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Capítulo 1
Números Complexos
1.1 Unidade Imaginária
O fato da equação x^2 + 1 = 0. (1.1)
não ser satisfeita por nenhum número real levou à de nição dos números complexos. Para solucionar (1.1) de nimos a unidade imaginária, denotada^1 por i, como sendo o número tal que i^2 = − 1.
Obviamente este não é um número real, uma vez que seu quadrado é negativo.
1.2 Números complexos
Um número complexo z é um número da forma
z = x + iy. (1.2)
Em (1.2) observamos que um número complexo é composto de duas partes: dizemos que x é a parte real de z, e escrevemos Re(z) = x. Por outro lado, y é a parte imaginária de z, e escrevemos Im(z) = y.
Exemplo 1.1 Dado o número complexo z = 3 + 2i, temos Re(z) = 3 e Im(z) = 2
Ainda em (1.2), se x = 0, dizemos que z é um número imaginário puro; por outro lado, se y = 0 temos que z é um número real puro (ou simplesmente um número real).
1.3 O Plano Complexo
Os números complexos podem ser representados através de pontos em um plano cartesiano. Este plano é denominado plano complexo, ou diagrama de Argand^2. No plano com- plexo grafamos a parte imaginária do número complexo sobre o eixo vertical (chamado eixo imaginário) e a parte real sobre o eixo horizontal (chamado eixo real). A Figura 1. ilustra tal representação.
(^1) Em textos de Eletricidade a unidade imaginária é normalmente denotada pela letra j, uma vez que a letra i é geralmente utilizada para representar correntes elétricas. (^2) Jean Robert Argand (1768-1822), Matemático francês. Seu artigo sobre o plano complexo apareceu em
°μ
b
a
z = a + bi
eixo real
eixo imaginário
a
Figura 1.1: O plano complexo.
Assim, cada número complexo z = a + bi está associado biunivocamente^3 ao ponto (a, b) do plano complexo. Por esta razão, uma outra maneira de se denotar um número complexo z = x + iy é através de um par ordenado (x, y), onde ca implícito que a primeira componente é a parte real real do número complexo e a segunda componente é sua parte imaginária. Também é comum associarmos cada número complexo a um vetor do R^2.
Exemplo 1.2 O número complexo z = 3 + 2i pode ser escrito como z = (3, 2).
1.4 Conjugado de um Número Complexo
Dado z = x + iy, seu conjugado, denotado z, é dado por z = x − iy. Ou seja, conjuga-se um número complexo simplesmente mudando o sinal de sua parte imaginária. No plano complexo um número e seu conjugado são simétricos em relação ao eixo real (Figura 1.2).
−b @
b
a
a z = a + bi
a z = a − bi
eixo real
eixo imaginário
Figura 1.2: O conjugado de um número complexo.
(^3) A cada número complexo está associado um único ponto do plano, e a cada ponto do plano está associado um único número complexo. Lembre-se que em coordenadas polares tal associação não é biunívoca, uma vez que um dado ponto do plano possui in nitas coordenadas polares.
1.6 Propriedades
Dados z 1 , z 2 e z 3 , temos
- comutatividade z 1 + z 2 = z 2 + z 1 (1.4) z 1 z 2 = z 2 z 1 (1.5)
- associatividade (z 1 + z 2 ) + z 3 = z 1 + (z 2 + z 3 ) (1.6) (z 1 z 2 )z 3 = z 1 (z 2 z 3 ) (1.7)
- distributividade z 1 (z 2 + z 3 ) = z 1 z 2 + z 1 z 3 (1.8)
Estas leis seguem imediatamente das correspondentes leis para números reais e das operações algébricas de nidas anteriormente para os números complexos.
1.7 Problemas Propostos
(1) Sejam z 1 = 5 + 2i e z 2 = 1 + 3i. Reduza cada expressão a seguir à forma a + ib
(a) z 1 + z 2 (b) z 1 − z 2 (c) z 1 z 2
(d) (2 − 4 i)z 1 (e) z z^21 (f) z^21
(g) (z 1 + z 2 )^2 (h) z z^12 (i) ( z z^12 )^2
(10) Reduza cada expressão a seguir a forma a + ib
(a) (1 + i)^2 (b) ( 1+ 1 −ii )^2 (c) ( 1+ 1 −ii )^2 − ( (^1) 1+−ii )^2
(4) Resolva as equações
(a) z^2 + 9 = 0 (b) z^2 − 2 z + 2 = 0
(c) z^2 + 2z + 5 = 0 (d) z^2 + z + 9 = 0
(5) Prove que
(a) o conjugado da soma é a soma dos conjugados, isto é (z 1 + z 2 ) = z 1 + z 2. (b) o conjugado da diferença é a diferença dos conjugados, isto é (z 1 − z 2 ) = z 1 − z 2. (c) o conjugado do produto é o produto dos conjugados, isto é (z 1 z 2 ) = z 1 z 2.
(d) o conjugado da razão é a razão dos conjugados, isto é ( zz 21 ) = z z^12.
(6) Represente os números z 1 = 2 + 4i, z 2 = 2 − 4 i, z 1 = −2 + 4i e z 1 = − 2 − 4 i no plano complexo.
(7) Calcule
(a) (^1) i (b) i^3 (c) i^4 (d) i^5
(e) i^6 (f) i^7 (g) i^8 (h) i^9
(i) i^26 (j) i^31 (k) i^54 (l) i^87
(13) Seja z = x + iy. Determine
(a) Re( (^1) z ) (b) Im( (^1) z ) (c) Im(z^3 )
(d) Im( (^) z^12 ) (e) Re(z^2 + z) (f) Re(−iz^2 )
(g) Im(4iz^2 − 6 z + 8 i) (h) Re( (^) z−^1 i )
(9) Prove o resultado em (1.3). Sugestão: faça z z^12 = z, onde z = u + iv e resolva a equação resultante em termos de u e v.
1.8 Valor Absoluto ou Módulo
Dado o número complexo z = x + iy, seu valor absoluto (ou módulo), denotado |z| ou r, é dado por |z| = r =
x^2 + y^2 (1.9)
Geometricamente o valor absoluto de um número complexo nos dá a distância do ponto que o representa à origem do plano complexo (Aplique o Teorema de Pitágoras na Figura 1.3). É interessante observar que:
- o módulo de um número complexo é igual ao módulo de seu conjugado:
|z| = |z|; (1.10)
- o produto de um número complexo pelo seu conjugado é igual ao quadrado de seu módulo: zz = |z|^2. (1.11)
As provas destes resultados são imediatas e cam como exercício para o leitor.
1.9 Forma Polar
Introduzindo as coordenadas polares r e θ no plano complexo (Figura 1.3), de modo que
x = rcos(θ) e y = rsen(θ),
o número z = x + iy pode ser reescrito como
z = rcos(θ) + irsen(θ) = r[cos(θ) + isen(θ)] (1.12)
chamada forma polar ou trigonométrica de um número complexo. Em (1.12) o valor r é o valor absoluto de z, enquanto o ângulo θ é o argumento de z. Denota-se arg(z) = θ. Geometricamente, o argumento é o ângulo formado pelo semi-eixo real positivo e pelo segmento de reta que representa r, e pode ser obtido pela expressão
θ = arctg
y x
, x 6 = 0, y 6 = 0. (1.13)
Evidentemente o argumento de um número complexo é de nido a menos de múltiplos inteiros de 2 π, no sentido que, se arg(z) = α, então arg(z) = α + 2kπ, k ∈ Z. Se a parte real x ou a parte imaginária y de um número complexo z = x + iy for nula, a determinação de sua fase torna-se um pouco mais sutil. Vejamos as possibilidades
(a) Se x = 0 nosso número complexo é da forma z = 0 + iy = iy, ou seja é um número imaginário puro e o ponto que o representa está sobre o eixo imaginário. O valor de sua fase depende do sinal da parte imaginária y:
Multiplicação e divisão
A forma polar é particularmente útil para a multiplicação e divisão dos números complexos. Consideremos os números
z 1 = x 1 + iy 1 = r 1
[
cos(θ 1 ) + isen(θ 1 )
]
e z 2 = x 2 + iy 2 = r 2
[
cos(θ 2 ) + isen(θ 2 )
]
z 1 z 2 = r 1
cos(θ 1 ) + isen(θ 1 )
r 2
cos(θ 2 ) + isen(θ 2 )
= r 1 r 2
cos(θ 1 ) + isen(θ 1 )
cos(θ 2 ) + isen(θ 2 )
= r 1 r 2
cos(θ 1 )cos(θ 2 ) + icos(θ 1 )sen(θ 2 ) + isen(θ 1 )cos(θ 2 ) − sen(θ 1 )sen(θ 2 )
= r 1 r 2
cos(θ 1 )cos(θ 2 ) − sen(θ 1 )sen(θ 2 )
cos(θ 1 )sen(θ 2 ) + sen(θ 1 )cos(θ 2 )
,
e nalmente, utilizando as identidades trigonométricas
cos(θ 1 + θ 2 ) = cos(θ 1 )cos(θ 2 ) − sen(θ 1 )sen(θ 2 ) sen(θ 1 + θ 2 ) = cos(θ 1 )sen(θ 2 ) + sen(θ 1 )cos(θ 2 ),
obtemos z 1 z 2 = r 1 r 2
[
cos(θ 1 + θ 2 ) + isen(θ 1 + θ 2 )
]
A partir de (1.15), observamos que o módulo do produto é o produto dos módulos, ou seja, |z 1 z 2 | = r 1 r 2 = |z 1 ||z 2 |, e que o argumento do produto é a soma dos argumentos, ou seja,
arg(z 1 z 2 ) = θ 1 + θ 2 = arg(z 1 ) + arg(z 2 ).
z 1 z 2 z 2 z 2 = r 1 r 2 r^22
cos(θ 1 ) + isen(θ 1 )
cos(θ 2 ) − isen(θ 2 )
= r 1 r 2
cos(θ 1 )cos(θ 2 ) − icos(θ 1 )sen(θ 2 ) + isen(θ 1 )cos(θ 2 ) + sen(θ 1 )sen(θ 2 )
= r 1 r 2
cos(θ 1 )cos(θ 2 ) + sen(θ 1 )sen(θ 2 )
sen(θ 1 )cos(θ 2 ) − cos(θ 1 )sen(θ 2 )
,
e nalmente, utilizando as identidades trigonométricas
cos(θ 1 − θ 2 ) = cos(θ 1 )cos(θ 2 ) + sen(θ 1 )sen(θ 2 ) sen(θ 1 − θ 2 ) = sen(θ 1 )cos(θ 2 ) − cos(θ 1 )sen(θ 2 ),
obtemos z 1 z 2
r 1 r 2
[cos(θ 1 − θ 2 ) + isen(θ 1 − θ 2 ) (1.16)
A partir de (1.16), observamos que o módulo da razão é a razão dos módulos, ou seja,
z 1 z 2
|z 1 | |z 2 |
e que o argumento da razão é a diferença dos argumentos, ou seja,
arg(
z 1 z 2
) = arg(z 1 ) − arg(z 2 ).
Potências
Utilizando (1.15) e indução matemática, observamos que
zn^ = rn[cos(nθ) + isen(nθ)], (1.17)
expressão válida para todo n ∈ Z. A partir de (1.17) podemos escrever { r[cos(θ) + isen(θ)]
}n = rn[cos(nθ) + isen(nθ)]
da qual, fazendo r = 1, obtemos a fórmula de de Moivre^6
[cos(θ) + isen(θ)]n^ = cos(nθ) + isen(nθ) (1.18)
1.10 Problemas Propostos
(1) Prove as equações 1.10 e 1.11.
(2) Escreva os seguintes números complexos na forma polar
(a) 2 − 2 i (b) i (c) 3 + 4i (d) 5 + 5i (e) −5 + 5i (f) − 5 − 5 i
(7) Dados os números z 1 = 1 + i, z 2 = 1 − i e z 3 = − 2 i, efetue as operações a seguir e represente os resultados no plano complexo.
(a) (^) zz 21 z 3 (b) z
(^81) z^42 (c)^
z 3 z 1 +z 3
(4) Mostre que arg(z) = −arg(z) (a menos de múltiplos inteiros de 2 π).
(5) Mostre que arg(1/z) = −arg(z) (a menos de múltiplos inteiros de 2 π).
(6) Encontre o valor absoluto dos seguintes números
(a) 1 +
3 i (b) − 9 i
(c) 2 + i
(d) 2 − i
(e) 2 + 3i (f) (4 + i)^3
(7) Encontre o valor absoluto e o argumento dos seguintes números
(a) (−1 + i)(1 −
3 i)
(b) (^) 2+1+√i 3 i
(c) (3+3 2 −i)(√− 3 i^2 i)
(d) (4−^3 i)(^
(^12) +i) 4 (1− 34 i )^2 (−3+4i).
(e) ( 1+ 1 −ii )^8.
(f) (3 + 4i)^3 (− 1 − i)^6.
(8) Represente no plano complexo a região representada pelas seguintes equações e ine- quações
(a) |z| = 1. (b) |z − 1 | = 1.
(c) Re(z^2 ) = − 1. (d) Im(2z) = − 1.
(e) π 4 ≤ arg(z) ≤ π 4.
(9) Utilize a fórmula de de Moivre para estabelecer as seguintes identidades
(a) cos(3θ) = cos^3 (θ) − 3 cos(θ)sen^2 (θ). (b) sen(3θ) = 3cos^2 (θ)sen(θ) − sen^3 (θ).
(10) Encontre identidades similares às do problema anterior para cos(2θ) e cos(4θ).
(^6) Abraham de Moivre (1667-1754) - Matemático francês. Introduziu quantidades imaginárias na trigonometria.
(a) z^4 + 81 = 0 (b) z^3 − 64 = 0
(c) z^2 − 6 z + 13 = 0 (d) z^4 + 5z^2 − 36 = 0
(e) z^6 − 7 z^3 − 8 = 0 (f) z^4 −(1− 4 i)z^2 +4i = 0
2.2 A derivada de uma função complexa
Dizemos que f é diferenciável (derivável) em z se existir o limite
f ′(z) = lim ∆z→ 0
f (z + ∆z) − f (z) ∆z
Exemplo 2.1 Usando a de nição (2.1) a derivada da função complexa f (z) = z^2 ca
f ′(z) = (^) ∆limz→ 0 (z + ∆z)^2 − z^2 ∆z = (^) ∆limz→ 0 z^2 + 2z∆z + (∆z)^2 − z^2 ∆z = (^) ∆limz→ 0 2 z∆z + (∆z)^2 ∆z = 2z
= (^) ∆limz→ 0 ∆Z(2z + ∆z) ∆z = 2z.
É importante observar que ∆z pode tender a zero por qualquer caminho (Figura 2.1); logo a existência da derivada em (2.1) implica que o valor deste limite é o mesmo, independente do caminho tomado.
r
r
x x + ∆x
y
y + ∆y
z = x + iy
z + ∆z = (x + ∆x) + i(y + ∆y)
Re
Im
.... ...... ................... .............................. ................................................
..... .............. ...............................
.................... .......................
....................... ...
...................... .......
................... ............
....................... ......
................... .......
..................... ...
.
..................... ...................... ...
.................... ...................... .
...................... .................
.................... ...............
...................... ..........
....................... .....
......................... .
..............................................
......... ....................^ .........................
.... ...... ................................. ............................... ............................ ........................................... ..............................................
..................... ..................... .................... ..
................... .....
.................... .....
.................. .........
.................. ...........
.................. ............
.................. ...............
.
.................... ..................... ...
.................... .................... .
................... ...................
................... ................
................... .............
...................... .......
..................... ....
.........................................
............................^ ..............^ ......
........ ............^ ..............^ .............. (^) ... .............................
Figura 2.1: ∆z → 0 por vários caminhos diferentes.
Observação: todas as regras familiares de derivação - derivada de uma constante, derivada da soma (diferença), regra da potência, regra do produto, regra do quociente e regra da cadeia - são válidas para a derivação das funções complexas. Por outro lado algumas funções complexas relativamente simples não são deriváveis. O Exemplo 2.2 ilustra uma função não derivável
Exemplo 2.2 Usando a de nição (2.1) a derivada da função complexa f (z) = z = x − iy ca
f ′(z) = lim ∆x,∆y→ 0
(x + ∆x) − i(y + ∆y) − (x − iy) ∆x + i∆y
= lim ∆x,∆y→ 0
∆x − i∆y ∆x + i∆y
Pelo caminho I da Figura 2.2 inicialmente ∆y → 0 e a derivada da equação (2.2) ca
f ′(z) = lim ∆x→ 0
∆x ∆x
Pelo caminho II da Figura 2.2 inicialmente ∆x → 0 e a derivada da equação (2.2) ca
f ′(z) = lim ∆y→ 0
−i∆y i∆y
Logo, como o limite por caminhos diferentes resulta em valores diferentes a derivada não existe.
r
æ r
?æ (^)?
x x + ∆x
y
y + ∆y
z = x + iy
II z^ + ∆z^ = (x^ + ∆x) +^ i(y^ + ∆y)
I
Re
Im
Figura 2.2: ∆z → 0 por dois caminhos poligonais.
2.3 Equações de Cauchy-Riemann
Um conceito importante na teoria das funções complexas é o de analiticidade.
De nição 1 (Analiticidade) Um função complexa f é dita analítica em um domínio D se ela é de nida e diferenciável em cada ponto deste domínio.
Estabeleceremos agora um critério simples para veri car se uma dada função complexa f (z) = u(x, y) + iv(x, y) é analítica, isto é, se possui derivada. Inicialmente supomos que nossa função f é analítica em um certo domínio D, logo sua derivada
f ′(z) = lim ∆z→ 0
f (z + ∆z) − f (z) ∆z
existe para todos os pontos em D. Reescrevendo esta derivada usando as partes real e imaginária de f obtemos
f ′(z) = lim ∆x,∆y→ 0
u(x + ∆x, y + ∆y) + iv(x + ∆x, y + ∆y) − u(x, y) − iv(x, v) ∆x + i∆y
Pelo caminho I da Figura 2.2 inicialmente ∆y → 0 e a derivada dada pela equação (2.3) ca
f ′(z) = lim ∆x→ 0
u(x + ∆x, y) + iv(x + ∆x, y) − u(x, y) − iv(x, v) ∆x
= lim ∆x→ 0
u(x + ∆x, y) − u(x, y) ∆x
v(x + ∆x, y) − v(x, v) ∆x =
∂u ∂x
∂v ∂x
. (2.4a)
∂v ∂θ
∂v ∂x
∂x ∂θ
∂v ∂y
∂y ∂θ
∂v ∂x r sen(θ) +
∂v ∂y r cos(θ) (2.6b)
∂u ∂r
∂u ∂x
∂x ∂r
∂u ∂y
∂y ∂r
∂u ∂x
cos(θ) +
∂u ∂y
sen(θ) (2.6c)
∂v ∂r
∂v ∂x
∂x ∂r
∂v ∂y
∂y ∂r
∂v ∂x
cos(θ) +
∂v ∂y
sen(θ) (2.6d)
Fazendo (2.6a) + r(2.6d) obtemos
∂u ∂θ
∂u ∂x
r sen(θ) + ∂u ∂y
r cos(θ) + ∂v ∂x
r cos(θ) + ∂v ∂y
r sen(θ)
= r sen(θ)
[
∂u ∂x
∂v ∂y
]
[
∂u ∂y
∂v ∂x
]
pois ux = vy e vx = −uy. Logo
∂v ∂r
r
∂u ∂θ
∴ vr = −
r
uθ. (2.6e)
Fazendo (2.6b) - r(2.6c) obtemos
∂v ∂θ
− r
∂u ∂r
∂v ∂x
r sen(θ) +
∂v ∂y
r cos(θ) −
∂u ∂x
r cos(θ) −
∂u ∂y
r sen(θ)
= r sen(θ)
[
∂v ∂x
∂u ∂y
]
[
∂v ∂y
∂u ∂x
]
pois ux = vy e vx = −uy. Logo
∂u ∂r
r
∂v ∂θ
∴ ur =
r
vθ. (2.6f)
As equações (2.6e) e (2.6f) são as Equações de Cauchy-Riemann na forma polar.
Exemplo 2.5 Veri car a analiticidade da função complexa f (z) = z^6. Reescrevendo f na forma polar obtemos f (z) = r^6
[
cos(6θ) + isen(6θ)
]
, onde r = |z| e θ = Arg(z). Temos u(r, θ) = r^6 cos(6θ) e v(r, θ) = r^6 sen(6θ), donde:
ur = 6r^5 cos(6θ) e vθ = 6r^6 cos(6θ),
uθ = − 6 r^6 sen(6θ) e vr = 6r^5 sen(6θ).
Uma vez que as derivadas parcias ur , vθ, uθ e vr são contínuas para todo ponto (r, θ) ∈ R^2 e também satisfazem as equações de Cauchy-Riemann, ur = (^1) r vθ e vr = − (^1) r uθ , a função f (z) = z^6 é analítica para todo z ∈ C.
2.4 Funções harmônicas
De nição 3 (Laplaciano) Seja u = u(x, y) uma função real com derivadas parciais de segunda ordem contínuas. De ne-se seu laplaciano, denotado ∇^2 u, como
∇^2 u =
∂^2 u ∂x^2
∂^2 u ∂y^2
= uxx + uyy. (2.7)
Teorema 4 As partes real e imaginária de uma função complexa f (z) = u(x, y) + iv(x, y) analítica em um domínio D têm laplaciano nulo em D, isto é, se f é analítica, então
∇^2 u = uxx + uyy = 0 e ∇^2 v = vxx + vyy = 0.
Prova: pelas equações de Cauchy-Riemann temos
ux = vy ∴ uxx = vyx ,
uy = −vx ∴ uyy = −vxy ,
logo ∇^2 u = uxx + uyy = vyx − vxy = 0
pela igualdade das derivadas parciais mistas. A prova para v é análoga.
De nição 5 Uma função u = u(x, y) é dita harmônica se ∇^2 u = 0.
Observe que pelo Teorema 4 as partes real e imaginária de uma função complexa f (z) = u(x, y) + iv(x, y) analítica são funções harmônicas. Neste caso dizemos que v = v(x, y) é a função harmônica conjugada^1 de u = u(x, y). Dada uma função harmônica podemos encontrar sua conjugada utilizando as equações de Cauchy-Riemann. o Exemplo 2.6 ilustra este processo.
Exemplo 2.6 Consideremos a função u(x, y) = x^2 − y^2 + 1.
(a) Veri que se u é harmônica.
ux = 2x ∴ uxx = 2 ; uy = − 2 y ∴ uyy = − 2
logo ∇^2 u = uxx + uyy = 2 − 2 = 0. Assim, como ∇^2 u = 0, temos que u é harmônica.
(b) Determine sua harmônica conjugada v = v(x, y). Como ux = vy temos que vy = 2x, donde
v(x, y) =
2 x ∂y = 2xy + H(x).
Por outro lado vx = −uy , donde
2 y + H′(x) = −(− 2 y) ∴ H′(x) = 0 ∴ H(x) = c.
Assim v(x, y) = 2xy + c.
2.5 Problemas Propostos - Derivadas de funções com-
plexas
(1) Calcule a derivada da função
(a) f (z) = z^3 +8z^2 − 4 z+
(b) f (z) = z^4 − z^2 + 3 − i
(c) f (z) = (z^2 − 3 z)^3
(d) f (z) =
z^2 − z + 3i
(e) f (z) = (^1) −^1 z
(f) f (z) = z
(^2) − 1 z^2 +
(2) Determine a derivada da função no ponto zo
(^1) O termo conjugada empregado aqui não tem nhenhuma relação com o conjugado de um número complexo
Capítulo 3
Função exponencial complexa
3.1 Problemas Propostos
(1) Use as Equações de Cauchy-Riemann para mostrar que a função exponencial complexa f (z) = ez^ é analítica para todo z ∈ C.
(2) Calcule ez^ para
(a) z = i π 4 (b) z = −i π 4
(c) z = i 34 π (d) z = i π 3
(e) z = −i π 3 (f) z = 2+ 4 iπ
(g) z = 1 + i (h) z = 2 + i 5 π
(3) Determine as partes real e imaginária da função
(a) f (z) = e^3 z^ (b) f (z) = ez
2 (c) f (z) = ez
3 (d) f (z) = ee
z
(4) Mostre que ez^ e ez^ são conjugadas.
(5) Escreva cada número complexo a seguir na forma exponencial
z = r
[
cos(θ) + isen(θ)
]
= reiθ^.
(a) z = i (b) z = −i
(c) z =
i (d) z =
−i
(e) z = 1 + i (f) z = 1 − i
(g) z = 2 + i
(h) z = −2 + i
(6) Mostre que f (z) = f (x + iy) = ex
[
cos(ky) + isen(ky)
]
é analítica se somente se k = 1.
(7) Veri que se a função é harmônica. Caso seja determine sua conjugada.
(a) u(x, y) = 2excos(y)
(b) u(x, y) = e x^2 − 2 y^2 cos(xy)
(c) u(x, y) = exy^ cos
x^2 − y^2 2
