Baixe Números Complexos: Propriedades e Representação Geométrica e outras Exercícios em PDF para Matemática, somente na Docsity!
N´umeros Complexos (12.o^ ano)
Conjuntos de pontos e condi¸c˜oes
Exerc´ıcios de Provas Nacionais e Testes Interm´edios - Propostas de resolu¸c˜ao
- Considerando o n´umero complexo z escrito na forma alg´ebrica, z = x + yi, temos:
z × z = 4 ⇔ (x + yi) × (x − yi) = 4 ⇔ x^2 − xyi + xyi − y^2 i^2 = 4 ⇔ x^2 − y^2 (−1) = 4 ⇔ x^2 + y^2 = 2^2
Ou seja, a condi¸c˜ao z × z = 4 define uma circunferˆencia de centro na origem e raio 2.
Resposta: Op¸c˜ao A Exame – 2022, 1.a^ Fase
- Observando a condi¸c˜ao, temos que:
Re (z) × Im (z) = 1 ⇔ Im (z) =
Re (z)
Ou seja, o conjunto de afixos que verificam a condi¸c˜ao, s˜ao os afixos de n´umeros complexos, cujas partes real e imagin´aria s˜ao inversamente proporcionais, ou seja, o conjunto de pontos ´e uma hip´erbole.
Podemos ainda verificar que estes afixos pertencem ao 1.o^ e 3.o^ quadrantes, porque os n´umeros complexos correspondentes tˆem as partes real e imagin´aria, ambas positivas, ou ambas negativas.
Assim, de entre as op¸c˜oes apresentadas, a ´unica onde pode estar representado, no plano complexo, o conjunto de pontos definido por esta condi¸c˜ao, ´e a op¸c˜ao D.
Resposta: Op¸c˜ao D Exame – 2020, 1.a^ Fase
- Simplificando a express˜ao de w, como i^7 = i4+3^ = i^4 × i^3 = 1 × (−i) = −i, e z 2 = 1 + 2i, temos que:
w =
3(2 − 3 i) − i(1 + 2i) 1 + (−i)
6 − 9 i − i − 2 i^2 1 − i
6 − 10 i − 2(−1) 1 − i
6 − 10 i + 2 1 − i
8 − 10 i 1 − i
(8 − 10 i)(1 + i) (1 − i)(1 + i)
8 + 8i − 10 i − 10 i^2 12 − i^2
8 − 2 i − 10(−1) 1 − (−1)
8 − 2 i + 10 1 + 1
18 − 2 i 2
= 9 − i
Calculando a distˆancia entre os afixos de z 1 e w, temos:
|w − z 1 | = | 9 − i − (2 − 3 i)| = | 9 − i − (2 − 3 i)| = | 9 − i − 2 + 3i| = |7 + 2i| =
72 + 2^2 =
Como a distˆancia entre os afixos de z 1 e w ´e igual a
53, o afixo do n´umero complexo w pertence `a circunferˆencia de centro no afixo (imagem geom´etrica) de z 1 e raio igual a
Exame – 2019, 2.a^ Fase
- Simplificando a express˜ao de w, como i^6 = i4+2^ = i^4 × i^2 = 1 × (−1) = −1, e z 1 = 3 − 4 i temos que:
w = 3 + 4i + (−1) + 2(3 − 4 i) 3 + 4i − (4 + 6i)
3 + 4i − 1 + 6 − 8 i 3 + 4i − 4 − 6 i
8 − 4 i − 1 − 2 i
(8 − 4 i)(−1 + 2i) (− 1 − 2 i)(−1 + 2i)
−8 + 16i + 4i − 8 i^2 (−1)^2 − (2i)^2
−8 + 20i − 8(−1) 1 − 4 i^2
−8 + 20i + 8 1 − 4(−1)
20 i 1 + 4
20 i 5 = 4i
Assim, temos que: |w| =
02 + 4^2 = 4
E a condi¸c˜ao |z| = |w| ⇔ |z| = 4 define uma circunferˆencia de centro na origem e raio 4, pelo que a condi¸c˜ao |z| = |w| ∧ Im z ≥ 0 ∧ Re z ≥ 0 corresponde a um quarto da circunferˆencia anterior.
Desta forma o comprimento da linha definido pela condi¸c˜ao ´e um quarto do per´ımetro da circunferˆencia:
P◦ 4
2 πr 4
2 π × 4 4
= 2π
0 4 Re(z)
Im(z)
Exame – 2019, 1.a^ Fase
- Como z 1 × z 2 = 4 − 3 i ⇔ z 2 =
4 − 3 i z 1
, calculando o valor de z 2 , temos:
z 2 =
4 − 3 i 2 + i
(4 − 3 i)(2 − i) (2 + i)(2 − i)
8 − 4 i − 6 i + 3i^2 22 − i^2
8 − 10 i − 3 4 − (−1)
5 − 10 i 5
= 1 − 2 i
E assim, temos que: z 2 = 1 − 2 i ⇔ z 2 = 1 + 2i
Escrevendo
2 ei(^
π 4 ) na forma alg´ebrica, temos:
√ 2 ei(^
π 4 )
cos π 4
i
i = 1 + i
Assim, o n´umero complexo anterior verifica a condi¸c˜ao |z − z 1 | = |z − z 2 |, porque:
- |(1 + i) − (2 + i)| = |1 + i − 2 − i| = | 1 − 2 + 0i| = | − 1 | = 1
- |(1 + i) − (1 + 2i)| = |1 + i − 1 − 2 i| = | 1 − 1 − i| = | − i| = 1
Como o n´umero complexo
2 ei(^
π 4 ) verifica a condi¸c˜ao |z − z 1 | = |z − z 2 |, ent˜ao a representa¸c˜ao geom´etrica deste n´umero complexo est´a a igual distˆancia das representa¸c˜oes geom´etricas dos complexos z 1 e z 2
Exame – 2017, 2.a^ Fase
- A regi˜ao ´e defina pela conjun¸c˜ao de duas condi¸c˜oes, cujas re- presenta¸c˜oes gr´aficas no plano complexo s˜ao: - a regi˜ao dos 3o^ e 4o^ quadrantes limitada pelas bissetrizes destes quadrantes
5 π 4
≤ arg (z) ≤
7 π 4
- o semiplano acima da reta horizontal defina por Im (z) ≥ − 1 Assim, a regi˜ao definida pela conjun¸c˜ao ´e um triˆangulo, cujos v´ertices s˜ao a origem e os pontos de coordenadas (− 1 , − 1) e (1, − 1), ou seja, a medida da base ´e 2 e da altura ´e 1, pelo que, a ´area (A∆) ´e: A∆ =
2 × 1
Resposta: Op¸c˜ao D
Re(z)
Im(z)
O
−i
− (^1 ) 5 π (^4 7) π 4
Exame – 2017, 1.a^ Fase
- Analisando cada um dos n´umeros complexos das hip´oteses apresentadas, podemos verificar que:
- 3 + 4i n˜ao pertence `a regi˜ao definida pela condi¸c˜ao porque
arg(3 + 4i) > π 4
- 6 + 2i n˜ao pertence `a regi˜ao definida pela condi¸c˜ao porque
Re(6 + 2i) > 5
ei(^
π 6 )) = cos π 6
, ent˜ao ei(^
π 6 ) n˜ao per- tence `a regi˜ao definida pela condi¸c˜ao porque
Re
ei(^
π 6 )) < 1
Re(z)
Im(z)
0 π 4 Re (z) = 1 Re (z) = 5
3 + 4i
6 + 2i
ei(^
π 6 )
2 ei(^
13 π 6 )
Assim, podemos concluir que o n´umero complexo 2ei(^
136 π ) , pertence `a regi˜ao definida pela condi¸c˜ao, por- que:
2 ei(^
136 π )) = 2 cos
13 π 6
= 2 cos
π 6
= 2 ×
3, logo 1 < Re
2 ei(^
136 π )) < 5
2 ei(^
136 π )) = arg
2 ei(^
136 π − 2 π)) = arg
2 ei(^
π 6 ))
π 6
, logo 0 < arg
2 ei(^
136 π )) <
π 4
Resposta: Op¸c˜ao C
Exame – 2016, Ep. especial´
- Analisando cada uma das afirma¸c˜oes temos
- (A) |z 3 − z 1 | = |z 4 − z 2 | ´e uma afirma¸c˜ao verdadeira porque |z 3 − z 1 | ´e a distˆancia entre os v´ertices correspondentes ao complexos z 3 e z 1 , (ou seja a medida da diagonal do quadrado), tal como |z 4 − z 2 | representa a medida da outra diagonal do quadrado. Como as medidas das diagonais do quadrado s˜ao iguais, a afirma¸c˜ao ´e verdadeira.
- z 1 + z 4 = 2 Re (z 1 ) ´e uma afirma¸c˜ao verdadeira porque como o centro do quadrado est´a centrado na origem e os lados s˜ao paralelos aos eixos, os v´ertices do quadrado est˜ao sobre as bissetrizes dos quadrantes, ou seja, z 1 = a + ai e z 4 = a − ai, com a ∈ R+ Assim, vem que z 1 + z 4 = a + ai + a − ai = 2a = 2 Re (z 1 )
- (C) z 4 i
= z 1 ´e uma afirma¸c˜ao falsa porque z 4 i
= z 1 ⇔ z 4 = z 1 × i e z 1 = a + ai e z 4 = a − ai, com a ∈ R+ Como z 1 × i = (a + ai) × i = ai + ai^2 = ai + a(−1) = ai − a = −a + ai = z 2 Ou seja, multiplicar por i corresponde geometricamente a fazer uma rota¸c˜ao de
π 2 radianos, no sentido positivo. Assim, fazendo a uma rota¸c˜ao deste tipo da imagem geom´etrica de z 1 , obtemos a imagem geom´etrica de z 2 e n˜ao a imagem geom´etrica de z 4
- (D) −z 1 = z 2 ´e uma afirma¸c˜ao verdadeira porque z 1 = a + ai e z 2 = −a + ai, com a ∈ R+ Logo −z 1 = −
a + ai
= −(a − ai) = −a + ai = z 2
Resposta: Op¸c˜ao C
Exame – 2015, Ep. especial´
- Os pontos da zona sombreada pertencem ao exterior da circunferˆencia de centro na imagem geom´etrica
do n´umero complexo 2i e raio
, ou seja, a distˆancia `a imagem geom´etrica de 2i ´e superior a
ou seja, os n´umeros complexos z verificam a condi¸c˜ao |z − 2 i| >
Como os pontos da regi˜ao sombreada representam n´umeros complexos cujo argumento est´a comprendido
entre arg
e arg
vamos determinar estes argumentos.
Seja θ 1 = arg
, assim temos que tg (θ 1 ) =
Como θ 1 ´e um ˆangulo do 1o^ quadrante, temos que θ 1 =
π 3 Analogamente temos que θ 2 = arg
2 π 3 E assim, os n´umeros complexos z verificam a condi¸c˜ao condi¸c˜ao anterior, e cumulativamente, a condi¸c˜ao π 3
< arg (z) <
2 π 3
Resposta: Op¸c˜ao C Exame – 2014, 2.a^ Fase
- Escrevendo (1 + i) na f.t. temos (1 + i) = ρeiθ^ , onde:
12 + 1^2 =
= 1 ; como sen θ > 0 e cos θ > 0, θ ´e um ˆangulo do 1o^ quadrante, logo θ =
π 4 Logo (1 + i) =
2 ei(^
π 4 )
Calculando a potˆencia temos que:
Como w = (1 + i)^2013 =
2 ei(^
π 4 ))^2013
2013 ei(^2013 ×^
π 4 )
2013 ei(^
20134 π)
Assim: arg (w) = 2013 π 4
(4 × 503 + 1)π 4
4 × 503 π + π 4
4 × 503 π 4
π 4
= 503π + π 4 Descontando as voltas completas temos arg (w) = π + π 4
4 π 4
π 4
5 π 4
Ou seja, a representa¸c˜ao geom´etrica de w ´e um ponto do 3o^ quadrante que pertence `a bissetriz dos quadrantes ´ımpares, pelo que Re(z) = Im(z)
Resposta: Op¸c˜ao D
Exame – 2013, Ep. especial´
- Podemos reescrever a condi¸c˜ao dada na forma:
3 2 ≤ |z − 3 + i| ≤ 3 ∧
π 3 ≤ arg(z − 3 + i) ≤
2 π 3
≤ |z-(3-i)| ≤ 3 ∧
π 3
≤ arg(z-(3-i)) ≤
2 π 3 Assim, sendo o ponto P a representa¸c˜ao geom´etrica do n´umero complexo 3 − i, a condi¸c˜ao define o conjunto de pontos do plano complexo que:
- est˜ao a uma distˆancia do ponto P compreendida entre
e 3
- definem com a semirreta paralela ao eixo real com origem no ponto P e que se prolonga no sentido positivo do eixo, um ˆangulo compreendido entre
π 3
rad e
2 π 3
rad
Resposta: Op¸c˜ao A
Re(z)
Im(z)
P
π 3
2 π 3
Exame – 2013, 2.a^ Fase
- Seja θ = arg(z 1 ). Como Re(z 1 ) =
= cos θ, |z 1 | = 1 e θ ´e um ˆangulo do
1 o^ quadrante, temos que θ =
π 3
Logo sen θ =
= Im(z)
Resposta: Op¸c˜ao B
Re(z)
Im(z)
r
z 1
π 3 1
Exame – 2012, Ep. especial´
- A coroa circular representada ´e o conjunto dos pontos que distam da origem entre 3 e 6 unidades, ou seja a re- presenta¸c˜ao dos n´umeros complexos z, tais que 3 ≤ |z| ≤ 6
Os pontos assinalados devem ainda satisfazer a condi¸c˜ao de que o ˆangulo (medido a partir da representa¸c˜ao geom´etrica do complexo −1 + i est´a compreendido entre −π rad e
3 π 4 rad.
Ou seja: −π ≤ arg (z − (−1 + i)) ≤
3 π 4
⇔ −π ≤ arg (z + 1 − i) ≤
3 π 4 Resposta: Op¸c˜ao C
Re(z)
Im(z)
P^ Q
R
−π
3 π 4
Exame – 2012, 1.a^ Fase
- Come¸camos por escrever z 1 na f.a.:
z 1 =
2 ei(^
π 4 )
cos
π 4
π 4
i
i = 1 + i
O raio da da circunferˆencia ´e |z 2 − z 1 |, ou seja, a distˆancia entre as representa¸c˜oes geom´etricas dos dois n´umeros complexos. Logo temos que : |z 2 − z 1 | = | 3 − (1 + i)| = | 3 − 1 − i| = | 2 − i| =
22 + (−1)^2 =
Assim a circunferˆencia que tem centro na imagem geom´etrica de z 2 e que passa na imagem geom´etrica de z 1 ´e definida por: |z − z 2 | = |z 2 − z 1 | ⇔ |z − 3 | =
Exame – 2010, 2.a^ Fase
- Os n´umeros complexos das op¸c˜oes (A) e (C) n˜ao pertencem ao semiplano apresentado, porque as respetivas representa¸c˜oes geom´etricas distam menos de 3 unidades da origem. Como o n´umero complexo da op¸c˜ao (D) est´a sobre o eixo imagin´ario, tamb´em n˜ao pertence ao semiplano apresentado.
Como Re
3 ei(^
π 6 )) = 3
3 cos
π 6
3 ×
3 × 3
Temos que Re
3 ei(^
π 6 )
Resposta: Op¸c˜ao B
Re(z)
Im(z)
(A)
(B)
(D)
(C)
Exame – 2010, 1.a^ Fase
- Os pontos representado na regi˜ao a sombreado satisfazem cumu- lativamente trˆes condi¸c˜oes:
- Re (z) ≤ 2, ou seja pertencem ao semiplano `a direita da reta definida por Re (z) = 2
- Im (z) ≥ −1, ou seja pertencem ao semiplano acima da reta definida por Im (z) = − 1
- |z− 1 | ≥ |z−(2−i)|, ou seja pertencem ao semiplano definido pela reta definida por |z − 1 | = |z − (2 − i)| que cont´em a representa¸c˜ao geom´etrica de (1 − 2 i), porque queremos considerar os pontos cuja distˆancia ao ponto (1,0) ´e maior que a distˆancia ao ponto (2, − 1). Resposta: Op¸c˜ao A
Re(z)
Im(z)
(2 − i)
Exame – 2009, 2.a^ Fase
- • Como z 1 = bi, ou seja z 1 ´e um n´umero imagin´ario puro, com a respetiva representa¸c˜ao geom´etrica sobre o eixo imagin´ario.
- Logo (z 1 )^2 = (bi)^2 = b^2 i^2 = b^2 ×(−1) = −b^2 ´e um n´umero real negativo com a respetiva representa¸c˜ao geom´etrica sobre a parte negativa do eixo real.
- Logo (z 1 )^3 = (bi)^3 = b^3 i^3 = b^3 × (−i) = −b^3 i ´e um n´umero imagin´ario puro, com a respetiva representa¸c˜ao geom´etrica sobre o eixo imagin´ario.
A ´unica op¸c˜ao em que triˆangulo tem dois v´ertices sobre o eixo imagin´ario e o terceiro sobre a parte negativa do eixo real ´e a op¸c˜ao (C).
Resposta: Op¸c˜ao C
Re(z)
Im(z)
z 1
(z 1 )^2
(z 1 )^3
Exame – 2009, 1.a^ Fase
- Analisando cada uma das op¸c˜oes apresentadas, temos que:
- A condi¸c˜ao |z + 4| = 5 pode ser escrita como |z − (−4)| = 5 e define os pontos do plano complexo, cuja distˆancia `a representa¸c˜ao geom´etrica do n´umero complexo w = −4 ´e igual a 5. Ou seja, a circunferˆencia de centro no ponto de coordenadas (− 4 ,0) e raio 5.
- A condi¸c˜ao |z| = |z + 2i| pode ser escrita como |z − 0 | = |z − (− 2 i)| e define os pontos do plano complexo, que s˜ao equidistantes das representa¸c˜oes geom´etricas do n´umeros complexos w 1 = 0 e w 2 = − 2 i. Ou seja, a mediatriz do reta cujos extremos s˜ao os pontos de coordenadas (0,0) e (0, − 2).
- A condi¸c˜ao 0 ≤ arg (z) ≤ π define todos os n´umeros complexos cuja representa¸c˜ao geom´etrica define com a origem e a parte positiva do eixo real um ˆangulo compreendido entre 0 e π radianos. Ou seja, a totalidade dos 1o^ e 2o^ quadrantes.
- A condi¸c˜ao Re (z) + Im (z) = 2 define todos os n´umeros complexos da forma w = a + (2 − a)i, com a ∈ R. Ou seja a reta paralela `a bissetriz dos quadrantes ´ımpares que cont´em o ponto de coordenadas (0, − 2).
Resposta: Op¸c˜ao A
Exame – 2008, Ep. especial´
- Os pontos representado na regi˜ao a sombreado satisfazem cu- mulativamente duas condi¸c˜oes:
- Re (z) ≤ 3, ou seja, pertencem ao semiplano `a direita da reta definida por Re (z) = 3
- −
π 4
≤ arg (z) ≤ 0, ou seja, os pontos que s˜ao imagens geom´etricas de n´umeros complexos cujo argumento est´a compreendido entre −
π 4
e 0
Resposta: Op¸c˜ao A
Re(z)
Im(z)
Re (z) = 3
− π 4
Exame – 2008, 2.a^ Fase
- Sendo z = a + bi, com a ∈ R e b ∈ R, vem que z = a − bi.
Assim, temos que z + z = 2 ⇔ a + bi + a − bi = 2 ⇔ 2 a = 2 ⇔ a = 1
Ou seja, a condi¸c˜ao z + z = 2 pode ser escrita como Re (z) = 1, e a sua representa¸c˜ao geom´etrica ´e a reta paralela ao eixo imagin´ario que cont´em a representa¸c˜ao geom´etrica do n´umero complexo w = 1.
Resposta: Op¸c˜ao B Exame – 2008, 1.a^ Fase
- A condi¸c˜ao
≤ |z| < 1 define a coroa circular delimitada pelas
circunferˆencias centradas na origem e de raios
e |z| < 1; e a
condi¸c˜ao 3 π 4
≤ arg (z) ≤ 5 π 4
define a regi˜ao do plano complexo, dos 2o^ e 3o^ quadrantes compreendido entre as bissetrizes dos quadrantes, como nas figuras ao lado.
Re(z)
Im(z)
(^0) Re(z)
Im(z)
A condi¸c˜ao
≤ |z| ≤ 1 ∧
3 π 4 ≤ arg (z) ≤
5 π 4 , ´e a interse¸c˜ao das duas regi˜oes definidas, pelo que a sua representa¸c˜ao geom´etrica ´e a zona representada a sombreado na figura ao lado.
A ´area da coroa circular pode ser calculada como a dife- ren¸ca das ´areas dos dois c´ırculos:
- Area do c´´ ırculo de raio 1: A = π × 12 = π
- Area do c´´ ırculo de raio 12 : A = π ×
= π ×
π 4
- Area da coroa circular´ A = π −
π 4
4 π 4
π 4
3 π 4
Re(z)
Im(z)
1 2 1
Como as bissetrizes dos quadrantes dividem a coroa circular em quatro partes iguais, a ´area da regi˜ao defina pela condi¸c˜ao ´e
A =
3 π 4 4
3 π 16 Exame – 2006, 1.a^ Fase
- Sendo P a representa¸c˜ao geom´etrica do n´umero complexo z 1 , a condi¸c˜ao |z − z 1 | ≤ 1 ∧ |z| ≤ |z − z 1 |, define uma regi˜ao do plano complexo que ´e a interse¸c˜ao de duas regi˜oes distintas:
- o interior da circunferˆencia de centro em P e raio 1 (|z − z 1 | ≤ 1)
- o semiplano cuja fronteira ´e a mediatriz do segmento de reta, cujos extremos s˜ao a origem e o ponto P e que cont´em a origem; ou seja o conjunto dos pontos que est˜ao mais perto da origem do que do ponto P (|z| ≤ |z − z 1 |) Assim, na figura ao lado, a sombreado, est´a a representa¸c˜ao geom´etrica da regi˜ao definida pela condi¸c˜ao.
Re(z)
Im(z)
P
Para o tra¸cado da figura pode ser ´util considerar que a circunferˆencia deve passar pela origem porque tem raio 1 e |z 1 | = 1; que a reta que define o semiplano ´e perpendicular ao segmento de reta [OP ] e cont´em o ponto m´edio desse segmento de reta; e que o ponto P tem de coordenadas (0,87; 12 ), arredon- dando a abcissa `as d´ecimas.
Exame – 2005, ´Ep. especial (c´od. 435)
- Sendo P a representa¸c˜ao geom´etrica do n´umero complexo w 2 , e obser- vando que Re (w 1 ) = Re (1 + i) = 1 a condi¸c˜ao Re (z) ≥ Re (w 1 ) ∧ |z − w 2 | ≤
3, define uma regi˜ao do plano complexo que ´e a interse¸c˜ao de duas regi˜oes distintas:
- o interior da circunferˆencia de centro em P e raio
3 (|z −z 1 | ≤ 1)
- o semiplano `a direita da reta definida pela condi¸c˜ao Re (z) = 1 Assim, na figura ao lado, a sombreado, est´a a representa¸c˜ao geom´etrica da regi˜ao definida pela condi¸c˜ao.
Para o tra¸cado da figura pode ser util´ considerar que a circun- ferˆencia deve passar pela origem porque tem raio
3 e |w 2 | =
que a reta que define o semiplano ´e perpendicular ao eixo real e passa no ponto de coordenadas (1,0); e que o ponto P tem de coordenadas (0; − 1 .73), arredondando a ordenada `as d´ecimas.
Re(z)
Im(z)
0
P
Exame – 2005, 2.a^ fase (c´od. 435)
- A regi˜ao assinalada na figura a sombreado, ´e o conjunto dos pontos do plano complexo que verificam cumulativamente trˆes condi¸c˜oes:
- s˜ao representa¸c˜oes geom´etricas de n´umeros complexos que tˆem parte real superior a -1; ou seja pertencem ao semiplano `a direita da reta definida pela condi¸c˜ao Re (z) = 1, (Re (z) ≥ 1)
- s˜ao representa¸c˜oes geom´etricas de n´umeros complexos que tˆem parte imagin´aria superior a 0; ou seja pertencem ao semiplano acima da reta definida pela condi¸c˜ao Im (z) = 0, (Im (z) ≥ 0)
- est˜ao mais perto do ponto (− 1 ,0) do que do ponto (0,1); ou seja pertencem ao semiplano definido pela mediatriz do segmento de reta cujos extremos s˜ao as representa¸c˜oes geom´etricas dos n´umeros complexos −1 e i e que cont´em a representa¸c˜ao geom´etrica de -1, (|z − (i)| ≥ |z − (−1)| ⇔ |z − i| ≥ |z + 1|)
Re(z)
Im(z)
Assim, a conjun¸c˜ao das trˆes condi¸c˜oes ´e Re (z) ≥ − 1 ∧ Im (z) ≥ 0 ∧ |z − i| ≥ |z + 1|
Resposta: Op¸c˜ao C
Exame – 2004, 1.a^ Fase (c´od. 435)
- A circunferˆencia de centro na imagem geom´etrica de w e que passa na origem do referencial ´e definda pela condi¸c˜ao |z − w| = |w|; como w = 1 + 2i e |w| =
12 + 2^2 =
5, vem que:
|z − w| = |w| ⇔ |z − (1 + 2i)| =
5 ⇔ |z − 1 − 2 i| =
Para que seja considerada apenas a parte da cirunferˆencia que et´a contida no quarto quadrante, temos que definir cumulativamente que os pontos devem obedecer `a condi¸c˜ao Re (z) > 0 ∧ Im (z) < 0, ou seja que s´o consideramos pontos que sejam representa¸c˜oes geom´etricas de n´umeros complexos com parte real positiva e parte imagin´aria negativa.
Assim a condi¸c˜ao ´e |z − 1 − 2 i| =
5 ∧ Re (z) > 0 ∧ Im (z) < 0
Exame – 2003, Prova para militares (c´od. 435)
- Resposta: Op¸c˜ao A
- Sendo z = a + bi (com a ∈ R e b ∈ R), temos que z = a − bi, assim a condi¸c˜ao z + z = 0 pode ser escrita como a + bi + a − bi = 0 ⇔ 2 a = 0 ⇔ a = 0 ou seja a condi¸c˜ao z + z = 0 ⇔ Re (z) = 0 define os n´umeros complexos imagin´arios puros, ou seja o eixo imagin´ario.
- A condi¸c˜ao Im (z) = 1 define os n´umeros complexos da forma z = a + i (com a ∈ R) ou seja a reta paralela ao eixo real que cont´em o ponto de coordenadas (0,1)
- A condi¸c˜ao |z| = 0 define os pontos que est˜ao `a distˆancia zero da origem, ou seja define apenas a origem do referencial.
- Sendo z = a − bi (com a ∈ R e b ∈ R), temos que z = a − bi, assim a condi¸c˜ao z + z = 0 pode ser escrita como a + bi − (a − bi) = 0 ⇔ a + bi − a + bi) = 0 ⇔ 2 bi = 0 ⇔ b = 0 ou seja a condi¸c˜ao z − z = 0 ⇔ Im (z) = 0 define os n´umeros reais, ou seja o eixo Real.
Exame – 2002, 1.a^ fase - 1.a^ chamada (c´od. 435)
- A condi¸c˜ao indicada ´e a conjun¸c˜ao de duas condi¸c˜oes distintas, ou seja, os pontos pertencentes `a regi˜ao definida pela condi¸c˜ao satisfazem cumulativamente as condi¸c˜oes:
- |z| ≤ 1, ou seja, s˜ao os pontos que pertencem ao interior da cir- cunferˆencia de centro na origem e raio 1
- arg(z) =
π 2
, ou seja, s˜ao os pontos que pertencem `a parte positiva do eixo imagin´ario Resposta: Op¸c˜ao A
Re(z)
Im(z)
Exame – 2001, ´Ep. especial (c´od. 435)
- Seja w o n´umero complexo 3 + 4i, se escrevermos w na f.t. temos w = ρeiθ^ , em que ρ = |w| = |3 + 4i| =
32 + 4^2 =
25 = 5 e sabemos ainda que θ ´e um ˆangulo do 1o^ quadrante, porque sen θ > 0 e cos θ > 0
Logo, as ra´ızes quadradas de w s˜ao: √ w =
5 ei(^
θ 2 + 2 kπ 2 ) , k ∈ { 0 , 1 }, ou seja, temos 2 ra´ızes quadradas:
5 ei(^
θ 2 +0)
5 ei(^
θ 2 )
5 ei(^
θ 2 + 22 π )
5 ei(^
θ 2 +π)
Como 0 < θ <
π 2
, porque θ ´e um ˆangulo do 1 o^ quadrante,
0 <
θ 2
π 4
logo
θ 2 tamb´em ´e um ˆangulo do 1o^ quadrante.
E se
θ 2
´e um ˆangulo do 1o^ quadrante,
θ 2
- π ´e um ˆangulo do 3o quadrante.
Resposta: Op¸c˜ao A
Re(z)
Im(z)
w
z 1
z 2
π
Exame – 2001, 2.a^ fase (c´od. 435)
- Como z 1 = 2ei(^
π 3 ) logo arg (z 1 ) =
π 3 , ou seja z 1 ´e n´umero complexo, cuja representa¸c˜ao geom´etrica ´e o v´ertice representado no 1o^ quadrante.
Como o pent´agono ´e regular, sendo z 2 o n´umero complexo cuja representa¸c˜ao geom´etrica ´e o v´ertice representado no 2o^ quadrante, e arg (z 2 ) = π 3
2 π 5
5 π 15
6 π 15
11 π 5 Assim a regi˜ao indicada a sombreado ´e o conjunto dos pontos que s˜ao representa¸c˜ao geom´etrica de pontos que satisfazem cumulativamente duas condi¸c˜oes:
- os pontos devem pertencer ao interior da circunferˆencia de centro na origem e raio |z 1 |, ou seja |z| < 2
- os pontos devem definir com o semieixo real positivo um ˆangulo compreendido entre
π 3
radianos e 11 π 5
radianos, ou seja
π 3
< arg (z) <
11 π 5 Assim, temos que a condi¸c˜ao que define a regi˜ao a sombreado ´e:
|z| < 2 ∧ π 3
< arg (z) < 11 π 5
Exame – 2001, 1.a^ fase - 1.a^ chamada (c´od. 435)
- Analisando cada uma das op¸c˜oes temos:
- Sendo |z − 1 | = 4 define os n´umeros complexos, cujas representa¸c˜oes geom´etricas s˜ao pontos do plano complexo, cuja distˆancia ao ponto que ´e a representa¸c˜ao geom´etrica do n´umero complexo 1 ´e 4, ou seja a circunferˆencia de centro no ponto (1,0) e raio 4.
- A condi¸c˜ao arg (z) = π 2
os n´umeros complexos cujas representa¸c˜oes geom´etricas s˜ao pontos que definem com o semieixo real positivo um ˆangulo de π 2 radianos. Ous seja a semirreta que coincide com o semieixo positivo imagin´ario.
- Como a 3z + 2i = 0 ⇔ z = − 2 i 3
, a condi¸c˜ao 3z + 2i = 0 representa apenas o ponto (situado sobre
a parte negativa do eixo imagin´ario) que ´e a representa¸c˜ao geom´etrica do n´umero complexo z =
i
- Como |z − 1 | = |z + i| ⇔ |z − 1 | = |z − (−i)|, a condi¸c˜ao |z − 1 | = |z + i| define os n´umeros complexos, cujas representa¸c˜oes geom´etricas s˜ao pontos do plano complexo situados a igual distˆancia das representa¸c˜oes geom´etricas dos complexos 1 e −i, ou seja define a mediatriz do segmento de reta de extremos nestes dois pontos, que coincide com a bissetriz dos quadrantes pares.
Resposta: Op¸c˜ao D
Exame – 2000, 2.a^ Fase (c´od. 435)
- Seja M o ponto m´edio do segmento de reta [AB]. Como A e B s˜ao as imagens geom´etrica dos n´umeros complexos 1 e i, M ´e a imagem geom´etrica do n´umero complexo w = 1 + i 2 A circunferˆencia inscrita no quadrado tem raio
|w| =
e centro na origem, pelo que ´e definida pela condi¸c˜ao:
|z| =
Re(z)
Im(z)
A
B
C
D
M
Exame – 2000, 1.a^ fase - 2.a^ chamada (c´od. 435)
