se: x = fx × 10 e^ + gx × 10 e−t^ com 0 , 1 ≤ fx < 1 e 0 ≤ gx < 1 , em que t é o número de dígitos, então:

Erros de Truncamento:

Absoluto : EAx < 10 e−t Relativo : ERx < 101 −t

Erros de Arredondamento:

Absoluto : EAx < 10

e−t 2 Relativo : ERx < 10 1 −t 2 Erros nas operações algébricas fundamentais Sejam x e y dois números reais positivos que apresentam erros absolutos máximos a e b, respectivamente. Então os erros numéricos relativos em cada um desses números são: para x: p = ax e para y: q = by. As seguintes operações aplicadas a esses números são definidas: i) Soma – o maior valor que a soma x + y pode assumir é: (x + y) + (a + b) e o menor valor é: (x + y) − (a + b), assim: (x + y) − (a + b) ≤ (x∗^ + y∗) ≤ (x + y) + (a + b). Desse modo: EAx+y ≤ (a + b) e ERx+y ≤ ( |ax++by)| ii) Subtração – o maior valor que a subtração (x − y) pode assumir é: (x − y) + (a + b) e o menor valor é: (x − y) − (a + b), assim: (x − y) − (a + b) ≤ (x∗^ − y∗) ≤ (x − y) + (a + b). Desse modo: EAx−y ≤ (a + b) e ERx−y ≤ ( |ax+−by)|. iii) Produto – o maior valor que o produto (x y) pode assumir é:

(x + a) (y + b) = (x + p x) (y + q y) = x y ( 1 + p) ( 1 + q) = x y ( 1 + p + q + p q)

e o menor valor é: (x − a) (y − b) = x y ( 1 − p) ( 1 − q) = x y ( 1 − p − q + p q) Assim: x y ( 1 − p − q + p q) ≤ x∗^ y∗^ ≤ x y ( 1 + p + q + p q), ou seja: x y (p q − p − q) ≤ x∗^ y∗^ − x y ≤ x y (p q + p + q). Permitindo identificar que:

EAx y ≤ |x y| (p q + p + q) ≈ |x y| (p + q) e ERx y ≤ (p q + p + q) ≈ p + q

iv) Divisão – o maior valor que a divisão (x/y) pode assumir é:

x + a y − b

x + p x y − q y

x y

1 + p 1 − q

1 + q 1 + q

x y

1 + p + q + p q 1 − q^2

e o menor valor é: x − a y + b

x − p x y + q y

x y

1 − p 1 + q

1 − q 1 − q

x y

1 − p − q + p q 1 − q^2

Assim: x y

1 − p − q + p q 1 − q^2

x∗ y∗^

x y

1 + p + q + p q 1 − q^2

, ou seja:

1.3 Problemas Propostos 19

e) xk^ com k > 0 f) xk^ com k < 0 g) ln(x) h) ex i) cos(x) j) sen(x) k) tg(x − 1 ). Problema 1.6 Refaça o Problema 1.5 sabendo-se que no lugar dos erros absolutos são conhecidos os erros relativos de x e y iguais a 20% e 15%, respectivamente.