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No¸c˜oes de Probabilidade e Estat´ıstica
Resolu¸c˜ao dos Exerc´ıcios ´Impares
CAP´ITULO 2
Felipe E. Barletta Mendes
8 de outubro de 2007
Exerc´ıcios da se¸c˜ao 2.
1 Para cada um dos casos abaixo, escreva o espa¸co amostral correspondente e conte seus elementos.
(a) Uma moeda ´e lan¸cada duas vezes e observam-se as faces obtidas. Ω = (CC, CK, KC, KK), c sendo cara e k sendo coroa.
(b) Um dados ´e lan¸cado duas vezes e a ocorrˆencia de face par ou ´ımpar ´e obervada. Ω = (P P, P I, IP, II)
(c) Uma urna cont´em 10 bolas azuis e 10 vermelhas cm dimens˜oes rigoro- samente iguais. Trˆes bolas s˜ao selecionadas ao acaso, com reposi¸c˜ao e as cores s˜ao anotadas. Ω = (V V V, AAA, AAV, AV A, V AA, AV V, V AV, V V A)
(d) Dois dados s˜ao lan¸cados simultaneamente e estamos interessados na soma das faces observadas. Ω = (2, 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 , 10 , 11 , 12)
(e) Em uma cidade, fam´ılias com trˆes crin¸cas s˜ao selecionadas ao acaso, anotando-se o sexo de cada uma. Ω = (M M M, M M F, M F M, F M M, M F F, F M F, F F M, F F F )
(f) Uma m´aquina produz 20 pe¸cas por hora, escolhe-se um instante qual- quer e observa-se o n´umero de defeituosas n apr´oxima hora. Ω = (0, 1 , 2 , 3 , 4 , ......., 20)
(g) Uma moeda ´e lan¸cada consecutivamente at´e o aparecimento da pri- meira cara. Ω = (C, KC, KKC, KKKC, .....)
3 Uma Universidade tem 10 mil alunos dos quais 4 mil s˜ao considerados esportistas. Temos, ainda, que 500 alunos s˜ao do curso de biologia diurno, 700 da biologia noturno, 100 s˜ao esportistas e da biologia diurna e 200 s˜ao esportistas e da biologia noturno. Um aluno ´e escolhido, ao acaso, e pergunta-se a probabilidade de:
Bilogia Noturno Biologia Diurno Outros Total Esportista 200 100 3700 4000 N˜ao Esportista 500 400 5100 6000 Total 700 500 8800 10000
(a) Ser esportista P (E) = 0. 4
(b) Ser esportista e aluno da biologia noturno P (E ∩ N ) = P (E) ∗ P (N ) = 0. 02
(c) N˜ao ser da biologia 1 − P (N ∩ D) = P (O) = 0. 88
(d) Ser esportista ou aluno da biologia P (E ∪ B) = P (E) + P (B) − P (E ∩ B) = 0.4 + 0. 12 − 0 .03 = 0. 49
(e) N˜ao ser esportista nem aluno da bilogia P (1 − P (E) ∩ O) = P (1 − P (E)) ∗ P (O) = (1 − 0 .4) ∗ 0 .88 = 0. 52
5 Dois processadores tipos A e B s˜ao colocados em teste por 50 mil horas. A probabilidade de que um erro de c´alculo aconte¸ca em um processador do tipo A ´e de 1 sobre 30, no tipo B, 1 sobre 80 e, em ambos, 1 sobre
- Qual a probabilidade de que:
(a) Pelo menos um dos processadores tenha apresentado erro? P (A ∪ B) = P (A) + P (B) − P (A ∩ B) = 0.0333333333333333 +
- 0125 − 0 .001 = 0. 04483
(b) Nenhum processador tenha apresentado erro? Pela lei de Morgan da Teoria dos conjuntos: P (A∩B) = P (A ∪ B) =
- 95517
(c) Apenas o processador A tenha apresentado erro? P (A∩B) = P (A)∗P (B) = 0. 0333333333333333 ∗ 0 .9875 = 0. 0329166666666667
(d) A probabilidade de dois resultados iguais. P (CC ∪ KK) = P (CC) + P (KK) = 0, 64 + 0, 04 = 0, 68
5 Pe¸cas produzidas por uma m´aquina s˜ao classificadas como defeituosas(D), recuper´aveis(R) ou perfeitas(P) com probabilidade de 0,1; 0,2 e 0,7; respec- tivamente. De um grande lote, foram sorteadas duas pe¸cas com reposi¸c˜ao. Calcule:
(a) P(Duas serem defeituosas). P (D ∩ D) = P (D) ∗ P (D) = 0, 1 ∗ 0 , 1 = 0, 01
(b) P(Pelo menos uma ser perfeita). P (P P ∪ P D ∪ DP ∪ P R ∪ RP ) = P (P P ) + P (P D) + P (DP ) + P (P R) + P (RP ) = 0, 49 + 0, 07 + 0, 07 + 0, 14 + 0, 14 = 0, 91
(c) P(Uma ser recuper´avel e uma ser perfeita). P (R ∩ P ) ∪ P (P ∩ R) = P (R) ∗ P (P ) + P (P ) ∗ P (R) = 0, 14 + 0, 14 = 0 , 28
7 Numa cidade do interior de S˜ao Paulo, estima-se que cerca de 20% dos habitantes tˆem algum tipo de alergia(A). Sabe-se que 50% dos al´ergicos praticam esporte(E), enquanto que essa porcentagem entre os n˜ao al´ergi- cos ´e de 40%. Para um indiv´ıduo escolhido aleatoriamente nessa cidade, obtenha a probabilidade de:
(a) N˜ao praticar esporte. 1 − P (E) = 1 − [P (E/A)P (A) + P (E/A)P (A)] = 1 − [0, 5 ∗ 0 , 2 + 0 , 4 ∗ 0 , 8] = 1 − 0 , 42 = 0, 58
(b) Ser al´ergico dado que n˜ao pratica esportes.
P (A/E) =
P (A ∩ E)
P (E)
P (E/A) ∗ P (A)
P (E)
9 Dois dados equilibrados s˜ao lan¸cados. Calcule a probabilidade de:
(a) Obter o par (3,4), sabendo-se que ocorreu face ´ımpar no primeiro dado. Primeiro calculamos a probabilidade de sair ´ımpar no primeiro dado P (Impar) = P (Impar ∩ Impar) + P (Impar ∩ P ar) = 9/36 + 9/36 = 18 /72 = 1/4 = 0, 25 Agora Claculamos a probabilidade condicional P [(3, 4)/Impar] =
P [(3, 4) ∩ Impar] P [Impar]
(b) Ocorrer face ´ımpar no segundo dado, sabendo-se que ocorreu face par no primeiro daddo. O c´alculo da probabilidade de sair par no primeiro dado que ´e an´a- logo ao c´alculo de sair ´ımpar no primeiro dado. P (Impar/P ar) =
P (Impar ∩ P ar) P (P ar)
Lembrando que 0,25 ´e a probabilidade de sair par (ou ´ımpar) no pri- meiro lan¸camento dado que o segundo pode ser par o ´ımpar.
11 Dois Arm´arios guardam as bolas de voleibol(V) e basquete(B). O arm´ario 1(A1) tem 3 bolas de voleibol e 1 de basquete, enquanto o arm´ario 2(A2) tem 3 bolas de voleibol e 2 de basquete. Escolhendo-se ao acaso, um ar- m´erio e, em seguida, uma de suas bolas, calcule a probabilidade dela ser:
Arm.1 Arm. Volei 3 3 6 Basquete 1 2 3 4 5 9
(a) De voleibol, sabendo-se que o arm´ario 1 foi escolhido.
P (V olei|A1) = P (V olei ∩ A1) P (A1)
(b) De basquete, sabendo-se que o arm´ario 2 foi escolhido.
P (Basquete|A2) =
P (Basquete ∩ A2) P (A2)
(c) De basquete.
Como a probabilidade de escolher um arm´ario ou outro ´e 1/2 devemos calcular a chance de escolhermos bola de basquete para cada arm´ario.
P (Basquete) =
13 Vocˆe entrega a seu amigo uma carta, destinada `a sua namorada, para ser colocada no correio. Entretanto, ele pode se esquecer com probabilidade 0,1. Se n˜ao esquecer, a probabilidade de que o correio extravie a carta ´e de 0,1. Finalmente, se foi enviada pelo correio a probabilidade de que a namorada n˜ao a receba ´e de 0,1.
(a) Sua namorada n˜ao recebeu a carta, qual a probabilidade de seu amigo ter esquecido de coloc´a-la no correio?
15 Determine a probabilidade de escolhermos:
Segundo o enunciado faz-se trˆes tentativas. Portanto o racioc´ıcio ´e an´alogo ao ´ıtem anterior(b). (0, 7 ∗ 0 , 7 ∗ 0 , 7) + 3 ∗ (0, 3 ∗ 0 , 3 ∗ 0 , 7) + 3 ∗ (0, 7 ∗ 0 , 7 ∗ 0 , 3) = 0. 973
19 A tabela a seguir apresenta dados dos 1000 ingressantes de uma universi- dade, com informa¸c˜oes sobre ´area de estudo e classe s´ocio-econˆomica.
Area-Classe´ Alta M´edia Baixa Total Exatas 120 156 68 344 Humanas 72 85 112 269 Biol´ogicas 169 145 73 387 Total 361 386 253 1000
Se um aluno ´e escolhido ao acaso, determine a probabilidade de:
(a) Ser da classe econˆomiva mais alta.
Aqui pegamos o total de ingressantes da classe econˆomica mais alta e dividimos pelo total geral. 361 1000
(b) Estudar na `area de Exatas. Pega-se o total de ingressos na ´area de extas e divide-se pelo total geral. 344 1000
(c) Estudar na ´area de humanas, sendo de classe m´edia. Neste caso dividimos o total de alunos da ´area de humanas que s˜ao da classe m´edia pelo total de ingressos da classe m´edia. 85 386
(d) Ser da classe baixa, dado que estuda na ´area de biol´ogicas. Divide-se o n´umero de alunos que s˜ao da ´area de biol´ogicas e da classe baixa e divide-se pelo total de ingressos da ´area de biol´ogicas. 73 387
21 Trˆes f´abricas fornecem equipamentos de precis˜ao para o laborat´orio de qu´ı- mica de uma universidade. Apesar de serem aparelhos de precis˜ao, existe uma pequena chance de subestima¸c˜ao ou superestima¸c˜ao das medidas efe- tuadas. A tabela a seguir apresenta o comportamento do equipamento produzido em cada f´abrica:
Fr´abrica I Subestima Exata Superestima Probabilidade 0.01 0.98 0.
Fr´abrica II Subestima Exata Superestima Probabilidade 0.005 0.98 0.
0 , 18), s˜ao diferentes, portanto o fato do motorista estar alcoolizado inter- fere.
25 Suponha que X represente o n´umero de horas de atividade f´ısica por se- mana. Considere a tabela a seguir:
Sexo/Atividade 0 ≤ X < 3 3 ≤ X < 5 X ≥ 5 Total Feminino 22 8 7 37 Masculino 3 4 6 13 Total 25 12 13 50
(a) Qual ´e a probabilidade de sortear aleatoriamente uma menina com atividade f´ısica semanal na faixa de [3, 5) horas?
(b) Calcule P (X ≥ 5) = 13/50 = 0, 26
27 Sejam A,B e C pertencentes a um mesmo espa¸co amostral. Mostre que:
(a) P (Ac.^ /B) = 1 − P (A/B) Primeiro resolvemos a seguinte probabilidade: P (Ac.^ ) = 1 − P (A)
Se assumirmos que, P (A/B) =
P (A ∩ B)
P (B)
P (A) ∗ P (B)
P (B)
Depois substitu´ımos na f´ormula, P (Ac.^ /B) =
P (Ac.^ ∩ B) P (B)
1 − P (A) ∗ P (B)
P (B)
Logo, P (Ac.^ /B) = 1 − P (A/B)
(b) P (A ∪ B/C) = P (A/C) + P (B/C) − P (A ∩ B/C) Consideremos, P (A ∪ B) = P (A) + P (B) − P (A ∩ B) Logo, P (A ∪ B/C) = P (A/C) + P (B/C) − P (A ∩ B/C)
(c) Se B = Ac.^ entoP (A ∪ B/C) = 1 Substitu´ımos B por Ac.^ na f´ormula, P (A ∪ Ac.^ /C) Sabemos que por defini¸c˜ao, P (A ∪ Ac.^ ) = 1 Logo, P (1/C) = 1
(d) P (A ∪ B ∪ C) = P (A) + P (B) + P (C) − P (A ∩ B) − P (A ∩ C) − P (B ∩ C) + P (A ∩ B ∩ C) Desenvolvendo teremos,
P (A∪B ∪C) = P [(A∪B)∪C] = P (A∪B)+P (C)−P [(A∪B)∩C] =
P (A ∪ B) + P (C) − P [(A ∩ C) ∪ P (B ∩ C)] =
P (A)+P (B)−P (A∩B)+P (C)−P (A∩C)−P (B∩C)+P (A∩B∩C) =
P (A)+P (B)+P (C)−P (A∩B)−P (A∩C)−P (B ∩C)+P (A∩B ∩C)
29 Um candidato a motorista treina na auto-escola e acredita que passa no exame com probabilidade 0,7. Se n˜ao passar, far´a mais treinamento, o que ele estima que lhe aumentar´a em 10% a probabilidade de passar, isto ´e, no segundo exame passar´a com 0,77 de probabilidade.
(a) Supondo que ele continue acreditando nesse aumento de possibili- dade, em que exame ele ser´a aprovado? Montamos uma tabela somando sempre 10% na probabilidade de cada tentativa, constamos que ser´a no quinto exame.
Tentivas Probabilidade de Passar 20.^ tentativa 0 , 77 30.^ tentativa 0 , 847 40.^ tentativa 0 , 9317 50.^ tentativa 1 , 00
(b) Qual ´e a probabilidade de serem necess´arios mais de 2 exames? Pela tabela vemos, 1 − 0 , 9317 = 0. 0683
31 Considerando o arquivo cancer.txt, calcule:
(a) As probabilidades de que um paciente selecionado, ao acaso, seja clas- sificado em cada uma das quatro categorias da vari´avel diagn´ostico.
Diagn´ostico Probabilidade 1 0. 2 0. 3 0. 4 0.
