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Sum´ario
Apresenta¸c˜ao
Este livro come¸cou a ser escrito nos meados da d´ecada de 90. A cada nova experiˆencia realizada, alguma informa¸c˜ao era acrescentada ou retirada. O plano original sofreu modi- fica¸c˜oes cont´ınuas, geradas pela pr´opria dinˆamica dos argumentos envolvidos, e pela nossa atua¸c˜ao em cursos regulares, em programas de aperfei¸coamento de professores e em proje- tos de Inicia¸c˜ao Cient´ıfica. Do trabalho com modelagem matem´atica surgiu a maioria dos exemplos citados. A dinˆamica pr´opria da modelagem gerou a cole¸c˜ao deste material que apresentamos ao leitor preocupado com o desenvolvimento dos programas/disciplinas que tˆem a matem´atica como eixo central. Acreditamos que este livro possa ser utilizado em diversas situa¸c˜oes: como texto com- plementar para disciplinas espec´ıficas (C´alculo Diferencial e Integral, Equa¸c˜oes Diferenciais etc), como material para desenvolvimento de programas de Inicia¸c˜ao Cient´ıfica, como texto para programas de capacita¸c˜ao e aperfei¸coamento de professores ou simplesmente, para es- tudos individuais. N˜ao seria poss´ıvel, pelo menos atualmente, comparar seu conte´udo com algum programa desenvolvido em cursos regulares ou a uma coletˆanea de t´opicos constantes de alguma ementa com estrutura r´ıgida e est´atica. Deve ser visto como um projeto de ensino e aprendizagem de matem´atica onde o leitor, sem muito esfor¸co, poder´a se aventurar a construir seus pr´oprios modelos. A variedade dos modelos apresentados permite que, a partir de uma abordagem comum, os interesses diversos dos leitores possam ser enfatizados por conta pr´opria. A diversidade de aplica¸c˜oes contribuiu para que o livro n˜ao tivesse um car´ater regional no seu endere¸camento e, desde o in´ıcio, tivemos o prop´osito de transcrever nosso depoimento pessoal sobre modelagem, procurando quase sempre uma maneira simples e atraente de apresent´a-la. Os pr´e-requisitos matem´aticos utilizados na modelagem s˜ao, em geral, modestos e muitas vezes desenvolvidos na pr´opria formula¸c˜ao dos modelos, facilitando propositadamente a sua compreens˜ao por qualquer leitor, independentemente do seu interesse principal. Os projetos propostos destinam-se a verificar o aprendizado das t´ecnicas e conceitos e, principalmente, estimular o leitor a formular e analisar seus modelos. No Cap´ıtulo 1 apresentamos a conceitua¸c˜ao informal de modelagem matem´atica, sua importˆancia como estrat´egia de ensino-aprendizagem e a caracteriza¸c˜ao de alguns tipos de modelos. No Cap´ıtulo 2 tratamos das t´ecnicas mais simples de modelagem, desde a obten¸c˜ao de uma tabela de dados, passando pelo ajuste de curvas at´e a elabora¸c˜ao dos modelos. Salientamos a importˆancia da tradu¸c˜ao de uma linguagem usual para a linguagem matem´atica e vice-versa. S˜ao evidenciados termos ling¨u´ısticos como varia¸c˜ao e estabilidade, pr´oprios da maioria das situa¸c˜oes modeladas com equa¸c˜oes diferenciais e de diferen¸cas. Neste caso, procuramos utilizar os dois tratamentos matem´aticos, visando transferir os argumentos de uma matem´atica superior, como as derivadas, para conceitos mais simples, como as diferen¸cas, e que podem ser apresentados facilmente no ensino m´edio. Experiˆencias de modelagem em cursos regulares s˜ao apresentadas no Cap´ıtulo 3, na tentativa de exemplificar seu uso quando se tem um programa preestabelecido. Sugerimos
Pref´acio
Ser convidado para prefaciar um livro ´e muito honroso. Particularmente, quando o autor ´e um amigo, colega e ex-aluno. E, sobretudo, tratando-se de um dos mais conceituados especialistas na ´area, reconhecido nacional e internacionalmente, como ´e o caso de Rodney C. Bassanezi. A modelagem matem´atica ´e matem´atica por excelˆencia. As origens das id´eias centrais da matem´atica s˜ao o resultado de um processo para entender e explicar fatos e fenˆomenos observados na realidade. O desenvolvimento dessas id´eias e sua organiza¸c˜ao intelectual se d˜ao a partir de elabora¸c˜oes sobre representa¸c˜oes do real. A linguagem, desde a natural at´e uma mais espec´ıfica e formal, permite compartilhar socialmente essas id´eias, estruturando-as como teorias. Algumas dessas teorias s˜ao difundidas e incorporadas ao pensamento domi- nante, tornando-se instrumentos fundamentais para o desenvolvimento das ciˆencias. Assim ´e a matem´atica acadˆemica, desde suas origens mediterrˆaneas. Ap´os uma amplia¸c˜ao, orga- niza¸c˜ao e cr´ıtica, durante a Idade M´edia Islˆamica e Europ´eia, a matem´atica legada pelos gregos deu origem, a partir do final do s´eculo XVIII, ao instrumental do C´alculo Diferen- cial, desenvolvido inicialmente por Isaac Newton e Gottfried W. Leibniz, e sobre o qual foram constru´ıdas as bases do pensamento moderno. Muitos historiadores consideram a matem´atica a espinha dorsal da civiliza¸c˜ao moderna. A partir das teorias pode-se trabalhar outros fatos e fenˆomenos propostos pela realidade, elaborando modelos do mundo real. Mais ou menos precisos, esses modelos, devidamente calibrados e convalidados, permitem entender e explicar, com diferentes graus de precis˜ao e detalhamento, esses fatos e fenˆomenos. Modelagem ´e, portanto, matem´atica por excelˆencia. Os sistemas educacionais tˆem sido, nos ´ultimos duzentos anos, dominados pelo que se poderia chamar uma fascina¸c˜ao pelo te´orico e abstrato. Teorias e t´ecnicas s˜ao apresen- tadas e desenvolvidas, muitas vezes, sem relacionamento com fatos reais, mesmo quando s˜ao ilustradas com exemplos, geralmente artificiais. Entende-se a raz˜ao disso. A realidade ´e muito complexa. Para que se possa lidar com problemas reais, ´e necess´ario que o observador tenha grande flexibilidade e conhecimentos variados. Trabalhar com a realidade intimida, inibindo sua abordagem no ensino. Fica-se no te´orico e abstrato, mencionando que ”essas teorias e t´ecnicas servem para isso ou aquilo”e ilustrando com exemplos artificiais, manip- ulados e descontextualizados. Isso ´e particularmente notado nos cursos universit´arios de C´alculo, assim como no ensino fundamental e m´edio da matem´atica. Este livro prop˜oe um tratamento alternativo. Reconhecendo as dificuldades inerentes a abordagem de problemas e situa¸c˜oes reais, o autor dedica todo um cap´ıtuloa capacita¸c˜ao de docentes. O autor inicia este bel´ıssimo livro com um oportuno apanhado do que seriam as bases te´oricas da Modelagem Matem´atica. Faz uma breve hist´oria da emergˆencia da modelagem no ensino, da qual ele ´e um dos protagonistas, com referˆencias muito ´uteis e interessantes sobre o que se passou e vem se passando nos cen´arios nacional e internacional. As bases cognitivas sobre as quais repousa a modelagem s˜ao abordadas na justa medida para a compreens˜ao do porquˆe e das vantagens da metodologia proposta, fazendo tamb´em uma sugest˜ao de curr´ıculo que, mesmo subordinado aos programas existente, muitas vezes dif´ıceis de mudar, conduz `a
pr´atica da modelagem. A maior parte do livro ´e ocupada por modelos da realidade. As reflex˜oes te´oricas s˜ao feitas a partir de modelos. Por exemplo, o volume de um tronco de cone tem como motiva¸c˜ao as t´ecnicas, aprendidas de seus ancestrais, utilizadas por ”seu”Joaquim, um produtor de vinho de Iju´ı, RS. Um belo exemplo de Etnomatem´atica, que tem, no livro de Bassanezi, seu encontro natural com a Modelagem Matem´atica. A dinˆamica populacional das til´apias servem para introduzir Equa¸c˜oes de Diferen¸ca e conduz, naturalmente, a uma discuss˜ao da seq¨uˆencia de Fibonacci e do n´umero ´aureo, enriquecida com referˆencias hist´oricas. A preocupa¸c˜ao com a forma¸c˜ao de pesquisadores ´e igualmente presente. Um cap´ıtulo, in- teiramente dedicado `a Inicia¸c˜ao Cient´ıfica, discute a importˆancia dessa etapa na prepara¸c˜ao do futuro pesquisador. Sempre a partir de exemplos, o autor mostra as v´arias etapas da pesquisa, inclusive a busca bibliogr´afica, ilustrando com um projeto completo de ”Mode- lagem Matem´atica de Fenˆomenos Biol´ogicos”. Todas as fases do desenvolvimento de proje- tos, inclusive de sub-projetos, como, por exemplo, o modelo de crescimento em peso de aves e o modelo de enterramento de larvas de moscas, s˜ao mostradas com detalhes. O autor termina o livro deixando bem claro que n˜ao existem modelos definitivos. A modelagem ´e um processo. Um modelo de fato ou fenˆomeno real sempre pode ser melhorado. Assim justifica a discuss˜ao do ´ultimo cap´ıtulo, que intitulou “Evolu¸c˜ao de Modelos”. Sempre recorrendo a exemplos muito interessantes, Bassanezi revela sua predile¸c˜ao por modelos biol´ogicos. Como um dos introdutores da ´area de Biomatem´atica no Brasil, e um dos seus mais destacados cultores, discute modelos elaborados de dinˆamica populacional. Sem compromissar o rigor, apresenta, numa linguagem clara e muito acess´ıvel, modelos variacionais fuzzy e o cl´assico modelo de Lotka-Volterra sobre intera¸c˜ao entre esp´ecies. O livro ´e riqu´ıssimo em bibliografia, equilibrando, com excelente crit´erio, referˆencias nacionais e internacionais, e mencionando interessantes projetos no Brasil e no exterior. Rodney C. Bassanezi oferece aos alunos, professores e pesquisadores, um livro que h´a muito se fazia necess´ario, enriquecendo a bibliografia acadˆemica brasileira.
Ubiratan D’Ambrosio S˜ao Paulo, 16/04/
Cap´ıtulo 1
Modelagem Matem´atica – Um m´etodo
cient´ıfico de pesquisa ou uma estrat´egia
de ensino e aprendizagem?
“A educa¸c˜ao existe por toda parte e, muito mais do que a escola, ´e o resultado da a¸c˜ao de todo meio s´ocio-cultural sobre os seus participantes. E o exerc´´ ıcio de viver e conviver o que educa. A escola de qualquer tipo ´e apenas um lugar e um momento provis´orios onde isto pode acontecer.”
C. Brand˜ao
1.1 Introdu¸c˜ao
Lev´a-lo a gostar mais de Matem´atica ´e, leitor, o objetivo principal desse livro. Acreditamos que esse gosto se desenvolve com mais facilidade quando ´e movido por inter- esses e est´ımulos externos `a Matem´atica, vindos do ”mundo real”. A matem´atica aplicada ´e o caminho. Ao contr´ario dos que acreditam ser a matem´atica aplicada uma matem´atica inferior – onde os problemas s˜ao abordados com t´ecnicas modestas ou m´etodos computacionais que desvalorizam esta ciˆencia – pensamos que, para o desenvolvimento de um novo modelo de educa¸c˜ao menos alienado e mais comprometido com as realidades dos indiv´ıduos e sociedades, necessitamos lan¸car m˜ao de instrumentos matem´aticos interrelacionados a outras ´areas do conhecimento humano. E tamb´´ em nessa capacidade de estabelecer rela¸c˜oes entre os campos da matem´atica e os outros, evitando reproduzir modos de pensar estanques fracionados, que, a nosso ver, est´a o futuro da forma¸c˜ao de novos quadros de professores e pesquisadores, prontos a enfrentar o desafio de pensar a unidade na multiplicidade. Na pr´opria atividade de ensino, elementar e m´edio, o porquˆe de se ensinar matem´atica deve ser questionado. Os conhecimentos b´asicos de c´alculo, geometria e estruturas alg´ebricas seriam meros “jogos” destinados a desenvolver habilidades intelectuais (como ocorre com freq¨uˆencia em nossas escolas) ou deveriam ser instrumentos aplic´aveis aos usos cotidianos? Est´a pergunta ´e ainda mais relevante se considerarmos que a grande maioria dos alunos, mais tarde, saber´a utilizar ou se lembrar´a de apenas uma pequena parcela dos conhecimentos
Rodney Carlos Bassanezi 17
um luxo permitido apenas a pa´ıses desenvolvidos. Cada na¸c˜ao precisa procurar formar seus pr´oprios especialistas, e n˜ao simplesmente importar conhecimentos, programas curric- ulares e de pesquisa estrangeiros. No caso espec´ıfico da Matem´atica, ´e necess´ario buscar estrat´egias alternativas de ensino-aprendizagem que facilitem sua compreens˜ao e utiliza¸c˜ao. A modelagem matem´atica, em seus v´arios aspectos, ´e um processo que alia teoria e pr´atica, motiva seu usu´ario na procura do entendimento da realidade que o cerca e na busca de meios para agir sobre ela e transform´a-la. Nesse sentido, ´e tamb´em um m´etodo cient´ıfico que ajuda a preparar o indiv´ıduo para assumir seu papel de cidad˜ao: A educa¸c˜ao inspirada nos princ´ıpios da liberdade e da solidariedade humana tem por fim o preparo do indiv´ıduo e da sociedade para o dom´ınio dos recursos cient´ıficos e tecnol´ogicos que lhes permitem utilizar as possibilidades e vencer as dificuldades do meio. (Lei 4024 - 20/12/61)
1.2 Considera¸c˜oes sobre Modelagem Matem´atica
A ciˆencia ´e uma atividade essencialmente desenvolvida pelo ser humano que procura en- tender a natureza por meio de teorias adequadas; ainda que a natureza continue existindo e funcionando independente das teorias cient´ıficas, o homem utiliza tais teorias para avan¸car seus conhecimentos que possibilitam num futuro tomar decis˜oes e agir corretamente. A ciˆencia ´e o produto da evolu¸c˜ao mental-emocional-social da humanidade sendo pois um fenˆomeno acumulativo natural. A ciˆencia como conhecimento acumulado, depende de cod- ifica¸c˜oes e s´ımbolos associados as representa¸c˜oes orais ou visuais de comunica¸c˜oes (a¸c˜ao comum para entender, explicar e manejar a realidade), dando origema linguagem e repre- senta¸c˜ao gr´afica. “As representa¸c˜oes incorporam-se a realidade como artefatos, da mesma maneira que os mitos e s´ımbolos, sem necessidade de recursoa codifica¸c˜ao, tamb´em se in- corporam `a realidade por´em como mentefatos. Assim a realidade ´e permanentemente trans- formada pela incorpora¸c˜ao de factos (ambos artefatos e mentefactos) e eventos, os primeiros pela a¸c˜ao direta, consciente ou subconsciente, individual ou coletiva, do homem, e os segun- dos por conjun¸c˜oes que constituem o que se convencionou chamar hist´oria” (D’Ambrosio, [3]).
A matem´atica e a l´ogica, ciˆencias essencialmente formais, tratam de entes ideais, ab- stratos ou interpretados, existentes apenas na mente humana – constroem os pr´oprios ob- jetos de estudo embora boa parte das id´eias matem´aticas sejam originadas de abstra¸c˜oes de situa¸c˜oes emp´ıricas (naturais ou sociais). Tais id´eias, quando trabalhadas, enveredam-se pelo caminho do est´etico e do abstrato, e quanto mais se afastam da situa¸c˜ao de origem, maior ´e o “perigo” de que venham a se tornar um amontoado de detalhes t˜ao complexos quanto pouco significativos fora do campo da matem´atica.
Com excess˜ao das ciˆencias f´ısicas que foram valorizadas e evoluiram respaldadas por teo- rias formuladas com o aux´ılio da matem´atica, as outras ciˆencias factuais (biologia, qu´ımica, psicologia, economia, etc.),via de regra, usavam apenas a linguagem comum para exprimir as id´eias, o que geralmente resultava em falta de clareza e imprecis˜ao. A matem´atica vinha em aux´ılio destas ciˆencias, apenas na an´alise superficial dos resultados de pesquisas emp´ıricas.
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Fazia-se uso t˜ao somente de algumas ferramentas da estat´ıstica indicativa evidente de um disfarce da falta de conceitos adequados de uma matem´atica mais substancial. A ciˆencia contemporˆanea, entretanto, ´e fruto de experiˆencias planificadas e auxiliadas por teorias sujeitas `a evolu¸c˜ao. A consistˆencia de uma teoria ou sua pr´opria valida¸c˜ao tem sido dependente, muitas vezes, da linguagem matem´atica que a envolve. “Toda teoria espec´ıfica ´e, na verdade, um modelo matem´atico de um peda¸co da realidade” (Bunge, [1]). Quando se prop˜oe analisar um fato ou uma situa¸c˜ao real cientificamente, isto ´e, com o prop´osito de substituir a vis˜ao ingˆenua desta realidade por uma postura cr´ıtica e mais abrangente, deve-se procurar uma linguagem adequada que facilite e racionalise o pensa- mento.
O objetivo fundamental do “uso” de matem´atica ´e de fato extrair a parte essencial da situa¸c˜ao-problema e formaliz´a-la em um contexto abstrato onde o pensamento possa ser absorvido com uma extraordin´aria economia de linguagem. Desta forma, a matem´atica pode ser vista como um instrumento intelectual capaz de sintetizar id´eias concebidas em situa¸c˜oes emp´ıricas que est˜ao quase sempre camufladas num emaranhado de vari´aveis de menor importˆancia.
O crescimento cient´ıfico pode se dar em superf´ıcie, expandindo por acumula¸c˜ao, gen- eralizala¸c˜ao e sistematiza¸c˜ao (processo baconiano) ou ent˜ao em profundidade com a in- trodu¸c˜ao de novas id´eias que interpretam as informa¸c˜oes dispon´ıveis (processo newtoniano). A aplica¸c˜ao correta da matem´atica nas ciˆencias factuais deve aliar de maneira equilibrada a abstra¸c˜ao e a formaliza¸c˜ao, n˜ao perdendo de vista a fonte que originou tal processo. Este procedimento construtivo conduz ao que se convencionou chamar de Matem´atica Aplicada, e teve seu in´ıcio declarado (nas ciˆencias n˜ao-f´ısicas) no come¸co do s´eculo XX, ganhando for¸ca ap´os a segunda guerra mundial com o interesse marcado pelo aprofundamento das pesquisas na busca da teoriza¸c˜ao em campos mais diversos. O m´etodo cient´ıfico passou a ser constituido da mistura de aud´acia especulativa com a exigente compara¸c˜ao emp´ırica, e as teorias obtidas passaram a constituir sistemas de afirma¸c˜oes com os quais se pode inferir outras afirma¸c˜oes, quase sempre com ajuda da matem´atica ou da l´ogica. A unifica¸c˜ao e esclarecimento de toda ciˆencia, ou de todo conhecimento foi preconizado pelo m´etodo da raz˜ao, vislumbrado no sonho de Descartes e transmitido no seu c´elebre “Discurso sobre o m´etodo de bem conduzir a raz˜ao na busca da verdade”, de 1637. A busca do conhecimento cient´ıfico, em qualquer campo, deve consistir, essencialmente, em:
- Aceitar somente aquilo que seja t˜ao claro em nossa mente, que exclua qualquer d´uvida;
- dividir os grandes problemas em problemas menores;
- argumentar, partindo do simples para o complexo; e
- verificar o resultado final.
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predominantes s˜ao a estabilidade e a homogeneidade das vari´aveis. Tal representa¸c˜ao pode ser pict´orica (um desenho, um esquema compartimental, um mapa, etc.), con- ceitual (f´ormula matem´atica), ou simb´olica. A representa¸c˜ao por estes modelos ´e sempre parcial deixando escapar varia¸c˜oes individuais e pormenores do fenˆomeno ou do objeto modelado. Um modelo epidemiol´ogico (sistema de equa¸c˜oes diferenciais) que considera o grupo de infectados como sendo homogˆeneo onde todos os seus elementos tˆem as mesmas propriedades ´e um exemplo de um modelo objeto; Um desenho para representar o alv´eolo usado pelas abelhas ´e tamb´em um modelo deste tipo.
- Um modelo te´orico ´e aquele vinculado a uma teoria geral existente – ser´a sempre con- struido em torno de um modelo objeto com um c´odigo de interpreta¸c˜ao. Ele deve conter as mesmas caracter´ısticas que o sistema real, isto ´e, deve representar as mes- mas vari´aveis essenciais existentes no fenˆomeno e suas rela¸c˜oes s˜ao obtidas atrav´es de hip´oteses (abstratas) ou de experimentos (reais).
Chamaremos simplesmente de Modelo Matem´atico um conjunto de s´ımbolos e rela¸c˜oes matem´aticas que representam de alguma forma o objeto estudado. Cada autor se aventura dar uma defini¸c˜ao de modelo matem´atico. Por exemplo, para McLone [20] “um modelo matem´atico ´e um construto matem´atico abstrato, simplificado que representa uma parte da realidade com algum objetivo particular”. Ferreira Jr. [30], apresenta uma defini¸c˜ao generalizada de modelo matem´atico a partir de uma abordagem abstrata dos conceitos b´asicos de dimens˜ao, unidade e medida. A importˆancia do modelo matem´atico consiste em se ter uma linguagem concisa que expressa nossas id´eias de maneira clara e sem ambiguidades, al´em de proporcionar um arsenal enorme de resultados (teoremas) que propiciam o uso de m´etodos computacionais para calcular suas solu¸c˜oes num´ericas. Os modelos matem´aticos podem ser formulados de acordo com a natureza dos fenˆomenos ou situa¸c˜oes analisadas e classificados conforme o tipo de matem´atica utilizada:
i. Linear ou n˜ao-linear, conforme suas equa¸c˜oes b´asicas tenham estas caracter´ısticas;
ii. Est´atico, quando representa a forma do objeto – por exemplo, a forma geom´etrica de um alv´eolo; ou Dinˆamico quando simula varia¸c˜oes de est´agios do fenˆomeno – por exemplo, crescimento populacional de uma colm´eia.
iii. Educacional, quando ´e baseado em um n´umero pequeno ou simples de suposi¸c˜oes, tendo, quase sempre, solu¸c˜oes anal´ıticas. O modelo presa-predador de Lotka-Volterra ´e um exemplo t´ıpico de tais modelos. O m´etodo empregado por tais modelos envolve a investiga¸c˜ao de uma ou duas vari´aveis, isoladas da complexidade das outras rela¸c˜oes fenomenol´ogicas. Geralmente estes modelos n˜ao representam a realidade com o grau de fidelidade adequada para se fazer previs˜oes. Entretanto, a virtude de tais modelos est´a na aquisi¸c˜ao de experiˆencia e no fornecimento de id´eias para a formula¸c˜ao de modelos mais adequados `a realidade estudada; ou Aplicativo ´e aquele baseado em hip´oteses real´ısticas e, geralmente, envolve interrela¸c˜oes de um grande n´umero de vari´aveis,
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fornecendo em geral sistemas de equa¸c˜oes com numerosos parˆametros. Neste caso, um tratamento anal´ıtico pode ser imposs´ıvel e os m´etodos utilizados para obten¸c˜ao das solu¸c˜oes devem ser computacionais. E quanto mais complexo for o modelo, mais dif´ıcil ser´a mostrar sua validade, isto ´e, que ele descreve a realidade!
A trat´oria
Muitos problemas que serviram para testar m´etodos matem´aticos ou estimular desafios e competi¸c˜oes entre matem´aticos nos s´eculos XVII e XVIII, tiveram sua origem na observa¸c˜ao de processos mecˆanicos, geralmente simples. O estudo de curvas especiais que servissem para modelar tais fenˆomenos f´ısicos, proporcionou o de- senvolvimento tanto da Mec˜anica como do pr´oprio C´alculo Diferencial e Integral. No rol das curvas que surgiram na ocasi˜ao, podemos citar a caten´aria, a braquist´ocrona, a vel´aria, a trat´oria entre outras tantas. Destas, a trat´oria ´e a menos conhecida atualmente. Acredita-se que o problema que a originou tenha sido proposto por C. Perrault por volta de 1670 que, para ilustrar a quest˜ao, puxava seu rel´ogio de bolso, apoiado sobre uma mesa, pela corrente. Movendo a ponta da corrente sobre a borda da mesa, o rel´ogio descrevia uma curva que tendia a borda, era a trat´oria. Para a obten¸c˜ao da equa¸c˜ao da trat´oria, basta entender que, durante o movimento de arrasto do rel´ogio, a corrente est´a sempre tangentea trajet´oria descrita pelo rel´ogio. Tamb´em, a distˆancia entre o ponto de tangˆencia (rel´ogio) e o eixo-x (borda da mesa), sobre a reta tangente (corrente), ´e constante (comprimento da corrente esticada). A tradu¸c˜ao desta linguagem para a linguagem matem´atica permite descrever o fenˆomeno pelo modelo:
dy dx = − y √ a^2 − y^2
cuja solu¸c˜ao ´e a trat´oria.
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y
a y a
x x V´arios matem´aticos estudaram e escreveram sobre a trat´oria, entre eles, J. Bernoulli, L’Hopital e Huygens (1670/90)a.
aBos, H.J.M.-O “C´alculo no S´eculo XVIII: T´ecnicas e Aplica¸c˜oes”. Edit. UnB, unid. 5, 1985, pp. 29-30.
iv. Estoc´astico ou Determin´ıstico, de acordo com o uso ou n˜ao de fatores aleat´orios nas equa¸c˜oes.
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corre¸c˜oes, algumas emp´ıricas. A dinˆamica de popula¸c˜oes de diferentes esp´ecies, pressup˜oe inicialmente, seus crescimentos independentes para se obter as respectivas taxas de repro- dutividade. No entanto, tais parˆametros podem ser redimensionados quando as esp´ecies convivem num mesmo habitat. Enquanto a Biof´ısica, que possui uma filosofia basicamente reducionista, tenta reduzir os fenˆomenos biol´ogicos a simples processos f´ısico-qu´ımicos, para deduzir o comportamento de um sistema complexo pelo estudo dos comportamentos indiv´ıduais dos componentes isola- dos, a Biomatem´atica procura analisar a estrutura do sistema de maneira global, tentando preservar as caracter´ısticas biol´ogicas essenciais. Quando modelamos um sistema complexo, considerando partes isoladas deste sistema e ignorando as interrela¸c˜oes dos sub-modelos, podemos obter um conjunto de modelos v´alidos do ponto de vista microsc´opico (para cada por¸c˜ao isolada) mas que, globalmente, podem n˜ao representar o sistema completo. O poema de J.G. Saxe (1816-1877) d´a uma id´eia do que pode ocorrer quando um modelo ´e obtido a partir de sub-modelos que n˜ao est˜ao interrelacionados corretamente (veja Bender, 1978, [14]).
Subida e Descida:Litografia de M.C.Escher de 1960. Quando os resultados parciais n˜ao est˜ao corretamente interrelacionados o modelo do todo se torna imposs´ıvel.
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The Blind Men and the Elephant
It was six men of Indostan The Fourth reached out an eager hand, To learning much inclined, And left about the knee. Who went to see the Elephant “What most this wondrous beast is like (Though all of them were blind), Is mighty plain”, quoth he; That each by observation “’Tis clear enough the Elephant Might satisfy his mind. Is very like a tree!”
The first approached the Elephant, The Fifth who chanced to touch the ear, And happening to fall Said: “E’en the blindest man Against his broad and study side, Can tell what this resembles most; At once began to bawl: Deny the fact who can, “God bless! but the Elephant This marveed of an Elephant Is very like a wall!” Is very like a fan!”
The Second, feeling of the tusk, The sixth no sooner had begun Cried, “Ho! what have we here About the beast to grope, So very round and smooth and sharp? Than, seizing on the swinging tail To me ’tis mighty clear That fell within his scope, This wonder of an Elephant “I see,” quoth he, “the Elephant Is very like a spear!” Is very like a rope!”
The third approached the animal And so these men of Indostan And happening to take Disputed loud and long The squirming trunk within his hands, Each in his own opinion Thus boldly up an and spoke: Exceeding stiff and strong. “I see,” quoth he, “the Elephant Though each was partly in the right Is very like a Snake!” And all were in the wrong!
John Godfrey Saxe (1816–1887) Reprinted in Engineering Concepts Curriculum Project
Modelagem Matem´atica ´e um processo dinˆamico utilizado para a obten¸c˜ao e valida¸c˜ao de modelos matem´aticos. E uma forma de abstra¸´ c˜ao e generaliza¸c˜ao com a finalidade de previs˜ao de tendˆencias. A modelagem consiste, essencialmente, na arte de transformar situa¸c˜oes da realidade em problemas matem´aticos cujas solu¸c˜oes devem ser interpretadas na linguagem usual. A modelagem ´e eficiente a partir do momento que nos concientizamos que estamos sem- pre trabalhando com aproxima¸c˜oes da realidade, ou seja, que estamos elaborando sobre representa¸c˜oes de um sistema ou parte dele. N˜ao ´e nossa inten¸c˜ao neste livro fazer uma apologia da modelagem matem´atica como instrumento de evolu¸c˜ao de outras ciˆencias. Pretendemos simplesmente mostrar, atrav´es
