Modelos Discretos de probabilidade, Notas de estudo de Probabilidade

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ESTATÍSTICA I

Professora

Kelly Alonso

Vari Vari

á á

veis Aleat veis Aleat

óó

rias e Principais Modelos Discretosrias e Principais Modelos Discretos

Email: [email protected]

2

Fun Fun

ç ç

ão de Distribui ão de Distribui

ç ç

ão Acumulada ão Acumulada

A função de distribuição ou função de distribuição

acumulada de uma variável aleatória X é definida, paraqualquer valor real x, pela seguinte expressão:

)

(

)

(

x

X

P

x

F

≤

=

Assim, para todo x pertencente aos números reais,

a

função

de

distribuição

acumulada

descreve

a

probabilidade de ocorrer um valor até x.

Observe que o domínio de F é todo o conjunto dos

números reais, ao passo que o contradomínio é o intervalo[0,1].

A função de distribuição acumulada será dada por:

3

s

,

1

3

2

se

,

944

,

0

2

1

se

,

653

,

0

1

0

se

,

203

,

0

0 e , 0 ) (

≥

<

≤

<

≤

<

≤

<

=

x

e

x

x

x

x

s

x

F

0

1

3

2

0.9440.

1

x

F(x)

Distribui Distribui

ç ç

ão de Bernoulli ão de Bernoulli

Na prática muitos experimentos admitem apenas dois resultadosExemplo:1.

Uma peça é classificada como boa ou defeituosa;

O resultado de um exame médico para detecção de uma doençaé positivo ou negativa.

Um entrevistado concorda ou não com a afirmação feita;

No lançamento de um dado ocorre ou não face 6;

No lançamento de uma moeda ocorre cara ou coroa.

Estas

situações

tem

alternativas

dicotômicas

e

podem

ser

representadas genericamente por resposta do tipo

sucesso-fracasso.

Esses experimentos recebem o nome de

Ensaios

de Bernoulli

e

originam uma v.a. com distribuição de Bernoulli.

Distribui Distribui

ç ç

ão Binomial ão Binomial

Na maior parte dos casos estudados, são realizados

n

ensaios de

Bernoulli.

O

interesse

está

no

número

X

de

ocorrências

de

sucesso.A distribuição Binomial consta de

n

experimentos de Bernoulli, no

qual:

n

é fixo

• os experimentos são independentes- as probabilidades de sucesso e falha são constantes para cadaexperimentoNessa distribuição estamos interessados na quantidade de sucessos enão na

ordem em que eles acontecem.

Número de formas de se obter x sucessos em um total de

n

:

(

)

x

n

x

n

x

n

C

x

n

Distribui Distribui

ç ç

ão Binomial ão Binomial

Logo temos que a Distribuição Binomial é dada por:

[

]

n

x

q

p

x

n

x

X

P

x

n

x

−

[

]

np

X

E

=

=

μ

[

]

npq

X

Var

=

=

2

σ

Média:

Variância:

Distribui Distribui

ç ç

ão Binomial ão Binomial

Exemplo 2:

A probabilidade dos pais com certo tipo de olhos

azuis-castanhos terem um filho com olhos azuis é 1/4. Se umafamília desse tipo tem 4 filhos, qual a probabilidade de:

a) Ter exatamente 1 filho com olhos azuis?b) No máximo 1 filho tenha olhos azuis?c) Qual o valor esperado de filhos com olhos azuis?

4

=

n

4

1

=

p

Solução:

Temos que

e

. Seja X o número de filhos com olhos azuis.

) 1 = X P (

)

3

X

P

a) Para ter exatamente 1 filho com olhos azuis faremos

.

Pela distribuição Binomial:

Distribui Distribui

ç ç

ão Binomial ão Binomial

) 1 ≤ X P (

256 189

27 64

256

81

1

256

81

3 4

4 1

4 0

0

1

0

1

4

0

=

=

≤

=

 

 

 

 





=

=

= + = = ≤ X P

X

P

x P x P X P

b) Queremos saber

, então:

mas

c) O valor esperado de filhos com olhos azuis é:

[ ]

1

1 4

4

=

×

=

×

=

p

n

x

E

Exemplo 1: De

10 professores da UFF, 5 estão na universidade

há

mais

de

4

anos.

Se

6

professores

são

escolhidos

aleatoriamente deste grupo, qual a probabilidade que exatamente3 estejam na UFF há mais de 4 anos?

Distribui Distribui

ç ç

ão ão

HIPERGEOM HIPERGEOM

É É

TRICA TRICA

Solução:

Temos que

5

5

,

6

,

10

=

−

=

=

=

r N e r n N

Seja X o número de professores escolhidos. A probabilidade de terexatamente 3 professores na UFF há mais de 4 anos é:

[

]

476

,

0

6

10

5 3

5 3

3

=

   

  

  

  

  

  

=

=

X

P

Exemplo 2: Placas de vídeo são expedidas em lotes de 30 unidades.Antes

que

a

remessa

seja

aprovada,

um

inspetor

escolhe

aleatoriamente cinco placas do lote e as inspeciona. Se nenhumadas placas inspecionadas for defeituosa, o lote é aprovado. Se umaou mais forem defeituosas, todo o lote é inspecionado. Supondoque haja três placas defeituosas no lote, qual é a probabilidade deque o controle da qualidade aponte para a inspeção total? X: Número de placas defeituosas na amostra

4335

,

0

5665

, 0 1 ) 1 ( ,

5665

,

0

5

30

5

27

5

30

0

5

3

30

3 0

)

0

(

) 0 ( 1 ) 1 (

=

−

=

≥

=

  

  

  

  

=

  

  

  

  

−

−

  

  

=

=

−

=

≥

X

P

Logo

p

X

P

X

P

A probabilidade de que o controle da qualidade aponte para a

inspeção total é de 0,4335.

16

Distribui Distribui

ç ç

ão de Poisson ão de Poisson

Siméon Denis

Poisson

(1781-1840)

Distribuição

adequada

para

descrever eventos raros, porém com umgrande número de tentativas.Exemplos: decaimento radiativo, picadade um mosquito infectado com a malária.

Na prática muitos experimentos consistem em observar a

ocorrência

de

eventos

discretos

em

um

intervalo

contínuo

(unidade de medida).

Distribui Distribui

ç ç

ão de Poisson ão de Poisson

Exemplos:

Número de consultas a uma base de dados em um minuto.

Número de casos de Dengue por

quilômetro quadrado

no estado

de SP.

Número de machas (falhas) por

metro quadrado

no esmaltado de

uma geladeira.

Número de chamadas que chegam a uma central telefônica deuma empresa num

intervalo de tempo

(digamos das 8,0 a.m. às

12,0 a.m.).

Número de autos que chegam ao Campus entre

7,0 a.m. a 10,

a.m.

Distribui Distribui

ç ç

ão de Poisson ão de Poisson

• A

ocorrência

dos

eventos

é

independente,

ou

seja,

a

ocorrência de um evento em um intervalo de tempo ou espaçonão tem efeito sobre a probabilidade de ocorrência de umsegundo evento;• Teoricamente, um número infinito de ocorrências deve serpossível no intervalo;• A probabilidade de uma única ocorrência do evento, em umdado intervalo, é proporcional ao tamanho do intervalo;• Em uma porção infinitesimal do intervalo, a probabilidade demais de uma ocorrência do evento é desprezível.

Distribui Distribui

ç ç

ão de Poisson ão de Poisson

Exemplo 1: Supondo que as consultas num banco de dadosocorrem

de

forma

independente

e

aleatória,

com

uma

taxa

média de três consultas por minuto, calculemos a probabilidadede

que

no

próximo

minuto

ocorram

menos

do

que

três

consultas.

Solução:

Seja X o número de consultas por minuto. Então:

[

]

[

]

4232

, 0! 2 3! 1 3! 0 3 3

) 2 ( ) 1 ( ) 0 ( 3

3 2 3 1 3 0

=

=

<

=

=

<

−

−

−

e

e

e

X

P

p

p

p

X

P

A probabilidade de que no próximo minuto ocorram menos do

que três consultas é de 0,4232.

[

]

,...

2

,

1

,

0

;

!

=

=

=

−

x

x

e

x

X

P

x

λ

λ