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Considere um móvel percorrendo no sentido
anti-horário a trajetória circular de raio R, a partir
da origem O. No instante t, o móvel se encontra na
posição P. O arco da circunferência (s), corresponde
ao espaço percorrido pelo móvel, e o ângulo ϕ ,
formado na trajetória OP, é chamado de ângulo
horário ou ângulo de fase , e serve para localizar o
móvel sobre a trajetória.
O ângulo ϕ é obtido através da equação
No movimento circular, o ângulo de fase é sempre
mensurado em radianos (rad).
O espaço percorrido (s) pelo móvel na trajetória
circular é dado por:
Considere um móvel percorrendo uma trajetória circular (figura acima) a partir da origem (O).
O ângulo ϕ 1 é o ângulo horário correspondente ao
deslocamento s 1 sofrido pelo móvel ao partir de O
até a posição P 1 no instante t 1
O ângulo ϕ 2 é o ângulo horário correspondente ao
deslocamento s 2 sofrido pelo móvel ao partir de O
até a posição P 2 no instante t 2
UNIVERSIDADE ESTADUAL DE MARINGÁUNIVERSIDADE ESTADUAL DE MARINGÁ UNIVERSIDADE ESTADUAL DE MARINGÁUNIVERSIDADE ESTADUAL DE MARINGÁ
CAMPUS REGIONAL DE UMUARAMACAMPUS REGIONAL DE UMUARAMACAMPUS REGIONAL DE UMUARAMACAMPUS REGIONAL DE UMUARAMA
DEPARTAMENTO DE TECNOLOGIADEPARTAMENTO DE TECNOLOGIADEPARTAMENTO DE TECNOLOGIADEPARTAMENTO DE TECNOLOGIA
C CIINNEEMMÁÁTTIICCAA EE DDIINNÂÂMMIICCAA NNOO
M MOOVVIIMMEENNTTOO CCIIRRCCUULLAARR
Movimento Circular
s = ϕ. R
Professor: Fábio CostaProfessor: Fábio Costa^ Professor: Fábio CostaProfessor: Fábio Costa
R
s ϕ =
A variação angular ∆ ϕ entre as posições P 1 e P 2 é
obtida através da equação ∆ϕ =ϕ 2 − ϕ 1.
Conseqüentemente, teremos também uma variação
no deslocamento do móvel, dada por ∆ s = s 2 − s 1.
Assim, poderemos encontrar a velocidade com que
o móvel percorre o caminho entre os pontos P 1 e P 2 ,
chamada de velocidade angular média ( ω m ),
através da equação:
t
m ∆
ϕ ω
Ao se fazer o móvel percorrer a trajetória em um
intervalo de tempo extremamente pequeno
( ∆ t → 0 ), a variação angular sofrida pelo móvel
também será pequena, assim, surge a velocidade
angular instantânea ( ω )
dt
d
t t t m
ϕ ϕ ω ω = ∆
∆ → 0 ∆→ 0
lim lim
A unidade de medida no Sistema Internacional de
velocidade angular é o radiano por segundo (rad/s).
Exemplo : Um corpo se movimenta em trajetória
circular no sentido anti-horário. Nos instantes 3s e
5s suas posições são, respectivamente, 30º e 120º.
Calcular: (a) o ângulo descrito nesse intervalo de
tempo; (b) a velocidade angular média.
Solução : do enunciado do problema precisamos
descobrir o intervalo de tempo transcorrido para o
corpo percorrer a trajetória e também a variação
angular entre o intervalo de tempo mencionado,
logo
t (^) 1 = 3 s t (^) 2 = 5 s
∆ t = t 2 − t 1 = 5 − 3 = 2 s
ϕ 1 = 30 º ϕ 2 = 120 º
∆ϕ=ϕ 2 − ϕ 1 = 120 − 30 = 90 º
(a) Para obter o ângulo descrito devemos transformar graus em radianos, portanto π rad → 180 º
∆ ϕ → 90 º
180 º.∆ ϕ = 90 º. π rad
90 º. π rad ∆ ϕ =
1 π rad ∆ ϕ =
rad 2
π ∆ ϕ =
(b) Sabendo a variação angular em radianos podemos encontrar a velocidade angular média, logo
t
m ∆
ϕ ω
π
ω (^) m =
π ω (^) m =
m rad /^ s 4
π ω =
Relação entre velocidade escalar e velocidade angular Considere um móvel descrevendo, no sentido anti- horário, a trajetória circular conforme indicado na última figura. Assim, podemos escrever:
R
∆ s ∆ ϕ =
∆ s =∆ ϕ. R
(dividindo ambos os membros da equação acima por ∆ t )
R
t t
s . ∆
∆ ϕ
Por definição em tópicos anteriores,
v t
s
∆
ω
ϕ
∆
t logo v = ω. R
Movimento circular uniforme O movimento das extremidades dos ponteiros de um relógio ou de um CD sendo executado, ou ainda, das pás de um ventilador é dito movimento circular
v = 8 π. 0 , 5
v = 4 π m / s
ou v = 4. 3 , 14
v = 12 , 56 m / s
Aceleração centrípeta
No movimento circular uniforme o vetor velocidade
é constante em módulo, mas é variável em direção.
| v 1 |=| v 2 |= v
Como existe variação do vetor velocidade, existe
aceleração.
A aceleração a , é dada por
t ∆ t
v v 2 v 1 a
Se o vetor aceleração a tiver a mesma direção e o
mesmo sentido de ∆ v , então o vetor aceleração
será dirigido para o centro da circunferência, e será
chamado de aceleração centrípeta ou aceleração
normal, indicado por a cp^.
O módulo da aceleração centrípeta é dado por:
R
v acp
2 = ou acp R
2 = ω
onde v é a velocidade escalar, R é o raio da
trajetória e ω é a velocidade angular.
A aceleração centrípeta tem por função variar a direção do vetor velocidade mantendo o móvel sobre a circunferência, produzindo o movimento circular. Em cada posição do móvel o vetor a cp é perpendicular ao vetor v e dirigido para o centro da circunferência.
Exemplo : A Lua gira em torno da Terra, completando uma revolução em 27,3 dias. Suponha que sua órbita seja circular e tenha um raio de 385.000km. Determinar a aceleração da Lua nesse movimento. Solução : Precisamos transformar para segundos o tempo que a Lua gasta para completar uma revolução, logo 1 hora = 60 minutos 1 minuto = 60 segundos 1 hora = 60 min.60 seg = 3600 segundos 1 dia = 24 horas 1 dia = 24. 3600 = 86400 segundos Portanto, 27,3 dias = 27,3. 86400 = 2358720 segundos ou aproximadamente 2,36 X 10
6
segundos. O raio é 385000km ou 3,85 X 10
8 km. Como a órbita é suposta circular e o movimento da Lua é uniforme, temos que a aceleração dela é centrípeta, logo:
acp R
2 = ω
R
T
acp
2 2
π
2
6
acp =
6 2
2 acp =
acp = 12
12
8
acp =
812 27 , 3. 10
− acp =
4 27 , 3. 10
− acp =
2 acp ≅ 0 , 00273 m / s
Função horária angular Consideremos um móvel realizando um movimento circular uniforme na trajetória indicada na figura. Sabemos que a função horária linear é dada por:
s = s 0 + vt
Ao dividirmos toda a equação anterior por R,
teremos:
t R
v
R
s
R
s = +
0
Sabemos que R
s ϕ = e R
v ω = , logo R
s 0 ϕ 0 = , e
assim, a função horária angular será
ϕ = ϕ 0 + ω t
Em que: ϕ é a fase ou posição angular, ϕ 0 é a fase
inicial ou posição inicial e ω é a velocidade
angular.
Esta função que relaciona o ângulo descrito com o
tempo é chamada de função angular do movimento
circular uniforme (MCU).
Exemplo : Dois móveis, A e B, percorrem a mesma
pista circular com movimentos uniformes, partindo
do mesmo ponto e caminhando no mesmo sentido.
Determinar as velocidades angulares desses móveis,
sabendo que 0,5s após a partida eles se alinham pela
primeira vez com o centro da pista, e que a
velocidade angular de B é o triplo da de A.
Solução : Esquematizando o problema
ϕ (^) B − ϕ A = π
ω (^) Bt − ω At = π
3 ω (^) A. 0 , 5 − ω A. 0 , 5 = π
1 , 5 ω (^) A − 0 , 5 ω A = π
ω (^) A = π rad / s
Logo, ω (^) B = 3 ω A
ω (^) B = 3 π rd / s
Acoplamento de polias
a) Acoplamento por correia ou corrente
Considere duas polias acopladas conforme indica a
figura, através de uma correia ou corrente.
Em que: R (^) A é o raio da polia A; RB é o raio da
polia B; v (^) A é a velocidade escalar de um ponto
periférico da polia A e v (^) B é a velocidade escalar de
um ponto periférico da polia B. Admitindo-se que a correia ou corrente seja inextensível, todos os seus pontos têm a mesma velocidade escalar. Admitindo-se também que não haja escorregamento, os pontos periféricos de cada polia têm a mesma velocidade escalar, que é igual à
velocidade escalar da correia, isto é, v (^) A = v B.
Exemplo : seja RA = 60cm e RB = 10cm. Sabendo
que f (^) A = 20rpm, determinar o número de rotações
da polia B.
Solução : temos que v (^) A = v B , logo
ω (^) A RA = ω BR B
2 π fA RA = 2 π fBR B
f (^) A RA = fBR B
- 60 = fB. 10
fB =
f (^) B = 120 rpm
b) Acoplamento com mesmo eixo Consideremos duas polias associadas coaxialmente, conforme indica a figura.
Neste caso, os pontos A e B descrevem o mesmo ângulo central ϕ , no mesmo intervalo de tempo.
Para este tipo de acoplamento, temos que a velocidade angular de um ponto periférico da polia A é igual à velocidade angular de um ponto periférico da polia B, isto é,
ω (^) A = ω B
Exemplo : As polias indicadas na figura acima giram coaxialmente. Sabendo-se que RA = 20cm, RB = 60cm e que a velocidade escalar de um ponto
2 − NA =
10000 − NA = 100. 25
10000 − NA = 2500
NA = 10000 − 2500
N A = 7500 N
No ponto B
N (^) B − P = F cp
B
B B R
v N mg m
2 − =
2 NB − =
NB − 10000 = 50. 25
NB = 10000 + 1250
NB = 11250 N
