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N´umeros complexos
- 1 Introdu¸c˜ao Sum´ario
- 2 Defini¸c˜ao
- 2.1 Opera¸c˜oes
- 2.1.1 Adi¸c˜ao e multiplica¸c˜ao
- 2.1.2 Subtra¸c˜ao e divis˜ao
- 3 A forma alg´ebrica
- 3.1 R como subconjunto de C
- 3.2 Unidade imagin´aria
- 3.3 Conjugado de z
- 3.4 Divis˜ao
- 3.5 M´odulo de um n´umero complexo
- 4 A forma trigonom´etrica ou polar
- 4.1 Opera¸c˜oes com n´umeros complexos na forma trigonom´etrica
- 4.1.1 Multiplca¸c˜ao
- 4.1.2 Divis˜ao
- 4.1.3 Potencia¸c˜ao
- 4.1.4 Radicia¸c˜ao
- 5 Algumas aplica¸c˜oes
- 5.1 Geometria
- 5.1.1 Rota¸c˜ao em torno de um ponto
- 5.1.2 Equa¸c˜ao da circunferˆencia
- 5.1.3 Elipse e hip´erbole
- 5.2 Engenharia El´etrica
- 6 Forma matricial
- 7 Fun¸c˜ao de Euler
- 7.1 Rela¸c˜ao com a fun¸c˜ao exponencial (rela¸c˜ao de Euler)
Fazendo y = u + v, temos:
(u + v)^3 + p(u + v) + q = 0
u^3 + v^3 + (3uv + p)(u + v) + q = 0 Portanto, se conseguirmos achar n´umeros u e v tais que { u^3 + v^3 = −q uv = −
p 3
, ou seja,
u^3 + v^3 = −q
u^3 v^3 = −
p^3 27
ent˜ao y = u + v ser´a raiz da equa¸c˜ao y^3 + py + q = 0. A ideia ´e encontrar dois n´umeros u^3 e v^3 sendo conhecidas sua soma −q
e seu produto
−p^3 27
. Isto equivale a resolver a equa¸c˜ao
w^2 + qw −
p^3 27
Resolvendo encontramos
u^3 =
−q 2
q 2
(p
3
e
v^3 =
−q 2
q 2
(p
3
Assim:
y = 3
−q 2
q 2
(p
3
3
−q 2
q 2
(p
3
e usando a mudan¸ca de vari´aveis x = y −
b 3 a
obtemos a primeira raiz da
equa¸c˜ao ax^3 + bx^2 + cx + d = 0. A f´ormula obtida anteriormente (chamada de f´ormula de Tartaglia ou f´ormula de Tartaglia-Cardano) possui algumas inconveniˆencias. Destaque- mos duas:
- As vezes fornece ra´` ızes racionais “escondidas”;
Por exemplo, na equa¸c˜ao x^3 − 6 x − 40 = 0 encontramos
x =
3
3
enquanto que as outras duas ra´ızes correspondem a quantidades “imposs´ıveis”. Mas 4 ´e raiz da equa¸c˜ao acima. Logo
3
3
Na equa¸c˜ao x^3 − 6 x − 4 = 0 encontramos
x = 3
3
por´em −2, 1 +
3 e 1 −
3 s˜ao ra´ızes da equa¸c˜ao dada. Assim esse valor “imposs´ıvel” tem que ser igual a uma das ra´ızes reais da equa¸c˜ao. Para Cardano isso “´e t˜ao sutil quanto in´util”. Pode-se provar que a equa¸c˜ao x^3 + px + q = 0 possui trˆes ra´ızes reais se, e somente se
( (^) q 2
(p 3
Rafael Bombelli estudou profundamente o trabalho de Cardano (a f´ormula de Tartaglia foi publicada por Cardano no livro Ars Magna), principalmente os casos irredut´ıveis das equa¸c˜oes c´ubicas. Foi o primeiro matem´atico a defi-
nir as regras de adi¸c˜ao e multiplica¸c˜ao, escrevendo que
−n
= −n. Com suas regras a f´ormula de Tartaglia-Cardano funcionava perfeitamente em qualquer caso. Foi o primeiro a dar alguma importˆancia a essas quantidades. Coube ao matem´atico su´ı¸co Leonhard Euler definir
−1 como sendo i, de forma que i^2 = −1. Essa nota¸c˜ao foi depois usada pelo alem˜ao Gauss, e, dada sua autoridade, essa nota¸c˜ao acabou tornando-se padr˜ao. A grande obra a favor dos “n´umeros complexos” (termo criado por Gauss) apareceu em 1831. Nesse trabalho, Gauss apresentou uma detalhada ex- plica¸c˜ao de como os n´umeros complexos poderiam ser desenvolvidos segundo uma teoria exata, baseada na representa¸c˜ao geom´etrica deles. Finalmente, em 1837, Hamilton galgou o ´ultimo degrau dessas descober- tas reconhecendo os n´umeros complexos como um par de n´umeros reais (a, b) e reescrevendo as defini¸c˜oes geom´etricas de Gauss na forma alg´ebrica.
Figura 2: Plano de Argand-Gauss
O plano cartesiano no qual est˜ao representados os n´umeros complexos ´e denominado plano complexo ou plano de Argand-Gauss. Desse modo podemos associar a cada complexo um vetor. Por exemplo, na adi¸c˜ao podemos usar a regra do paralelogramo ou a regra do pol´ıgono.
Figura 3: Somando n´umeros complexos por meio da regra do paralelogramo
O eixo das abscissas ´e o eixo real (a reta R) e ´e representado por Re(z) ou
por x e o eixo das ordenadas ´e o eixo imagin´ario e ´e representado por Im(z) ou por y. Baseado na representa¸c˜ao geom´etrica dos n´umeros complexos, Hamilton, em 1837, definiu esses n´umeros como sendo um par ordenado de n´umeros reais, isto ´e, C = R^2 , em que est˜ao definidas:
- Igualdade: (a, b) = (c, d) ⇔ a = c e b = d
- Adi¸c˜ao: (a, b) + (c, d) = (a + b, c + d)
- Multiplica¸c˜ao: (a, b) · (c, d) = (ac − bd, ad + bc)
2.1 Opera¸c˜oes
2.1.1 Adi¸c˜ao e multiplica¸c˜ao
As propriedades da adi¸c˜ao e da multiplica¸c˜ao s˜ao apresentadas no teorema seguinte.
Teorema 2 O conjunto C ´e um corpo.
Demonstra¸c˜ao: Propriedades da adi¸c˜ao:
(a, b) + (c, d) = (a + c, b + d) = (c + a, d + b) = (c, d) + (a, b)
[(a, b) + (c, d)] + (e, f ) = (a + c, b + d) + (e, f ) = ((a + c) + e, (b + d) + f ) = (a + (c + e), b + (d + f )) = (a, b) + (c + e, d + f ) = (a, b) + [(c, d) + (e, f )]
- Inverso multiplicativo Precisamos achar o par (x, y) tal que (a, b) · (x, y) = (1, 0). Isso nos d´a o sistema (^) { ax − by = 1 bx + ay = 0
que resolvendo encontramos x =
a a^2 + b^2
e y =
−b a^2 + b^2
O inverso do n´umero z = (a, b) ´e z−^1 =
a a^2 + b^2
−b a^2 + b^2
Corol´ario 1 z · 0 = 0 ∀z ∈ C.
De fato
z · 0 = (a, b)(0, 0) = (a · 0 − b · 0 , a · 0 + b · 0) = (0, 0) = 0
Corol´ario 2 N˜ao existem divisores de zero.
De fato, sejam z = (a, b) e w = (c, d), com z 6 = 0. Se z · w = 0, ent˜ao
z · w = (a, b) · (c, d) = (ac − bd, ad + bc) = (0, 0) ⇒
ac − bd = 0 e ad + bc = 0 Suponhamos que b 6 = 0 e que d 6 = 0 (os outros casos s˜ao tratados de forma
an´aloga). Ent˜ao ac = bd ⇒
a b
c d
. Como ad = −bc ⇒
a b
d c
, ent˜ao
c d
d c
⇒ c^2 = −d^2 ⇒ c = d = 0
Portanto w = 0.
2.1.2 Subtra¸c˜ao e divis˜ao
Defini¸c˜ao 1 (Subtra¸c˜ao) Dados dois n´umeros complexos z = (a, b) e w = (c, d), a diferen¸ca entre z e w ´e definida por
z − w = z + (−w) = (a − c, b − d)
Defini¸c˜ao 2 (Divis˜ao) A raz˜ao entre w = (c, d) e z = (a, b) 6 = 0 ´e definida por
w z
= w · z−^1 = (c, d)
a a^2 + b^2
−b a^2 + b^2
ac + bd a^2 + b^2
ad − bc a^2 + b^2
Como C ´e um corpo (teorema 2), estas opera¸c˜oes est˜ao bem definidas.
3 A forma alg´ebrica
3.1 R como subconjunto de C
Consideremos o conjunto R ⊂ C formado pelos pares ordenados cujo segundo termo ´e zero: R = {(a, b) ∈ C|b = 0} Consideremos agora a fun¸c˜ao f : R → R que leva cada x ∈ R ao par (x, 0) ∈ R. Primeiramente notemos que f ´e bijetora, pois:
- Todo par (x, 0) ∈ R ´e o correspondente, segundo f , de x em R (isto quer dizer que f ´e sobrejetora);
- Dados x ∈ R e x′^ ∈ R, com x 6 = x′, os seus correspondentes (x, 0) ∈ R e (x′, 0) ∈ R s˜ao distintos (isto quer dizer que f ´e injetora).
Em segundo lugar, notemos que f conserva as opera¸c˜oes de adi¸c˜ao e multiplica¸c˜ao e elemento neutro da multiplica¸c˜ao, pois:
f (a + b) = (a + b, 0) = (a, 0) + (b, 0) = f (a) + f (b)
f (ab) = (ab, 0) = (a, 0)(b, 0) = f (a)f (b) f (1) = (1, 0) = 1 Devido ao fato de existir uma fun¸c˜ao bijetora f : R → R que conserva as opera¸c˜oes de adi¸c˜ao e multiplica¸c˜ao, dizemos que R e R s˜ao isomorfos, isto ´e, possuem estruturas alg´ebricas iguais e escrevemos R ' R. Devido ao isomorfismo, operar com (x, 0) leva a resultados an´alogos aos obtidos operando com x; temos assim a identidade
x ≡ (x, 0) ∀x ∈ R
- Adi¸c˜ao: (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i
- Multiplica¸c˜ao:
(a + bi)(c + di) = ac + adi + bci + bdi^2 = (ac − bd) + (ad + bc)i
3.3 Conjugado de z
Defini¸c˜ao 4 Chama-se conjugado do complexo z = a + bi ao complexo z¯ = a − bi.
E imediato notar que o conjugado de ¯^ ´ z ´e z, isto ´e, ¯z¯ = z.
Teorema 3 ∀z ∈ C, temos:
- z + ¯z = 2Re(z)
- z − ¯z = 2Im(z)
- z = ¯z ⇔ z ∈ R
- z z¯ = [Re(z)]^2 + [Im(z)]^2
Demonstra¸c˜ao:
- z + ¯z = (a + bi) + (a − bi) = 2a = 2Re(z)
- z − ¯z = (a + bi) − (a − bi) = 2bi = 2Im(z)
- z = ¯z ⇔ a + bi = a − bi ⇔ b = −b ⇔ b = 0 ⇔ z ∈ R
- z z¯ = (a + bi)(a − bi) = a^2 + b^2 = [Re(z)]^2 + [Im(z)]^2
Teorema 4 Para z 1 , z 2 ∈ C, temos:
- z 1 + z 2 = z 1 + z 2
- z 1 z 2 = z 1 z 2
Demonstra¸c˜ao:
z 1 + z 2 = (a 1 + b 1 i) + (a 2 + b 2 i) = (a 1 + a 2 ) + (b 1 + b 2 )i = (a 1 + a 2 ) − (b 1 + b 2 )i = (a 1 − b 1 i) + (a 2 − b 2 i) = z 1 + z 2
z 1 z 2 = (a 1 + b 1 i)(a 2 + b 2 i) = (a 1 a 2 − b 1 b 2 ) + (a 1 b 2 + a 2 b 1 )i = (a 1 a 2 − b 1 b 2 ) − (a 1 b 2 + a 2 b 1 )i = a 1 a 2 − a 1 b 2 i − a 2 b 1 i + b 1 b 2 i^2 = a 1 (a 2 − b 2 i) − b 1 i(a 2 − b 2 i) = (a 1 − b 1 i)(a 2 − b 2 i) = z 1 z 2
3.4 Divis˜ao
Dados os n´umeros complexos z = (a, b) e w = (c, d), temos: w z
ac + bd a^2 + b^2
ad − bc a^2 + b^2
ac + bd a^2 + b^2
ad − bc a^2 + b^2
i =
ac + bd + adi − bci a^2 + b^2
ac + adi − bci − bdi^2 (a + bi)(a − bi)
a(c + di) − bi(c + di) (a + bi)(a − bi)
(c + di)(a − bi) (a + bi)(a − bi)
w · ¯z z · z¯
∴
w z
w · z¯ z · ¯z Assim para fazer a divis˜ao entre w e z multiplicamos o numerador e o denominador pelo conjugado do denominador. Desse modo obtemos um n´umero complexo na forma alg´ebrica.
3.5 M´odulo de um n´umero complexo
Geometricamente, o m´odulo de um n´umero complexo ´e definido como a distˆancia do afixo de z (afixo ´e o ponto do plano complexo associado ao n´umero z) `a origem do sistema de coordenadas.
a ≥ 0 ⇒ a = |a| a < 0 ⇒ a < |a|
⇒ a ≤ |a| (1)
a^2 ≤ a^2 + b^2 ⇒
a^2 ≤
a^2 + b^2 ⇒ |a| ≤ |z| (2) Comparando (1) e (2), vem:
a ≤ |a| ≤ |z| ⇒ Re(z) ≤ |Re(z)| ≤ |z|
- An´alogo ao item 4.
Teorema 6 ∀z 1 , z 2 ∈ C:
- |z 1 z 2 | = |z 1 ||z 2 |
z 1 z 2
∣ =^
|z 1 | |z 2 |
- |z 1 + z 2 | ≤ |z 1 | + |z 2 | (desigualdade triangular)
Demonstra¸c˜ao:
- |z 1 z 2 |^2 = (z 1 z 2 )(z 1 z 2 ) = (z 1 z 1 )(z 2 z 2 ) = |z 1 |^2 |z 2 |^2 = (|z 1 ||z 2 |)^2 ⇒ |z 1 z 2 | = |z 1 ||z 2 |
- Notemos inicialmente que ∣ ∣ ∣ ∣
z
a + bi
a − bi (a + bi)(a − bi)
a − bi a^2 + b^2
a^2 + b^2 (a^2 + b^2 )^2
a^2 + b^2
|z|
Temos ent˜ao: ∣ ∣ ∣ ∣
z 1 z 2
∣z^1 ·^
z 2
∣ =^ |z^1 |
z 2
∣ =^ |z^1 |^
|z 2 |
|z 1 |z 2 |
|z 1 +z 2 |^2 = (z 1 +z 2 )(z 1 + z 2 ) = (z 1 +z 2 )(z 1 +z 2 ) = z 1 z 1 +z 2 z 2 +z 1 z 2 +z 2 z 1 =
|z 1 |^2 +|z 2 |^2 +z 1 z 2 +z 1 z 2 = |z 1 |^2 +|z 2 |^2 +2Re(z 1 z 2 ) ≤ |z 1 |^2 +|z 2 |^2 +2|z 1 z 2 | = |z 1 |^2 + |z 2 |^2 + 2|z 1 ||z 2 | = (|z 1 | + |z 2 |)^2 ⇒ |z 1 + z 2 | ≤ |z 1 | + |z 2 |
4 A forma trigonom´etrica ou polar
Sabemos que um n´umero complexo z = a + bi ´e representado por um ponto do plano, de coordenadas (a, b). Essas s˜ao as coordenadas cartesianas do ponto z. Veremos agora esse mesmo ponto em coordenadas polares.
Figura 5: Coordenadas polares de z
- O m´odulo do vetor
Oz, indicado por |z| ou por ρ, representando a distˆancia do ponto z `a origem do plano;
- O ˆangulo θ, em que 0 ≤ θ ≤ 2 π, que o vetor
Oz forma com o eixo Re(z). Esse ˆangulo θ ´e chamado de argumento de z e indicado por arg(z). Observando a figura anterior vemos que
cos θ =
a |z|
e sen θ =
b |z| Essas igualdades levam a a = |z| cos θ b = |z|sen θ
Substituindo esses valores em z = a + bi temos:
z = a + bi = |z| cos θ + i|z|sen θ = |z|(cos θ + isen θ) ∴ z = |z|(cos θ + isen θ)
que ´e a chamada forma trigonom´etrica ou forma polar.
e (cos θ 2 + isen θ 2 )(cos θ 2 − isen θ 2 ) = cos^2 θ 2 + sen 2 θ 2 = 1
temos portanto
z 1 z 2
|z 1 | |z 2 |
[cos(θ 1 − θ 2 ) + isen (θ 1 − θ 2 )]
4.1.3 Potencia¸c˜ao
Defini¸c˜ao 5 Dados z ∈ C e n ∈ Z, a potˆencia de base z e expoente n ´e o n´umero zn^ tal que
zn^ =
1 se n = 0 e z 6 = 0 zn−^1 z se n > 0 1 z−n^
se n < 0 e z 6 = 0
Teorema 7 (1a^ f´ormula de De Moivre) zn^ = |z|n[cos(nθ) + isen (nθ)] ∀n ∈ Z.
Demonstra¸c˜ao: Provemos que a propriedade ´e v´alida para n ∈ N, usando o princ´ıpio da indu¸c˜ao finita.
z^0 = 1 = |z|^0 [cos(0 · θ) + isen (0 · θ)]
- Admitamos a validade da f´ormula para n − 1 e provemos para n:
zn^ = zn−^1 z = |z|n−^1 [cos((n − 1)θ) + isen ((n − 1)θ)]|z|(cos θ + isen θ) = (|z|n−^1 |z|)[cos((n − 1)θ + θ) + isen ((n − 1)θ + θ)] = |z|n[cos(nθ) + isen (nθ)]
Provemos agora a propriedade para n < 0.
zn^ =
z−n^
cos 0 + isen 0 |z|−n[cos(−nθ) + isen (−nθ)]
|z|−n^
[cos(0−(−nθ))+isen(0−(−nθ))] =
|z|n[cos(nθ) + isen (nθ)]
4.1.4 Radicia¸c˜ao
Defini¸c˜ao 6 A raiz n-´esima de z ∈ C e indicado por n
z ´e o n´umero com- plexo w tal que wn^ = z.
Para demonstrar o teorema seguinte precisamos do seguinte resultado da teoria dos n´umeros.
Teorema 8 (Divis˜ao eucidiana) Dados a, b ∈ Z, b 6 = 0, existem inteiros q e r tais que a = bq + r, com 0 ≤ r < |b|. Al´em disso, q e r s˜ao ´unicos.
Demonstra¸c˜ao: Veja (4).
Teorema 9 (2a^ f´ormula de De Moivre) Dados o n´umero complexo z = |z|(cos θ + isen θ) e o n´umero inteiro n > 0 , existem n ra´ızes n-´esimas dis- tintas de z da forma
zk = n
z = n
|z|
cos
θ + 2kπ n
θ + 2kπ n
com k = 0, 1 , 2 ,... , n − 1.
Demonstra¸c˜ao: Determinemos os complexos zk tais que zkn = z. Se zk = r(cosφ + isen φ), ent˜ao:
rn(cos(nφ) + isen (nφ)) = |z|(cos θ + isen θ)
Portanto ´e necess´ario:
rn^ = |z| ⇒ r = n
|z| ∈ R
e cos(nφ) = cos θ sen (nφ) = sen θ
⇒ nφ = θ + 2kπ ⇒ φ =
θ + 2kπ n
, k ∈ Z
Dois ˆangulos s˜ao ditos congruentes se a diferen¸ca entre eles ´e um m´ultiplo de 2π. Dada uma raiz zk, se zk = zk′ , ent˜ao
φ ≡ φ′^ ⇔
θ + 2kπ n
θ + 2k′π n
= 2Kπ ⇔ k − k′^ = Kn ⇔ k = k′^ + Kn
