Baixe Exercícios Resolvidos: Números Complexos e Representação Geométrica e outras Exercícios em PDF para Matemática, somente na Docsity!
1. Representa as regiões do plano definidas pelas condições seguintes.
1.1. ( )
π π 1 2i 3 Arg 1 2i 3 4
z − + − z − +
1.2. z − 1 z − i Re (^) ( z (^) ) Im (^) ( z ) 0
2. Na figura está representado, no plano complexo, um determinado
conjunto de pontos que são os afixos dos números complexos z.
Defina, por meio de uma condição em ℂ, esse conjunto de pontos.
3. Considere o número complexo
5 π i 4 z 1 (^) = 2 3e.
O afixo de z 1 pertence à região do plano complexo definida pela
condição:
(A) Re ( z )= 2 3 (B) ( )
5 π Im 4
z = (C) z 1 (D) ( )
3 π 0 Arg 4
z
4. Em ℂ, conjunto dos números complexos, considere: w^ =^5 +^2 6 i
4.1. Sabendo que w é uma raiz quarta de um certo número complexo z , determine as restantes
raízes quartas de z sem recorrer à calculadora.
4.2. Considere, no plano complexo, a circunferência de centro no afixo de w e que passa pela
origem do referencial.
Defina, por meio de uma condição , a parte desta circunferência que está contida no quarto
quadrante (eixos não incluídos).
5. Represente a região do plano definida pela condição:
( )
4 π 3π Arg 2 4 3 2
z z
6. Identifique o conjunto dos pontos que são afixos dos números z que verificam a condição:
z − 1 = 3 z + i
Sugestão: Substitua z por x + y i; x , y na condição dada e efetue os cálculos.
MATEMÁTICA - 12 ºANO
Forma algébrica e forma trigonométrica
Tema:
Complexos
Ficha nº 76
7. Qual das figuras seguintes pode ser a representação geométrica, no plano complexo, da região
definida pela condição Re^ ( z^ ) +^ Im^ ( z )^3?
(A) (B)
(C) (D)
8. Em ℂ, conjunto dos números complexos, considere os números definidos na forma:
sin i 1( cos ),
2
z
= (^) + +
Prove que os afixos dos números z pertencem à parábola de equação ( )
2 y = 2 1− x.
9. Determine a parte real e a parte imaginária dos números complexos seguintes.
2
− i 4 +2i 9 .2. ( )
1 2 i
− −
4 3i
2 5i
−
2 101 i + i − 2i
10. Determine o conjunto dos números complexos z tais que:
3 i
1 i
z
z
é um número real; 10 .2.
i
1 i
z
z
é um número puro.
Portanto, as restantes raízes quartas de z são:
− 2 6 + 5i , − 5 − 2 6 i e 2 6 −5i
4 .2. O raio da circunferência é igual à distância do afixo de w à origem do referencial, ou seja, é igual ao módulo de w.
Tem-se que w = 52 + (^) ( 2 6 )= 49 = 7
Por isso, uma condição que define a parte da circunferência que está contida no quarto quadrante (eixos não incluídos) é,
por exemplo:
z − (^) ( 5 + 2 6 i (^) )= 7 Im ( z ) 0
6. Vamos substituir z = x + y i, x , y na condição:
x + y i − 3 = 3 x + y i + i
( x − 1 ) + y i = 3 x + ( y +1 i )
( ) ( )
2 2 2 2 x − 1 + y = 3 x + y + 1
Como as expressões de ambos os membros são não negativas:
( (^ ) ) ( (^ ))
2 2 2 2 2 2 x − 1 + y = 3 x + y + 1
( ) (^) ( ( ))
2 2 2 2 x − 1 + y = 9 x + y + 1
( ) ( )
2 2 2 2 x − 1 + y = 9 x + 9 y + 1
2 2 2 2 x − 2 x + 1 + y = 9 x + 9 y + 18 y + 9 2 2 8 x + 2 x + 8 y + 18 y + 8 = 0
2 2 4 x + x + 4 y + 9 y + 4 = 0
x + x + y + y + =
x + x + + y + y + = + −
2 2 1 9 9
8 8 32
x y
Trata-se da circunferência de centro no ponto de coordenadas
−^ −
e raio igual a
7. Substituindo na condição z por x + y i, x , y , tem-se:
Re (^) ( z (^) ) + Im (^) ( z (^) ) 3 Re (^) ( x + y i) + Im (^) ( x + y i) 3
x + y 3 y 3 − x
Trata-se do semiplano fechado superior à reta de equação y = 3 − x.
Resposta: ( D )
- Os afixos dos números complexos da forma:
sin i 1( cos (^) ), 2
z
são os pontos de coordenadas sin , 1 cos , 2
+^
^
Estes pontos pertencem à parábola se as suas coordenadas verificam a equação ( )
2 y = 2 1− x.
2 2 1 cos 2 1 sin 1 cos 2 2sin 2 2
2 2 2 1 cos sin 2 2sin 2 2 2
^ ^ ^ ^ ^
2 2 2 1 1 sin sin 2 2sin 2 2 2
^ ^ ^ ^ ^
2 2 1 1 2sin 2 sin 2 2
2 2 2 2sin 2 2sin 2 2
9 .1. ( ) ( ) ( )
(^2 ) − i 4 + 2i = − i 16 +16i + 4i = − i 16 + 16i − 4 =
( )
2 = − i 12 + 16i = −12i − 16i = 16 −12i
Portanto, a parte real é 16 e a parte imaginária é −12i.
9 .2. ( ) ( )( )
1 2 2
1 2 i 2 i 2 i 2 1 2 i i 2 i 2 i 2 i 2 i 5 5 5
Portanto, a parte real é
e a parte imaginária é
i 5
( )( )
( )( ) (^) ( )
2
2 2
4 3i 4 3i^2 5i 8 20i 6i 15i
2 5i 2 5i 2 5i (^2) 5i
+ +^ + + + +
2
8 15 26i 7 26i 7 26 i 4 25i 29 29 29
Portanto, a parte real é
− e a parte imaginária é
i 29
9 .4. ( ) ( )
2 2 101 100 1 2 2 i i 2 i i i 2 2 i 2 i
( ) ( )
2 = + − + i 1 2 2 + 2i = + − +i 1 2 2 − 2 = −i 3 + 2 2 =
= −( 3 + (^2 2) )+i
Portanto, a parte real é −^3 +^2 2 e a parte imaginária é i.
3 i , 1 i
z a a z
( )
3 i , i 3 i 1 i , i 1 i
z a z z a z z z
3 z + i = a + a z i , z i 3 z − a z i = a − i, z i
z ( 3 − a i) = a − i, z i
i , i 3 i
a z z a
( )( )
( )( )
i 3 i , i 3 i 3 i
a a z z a a
2 2
2 2
3 i 3i i , 1 9 i
a a a z z a
2
2
3 i 3i , i 9
a a a z z a
