Baixe Problemas e exercícios de números complexos e outras Exercícios em PDF para Matemática, somente na Docsity!
- Seja ℂ o conjunto dos números complexos ; i designa a unidade imaginária.
Considere o número complexo z = 2^ k + + ii^ , k ∈ℝ Determine k de forma que: a) z seja imaginário puro (-1/2) b) z ∈ ℝ (2) c) Re( z ) = Im( z ) (1/3)
- Verifique que
a) 2i 4 n^ −^3 − i = i ,∀ n ∈ ℕ b) i 4 n^ −^1 + i 4 n^ +^1 = 0 ,∀ n ∈ ℕ
- Sejam z = a + b ie w = c + d i , ( , a b , c , d ∈ ℝ ) dois números complexos.
Prove que: a) z = z b) z + w = z + w c) z × w = z × w
- Prove que a) z + z = 2 Re( ) , z ∀ ∈ z ℂ b) z − z = 2i Im( ) , z ∀ ∈ z ℂ
- Resolva, em ℂ , as equações:
a) x^2 + 2 x + 10 = 0 (-1-3i ; -1+3i) b) z^2 − 5 z + 8 = 0 ( 52 − 27 i ;^52 + 27 i ) c) z^2 + 4 i z − 13 = 0 (-3-2i;3-2i)
- Seja ℂ o conjunto dos números complexos; i a unidade imaginária.
a) Considere o polinómio z^3 − z + 6. Determine analiticamente as raízes em C , sabendo que uma delas é −2. Apresente-as na forma algébrica, simplificando-as o mais possível. ( −2 , 1 + i 2 , 1 − i 2 ) b) Seja z um número complexo. Mostre que: Se^ z (1^ (1 −^ + i)i)é um imaginário puro, então z ∈ ℝ
- “Se z 0 é uma raiz de um polinómio P ( z ) de coeficientes reais então também z 0 é uma raiz de P ( z )”
Com base nesta propriedade determine, em C , as raízes do polinómio z^4 − 2 z^3 + 3 z^2 − 2 z + 2 , sabendo que uma delas é i (i, -i, 1+i, 1-i)
- Calcule as raízes quadradas de a) − 3 + 4i (1+2i ; -1-2i) b) − 5 +12i (2+3i ; -2-3i)
- Seja z um número complexo e u = z^2 − 3 z + 1
Sabendo que u é um número real, determine z ( z ∈ ℝ ou z = 32 + y i , y ∈ℝ )
- Seja ℂ o conjunto dos números complexos; i a unidade imaginária. Na figura estão representadas as imagens geométricas de cinco números complexos: w , z 1 (^) , z 2 (^) , z 3 (^) e z 4. Qual é o número complexo que pode ser igual a − i w? ( A ) z 1 ( B ) z 2 ( C ) z 3 ( D ) z 4
- Na figura estão representados, no plano complexo, dois retângulos:
- Os eixos do referencial bissetam os lados do retângulo [ ABCD ];
- O retângulo [ EFGH ] foi obtido do retângulo [ ABCD ] por uma rotação de 90o com centro na origem
- O ponto A é a imagem, no plano complexo, de um número complexo z. Exprima em função de z os números complexos cujas imagens no plano são os pontos B, C, D, E, F, G e H. ( − z , − z z , , i z , − i z , − i z , i z )
- Escreva na forma trigonométrica:
z 1 (^) = 1 + 3 i; z (^) 2 = − − 1 i 3 (^3 1) i z = − 2 − 2 z (^) 4 = 2 3 − 6 i 5 (^3 3) i z = − 2 + 2 ; z 6 (^) = − 3 + 3 i; z 7 (^) = 2 3 − 2 i;
z 8 (^) = − 2 2 + 2 2 i; z 9 (^) = 2 ; z 10 (^) = − 3 ; z 11 (^) = −3 i ; z 12 (^) = − i; z 13 (^) = 1 ; z 14 (^) = − 1 ; z 15 (^) = 5 i; z 16 (^) =i
- Escreva na forma algébrica
z 1 2cis (^6)
= ^ π
;^2
3 cis 2 z 3
= ^ π
;^3
2 cis 7 z 4
= ^ π
;^4
2 cis 3 z 4
= ^ π
;^5
cis 7 z 6
= ^ π
;^6
3cis 5 z 3
= ^ π
7 3 cis 11 z 6
= ^ π
;^^ z^8 2 cis^2
= ^ π
;^9
cis 3 z 2
= ^ π
;^ z^10 =^ 3cis(^ π);^ z^11^^ =^ 2 cis 0(^ );^^ z^12 2 cis^6 = ^ −^ π
- Considere os números complexos z 1 (^) = 1 + 3 i, z 2 = 3cis ^ π 6
; z 3 (^) = − − 1 3 i
a) Determine o módulo e o argumento de 1 2
w z = z
b) Escreva na forma algébrica o complexo u tal que 15 22 ( 3 )^4 u z^ z z
=^ ⋅
- ℂ é o conjunto dos números complexos; i a unidade imaginária
a) Verifique que (^) ( − + 1 i (^) ) 7 = −8 1 (^) ( +i)
b) Determine o módulo e o argumento de 1 i^10 1 i 3
Im( z )
Re( z )
z 2 z 1
z 3 z 4
O
w
O
B A
C D
F E
G H
Re (z)
Im (z)
- Represente, no plano complexo, o conjunto dos números complexos tais que:
a) z − (2 + i ) ≥ 1 ∧ z − 2 − 2 i < 2 b) z − 1 − i ≤ 1 ∧ z ≤ z − 1 − i
c) z − 2 i ≤ 2 ∧ π 4 ≤ arg( z − 2 ) i ≤ 34 π d) − π 4 ≤ arg( z −1) ≤ π 4 ∧ Im( iz − i ) ≤ 1
e) Re ^^ zi^ ^ ≥ 1 ∨ z ≤ 2
f) z + 2 + 2 i ≤ 3 ∧ z − 1 − i ≥ 2 ∧ π 2 ≤ arg( ) z ≤^54 π
g) z − 4 i ≤ z − 2 ∨ − π 2 ≤ arg( z + 1 − 3 ) i ≤ 0 h) Im( ) z ≥ 1 ∧ 54 π ≤ arg( z − 3 ) i ≤^74 π
i) z ≤ 1 ∧ π 2 ≤ arg( ) z ≤ π j) z ≤ 1 ∧ Re( ) z < 0 ∧ Im( ) z > 0
- Defina, por meio de uma condição em ℂ , a zona sombreada, incluindo a fronteira:
a) • A é o afixo de cis ^56 π
- AB é é um arco de circunferência com centro na origem do referencial
- O ponto B pertence ao eixo das abcissas.
b) • o ponto A é o afixo de 2 cis ^11 6 π
- o ponto B é o afixo de 8cis ^ π 4
- A reta r é a mediatriz de [ AB ]
c) • A é o centro da circunferência e representa o afixo de 1 −i 3
- A circunferência é tangente ao eixo real no ponto C
- AB é paralela ao eixo real
d) • A circunferência tem centro em A , afixo de –1, e raio 2
- O ponto B é o afixo de um número complexo cujo
argumento é 56 π
- Seja A o conjunto dos números complexos cuja imagem, no plano complexo, é o interior do círculo de centro na origem e raio 1 a) Defina por meio de uma condição em C, a parte de A contida no segundo quadrante (excluindo os eixos do referencial) (| z | < 1 ∧ Re (z) < 0 ∧ Im (z) > 0)
b) Sem recorrer à calculadora, mostre que o número complexo 1 3i
4cis π 6
- (^) pertence ao conjunto A
(Exames)
x
y
A
B O
x
y
A
B
O
r
Re
Im
A
O
B
C
Re
Im
A O
B
- Considere, no plano complexo, o quadrado [ ABCD ] Os pontos A e C pertencem ao eixo imaginário e os pontos B e D pertencem ao eixo real. Estes quatro pontos encontram-se à distância de uma unidade da origem do referencial.
a) Sejam w = 1 − i e z = 2 cis 32 π.
Sem recorrer à calculadora, mostre que as raízes quartas do complexo w^2 z têm por imagens geométricas os pontos^ A ,^ B ,^ C^ e^ D. b) Defina por meio de uma condição em ℂ a circunferência inscrita no quadrado [ ABCD ] ( z = 2 2 ) (Exames)
- Seja ℂ o conjunto dos números complexos, e sejam z 1 e z 2 dois elementos de ℂ.
Sabe-se que:
- z 1 tem argumento π 6
- z 2 (^) = z 14
- A 1 e A 2 são as imagens geométricas de z 1 e z 2 , respetivamente. a) Justifique que A 1 OA 2 é reto ( O designa a origem do referencial) b) Considere, no plano complexo, a circunferência C definida pela condição z = z 1. Sabendo que o perímetro de C é 4π, represente, na forma algébrica, o número complexo z 1. ( 3 + i ) (Exames)
- Qual das seguintes condições define uma reta no plano complexo?
( A ) z − 1 = 4 ( B ) arg( ) z = π 2 ( C ) 3z + 2i = 0 ( D ) z − 1 = z + i
(Exames)
28. Seja z um número complexo de argumento π 5.
Qual poderá ser um argumento do simétrico de z?
( A ) − π 5 ( B ) π + π 5 ( C ) π − π 5 ( D ) 2 π +^ π 5
(Exames)
- Seja z = y i, com y ∈ ℝ \ 0{ }, um número complexo (i designa a unidade imaginária).
Qual dos quatro pontos representados na figura junta ( A , B , C ou D ) pode ser a imagem geométrica de z^4
( A ) O ponto A ( B ) O ponto B ( C ) O ponto C ( D ) O ponto D (Exames)
A
B
C
D O
O (^) Re (z)
Im (z)
A
B
C D
Re( z )
Im( z ) A 2
A 1 O
- Em ℂ , conjunto dos números complexos, seja z 1 (^) = 4i(i designa a unidade imaginária)
a) No plano complexo, a imagem geométrica de z 1 é um dos quatro vértices de um losango de perímetro 20, centrado na origem do referencial. Determine os números complexos cujas imagens geométricas são os restantes vértices do losango. (-4i, -3 e 3)
b) Sem recorrer à calculadora resolva a equação
2 2 cis 4 z 2 z 1 π (^) ⋅ = + . Apresente o resultado na forma algébrica. (2-i) (Exames)
- Qual das seguintes regiões do plano complexo (indicadas a sombreado) contém as imagens geométricas das raízes quadradas de 3 + 4i
(Exames)
- Qual das seguintes condições define, no plano complexo, o eixo imaginário?
( A ) z + z = 0 ( B ) Im(z) = 1 ( C ) z = 0 ( D ) z − z = 0 (Exames)
38. Em ℂ , considere os números complexos: z 1 = 1 + ie z 2 = 2 cis 34 π
a) Verifique que z 1 e z 2 são raízes quartas do mesmo número complexo. Determine esse número, apresentando-o na forma algébrica. (-4) b) Considere, no plano complexo, os pontos A , B e O em que:
- A é a imagem geométrica de z 1
- B é a imagem geométrica de z 2
- O é a origem do referencial. Determine o perímetro do triângulo [ AOB ] ( 2 2 + 2 ) (Exame 2002 – 1F-1C)
- Qual das figuras seguintes pode ser a representação geométrica, no plano complexo, do conjunto
{ z ∈ ℂ : z + 1 = z − i ∧ 2 ≤ Im( z ) ≤ 4 }?
(Exames)
( A ) ( B )^ ( C )^ ( D )
2 3 2 3 2 3 2 3
( A ) ( B ) ( C ) ( D )
O O O O
Im( z ) Im( z ) Im( z ) Im( z )
Re( z ) Re( z )^ Re( z ) Re( z )
- De dois números complexos z 1 e z 2 sabe-se que:
- Um argumento de z 1 é π 3
- O módulo de z 2 é 4.
a) Seja ω =^1 + ii
Justifique que ω é diferente de z 1 e de z 2.
b) z 1 e z 2 são duas raízes quartas de um certo número complexo z. Sabendo que, no plano complexo, a imagem geométrica de z 2 pertence ao segundo quadrante, determine z 2 na forma algébrica. ( − 2 3 + 2 i ) (Exames)
- Na figura está representado um retângulo de comprimento 4 e largura 2, centrado na origem do plano complexo. Seja z um número complexo qualquer, cuja imagem geométrica esta situada no interior do retângulo. Qual dos seguintes números complexos tem também, necessariamente, a sua imagem geométrica no interior do retângulo? ( A ) z −^1 ( B ) z ( C ) z^2 ( D ) 2 z (Exames)
- Em ℂ , conjunto dos números complexos, considere z 1 (^) = 1 + i(i designa a unidade imaginária)
a) Determine os números reais b e c para os quais z 1 é raiz do polinómio x^2 + bx + c. ( b = - 2, c = 2) b) Seja z 2 = cisα Calcule o valor de α, pertencente ao intervalo [ 0 , 2π ], para o qual z 1 (^) × z 2 é um número real negativo ((5π)/4) (Exames)
- Seja w um número complexo diferente de zero, cuja imagem geométrica pertence à bissetriz dos quadrantes ímpares. A imagem geométrica de w^4 pertence a uma das retas a seguir indicadas. A qual delas? ( A ) Eixo real. ( B ) Eixo imaginário. ( C ) Bissetriz dos quadrantes pares. ( D ) Bissetriz dos quadrantes ímpares. (Exames)
- Em ℂ , conjunto dos números complexos, considere:
z 1 (^) = 2 − 2i, (^2) 2 cis 5 z 4
= π e
z 3 (^) = − + 1 i
a) Determine 1 2
z z apresentando o resultado na forma algébrica.^ (2i) b) Escreva uma condição em ℂ que defina, no plano complexo, a circunferência que tem centro na imagem geométrica de z 1 e que passa na imagem geométrica de z 3. ( z −( 2 2 − i ) = 3 2 ) (Exames)
A
C B
O (^) Re( z )
Im( z )
- Na figura está representado, no plano complexo, um triângulo equilátero [ ABC ], inscrito numa circunferência C centrada na origem O do referencial. O ponto A é a imagem geométrica de –3i. a) Escreva uma condição em ℂ que defina a referida circunferência. ( z = 3 )
b) Determine, na forma algébrica, o número complexo w cuja imagem geométrica é o ponto B. ( 3 3 2 + 32 i ) c) Seja P um ponto da circunferência C. Sabendo que P é a imagem geométrica de um número complexo z 1 e que S é a imagem geométrica do número complexo
2i ⋅ z 1 , determine a área do triângulo [ POS ]. (9)
51. Seja ℂ o conjunto dos números complexos.
a) Considere z 1 (^) = 1 + 2ie 1 i^4 2 cis 5 π 4
z n b w
× + −
= com b ∈ R e n ∈N.
Determine o valor de b para o qual w é um número real. (3) b) Seja z um número complexo tal que | z | = 1. Mostre que 1 + z^2 + 1 − z^2 = 4 (Exames)
- Em ℂ , conjunto dos números complexos, considere:
z 1 (^) = 1 , z 2 (^) = 5i, (^3) cis π 40 z =^ n , n ∈N
a) O complexo z 1 é raiz do polinómio z^3 − z^2 + 16 z − 16 Determine, em C, as restantes raízes do polinómio. ( 4cis ^ −π 2 , 4cis π 2 ) Apresente as raízes obtidas na forma trigonométrica. b) Determine o menor valor de n natural para o qual a imagem geométrica de z 2 × z 3 , no plano complexo, está no terceiro quadrante e pertence à bissetriz dos quadrantes ímpares. (30) (Exames)
- Em ℂ , conjunto dos números complexos, considere z 1 = cis π 7 e z (^) 2 = 2 +i
a) Determine o número complexo (^ ) 17 2
3 i z w = − ×^ z.
Apresente o resultado na forma trigonométrica ( 2 cis π 4 )
b) Mostre que z 1 (^) + z 2^2 = 6 + 4cos ^ π 7 ^ +2sin^ π 7
(Exames)
54 Seja w um número complexo não nulo. Mostre que a) Se w e (^1) w são raízes de índice n de um mesmo número complexo z , então z = 1 ou z = –
b) Se w e − w são raízes de índice n de um mesmo número complexo z , então n é par.
