Raízes enésimas
de
um número
complexo
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Raízes enésimas de números complexos: cálculo e interpretação geométrica, Exercícios de Matemática
Uma série de exercícios resolvidos sobre o cálculo e interpretação geométrica de raízes enésimas de números complexos, abordando temas como a forma algébrica, trigonométrica e exponencial de tais números, além de fornecer informações sobre polígonos regulares no plano complexo.
Tipologia: Exercícios
2022
1 / 37
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Raízes enésimas
de
um número
complexo
PARTE V
Mostra que:
!
" é uma raiz índice 4 de − 1.
Mostra que:
$!
" é uma raiz quadrada de −4𝑖.
Mostra que:
$!
" é uma raiz índice 5 de 32 𝑒
%!
Considera os números complexos 𝑧" = 2 𝑒
! !
$ e 𝑧
# =^ −^2.
Mostra que 𝑧" e 𝑧# são duas das raízes cúbicas do mesmo número complexo 𝑤 e
determina-o.
Considera o número complexo 𝑤 = 2 𝑒
! !
Sabe-se que 𝑤 é uma das raízes de índice 𝑛 de um número real negativo 𝑧.
Determina o menor valor que 𝑛 pode tomar nestas condições e determina 𝑧.
Sabe-se que 𝑧$ = 2 𝑒
% !
% é uma das raízes quartas de um número complexo 𝑧.
5.1 Determina as restantes raízes quartas de 𝑧.
Sabe-se que 𝑧$ = 2 𝑒
% !
% é uma das raízes quartas de um número complexo 𝑧.
5.2 Determina 𝑧 na forma algébrica.
O afixo do número complexo 𝑧 = 2 𝑒
! !
$ é o vértice de um pentágono regular, com
centro na origem do referencial, no plano complexo.
Escreve, na forma trigonométrica, os números complexos cujos afixos são os
restantes vértices do pentágono.
Considera o hexágono regular 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹 cujo centro é a origem O do referencial ortonormado representado. Sabe-se que o ponto C é o afixo do número complexo 𝑧 = − !! "
! "
Determina as coordenadas dos restantes vértices do hexágono.
No plano complexo da figura está representado um triângulo equilátero centrado na origem do referencial. Sabe-se que o ponto A é o afixo do número complexo 𝑧# = 2 + 2 𝑖, sendo 𝑧# é uma das raízes cúbicas de um complexo 𝑤.
- 2 Determina 𝑤 e representa-o na forma algébrica.