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Uma breve historia dos numeros complexos, conceito de numeros complexos e tudo mais.
Tipologia: Notas de estudo
1 / 15
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UNIVERSIDADE DO ESTADO DO PARÁ
CENTRO DE CIÊNCIAS SOCIAIS E EDUCAÇÃO
LICENCIATURA PLENA EM MATEMÁTICA
DOCENTE: Pablo Gatinho
DISCIPLINA: Fundamentos II
DISCENTES: Bruce Ribeio
Idelcarlos Oliveira Paixão
Marcio Antonio Carvalho da Conceição
Renato da Cruz Monteiro
NÚMEROS COMPLEXOS
Paragominas
Mar/
UNIVERSIDADE DO ESTADO DO PARÁ
CENTRO DE CIÊNCIAS SOCIAIS E EDUCAÇÃO
LICENCIATURA PLENA EM MATEMÁTICA
DOCENTE: Pablo Gatinho
DISCIPLINA: Fundamentos II
DISCENTES: Renato Cruz
Trabalho como requisito avaliativo da
disciplina Fundamentos II ministrada pelo
Professor Pablo Gatinho para obtenção
de nota da 3ª avaliação.
Paragominas
Mar/
ÍNDICE
Os números complexos podem ser introduzidos aos alunos do 3ª ano do
ensino médio de diversas maneiras, como é comum em livros didáticos a
representação dos números complexos através do tipo a+bi, com a e b sendo
números reais e i imaginário, como por exemplo, x
2
um número i tal que i
2
= -1. Sendo a maneira de abordar os números matemáticos
através de formulas de onde surgi de inspiração para algumas pessoas chegar a tais
conceitos.
II. HISTÓRICO DOS NÚMEROS COMPLEXOS
As equações do segundo grau pareceram na matemática aproximadamente
1700 anos antes de cristo nas tabuletas de argila da suméria, e em alguns casos
levaram a raízes quadradas de números negativos, porém não foram elas em
nenhum momento que sugeriram o uso dos números complexos.
Gerônimo Cardano (1501-1500) também se deparou com esse tipo de questão
e também considerava que o surgimento de raízes quadradas de um número
negativos na resolução de um problema, apenas indicava que o mesmo não tinha
solução. Apesar disso resolveu seguir mais adiante com os cálculos, e no capitulo
37 do Ars Magna, ele resolve um problema que consiste em dividir um segmento de
comprimento 10 em duas partes tal que o produto delas seja 40, da seguinte
maneira:
X( 10-x ) = 40 e daí vem a equação
X
2
Cujas soluções são: x = 5 + ou -
− 5
O interesse pelo estudo da Matemática ressurgiu na Europa, mais
especialmente na Itália, no século XVI. La, e no meio da disputa entre Cardano e
Tartaglia pela resolução da equação do terceiro grau, e que se percebeu que os
números reais não eram suficientes e as primeiras idéias da criação do conjunto dos
números complexos surgiram.
Os números complexos não surgem da resolução de equação do segundo grau
como já foi dito, mas da resolução da equação do terceiro grau.
Em 1545 no Ars Magna, Cardano publicou uma formula para resolver
equações do terceiro grau, que ficou conhecida como “Fórmula de Cardano”,
Cardano admite que não foi ele o descobridor original da fórmula, pois foi Niccolo
Tartaglia ( 1500 – 1557 ) que lhe deu surgestões sobre as equações.
Tartaglia foi quem ensinou a Cardano, a formula de resolução de uma equação
do terceiro grau, os matemáticos não dispunham de uma notação para tratar as
equações, e não podiam expressar seus métodos resumidamente através de
formulas como fazemos agora. Portanto Tartaglia comunicou Cardano o segredo de
sua descoberta através de versos.
O conjunto dos números complexos é denotado por C. Formado por dois pares
ordenados, (a, b) e (c, d) , do produto cartesiano.
a) ADIÇÃO: (a+bi) + (c+bi) = (a+c) + (b+d)i, isto é a soma de dois números
complexos é um complexo cuja parte real é a soma das partes reais das
parcelas e cuja a parte imaginária é a soma das partes imaginária das
parcelas.
Demonstração: supondo a+bi e c+di dois números complexos quaisquer dados, seja
a expressão:
(a+bi) + (c+di)
Como a adição em C é associativa e comutativa.
(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (bi + di)
E como a propriedade distributiva é valida, teremos:
(a+bi) + (c+bi) = (a+c) + (b+d)i
b) MULTIPLICAÇÃO: (a + bi) (c + di) = (ac – bd) + (ad + bc)i, isto é, o produto
de dois números complexos é o resultado do desenvolvimento de (a + bi)(c +
di), aplicando a propriedade distributiva e levando em conta que i
2
= - 1:
Demonstração: dados os números a + bi e c + di consideremos a expressão
(a + bi).(c + di)
Usando a propriedade distributiva, obtemos:
(a + bi).(c + di) = a(c + di) + bi(c + di)
Usando novamente a distributiva e a comutativa da multiplicação, vem:
(a + bi).(c + di) = ac + adi + bci + bdi
2
Como i
2
= -1, podemos escrever:
(a + bi).(c + di) = ac + adi + bci –bd
Fazendo uso da propriedade comutativa da adição, e da distributiva, obtemos:
(a + bi).(c + di) = (ac – bd) + (ad + bc)i.
c) IGUALDADE: a + bi = c + di a = c e b = d, isto é, dois números complexos
são iguais se, e somente se, tem partes reais iguais e partes imaginárias
iguais.
Demonstração: se a, b, c e d são números reais, então a + bi = c + di se e somente
se a = c e b = d.
a) Se a = c e b = d então a + bi = c + di. Então esta parte do teorema é óbvia, uma
vez que os resultados de adição e multiplicação são únicos.
b) Se a + bi = c + di então a = c e b = d.
supondo que a, b, c e d sejam números reais e que a + bi, então
(a – c) + (b – d)i = 0 e daí, a – c = -(b – d)i
Se b – d não for zero podemos escrever,
a − c
b − d
=− iou −
(
a − c
b − d
)
= i
Mas, isso implicaria i ser um número real, uma vez que a, b, c e d são números
reais. Como i não é um número real, concluímos que b – d = 0. Mas, se b – d = 0,
então –(b – d)i = 0, e como (a – c) = –(b – d)i, segue-se que a – c = 0
d) DIVISÃO: Todo número complexo diferente de zero, tem um, e somente um,
inverso. Como no caso dos reais, representamos o inverso de z por 1/z.
Considerando que
Z
2
Z
1
= Z
2
.
1
Z
1
, vamos encontrar o inverso de a + bi, não nulo.
Devemos encontrar um numero complexo x + yi tal que (a + bi).(x + yi)=
Efetuando a multiplicação vamos obter: ( ax – by) + (bx + ay)i=
Esta equação será satisfeita se, e somente se,
{
ax − by = 1
bx + ay = 0
}
A solução deste sistema é x =
x =
a
a
2 +¿ b
2
¿
e
y =
− b
a
2
2
b → parte imaginaria de z
assim o número real de x é chamado parte real de z e o número rela de y NE
chamado parte imaginaria de z. em símbolos indica-se:
x = Re(z) e y = Im(z)
b) Unidades imaginárias:
Chamamos unidade imaginária e indicamos por i o número complexo (0,1).
Notemos que:
i
2
= i .i =
( 0,
) .
( 0,
( 0.0− 1_._ 1,0_._ 1 + 1_._ 0
( −1,
) =− 1
Isto é, a propriedade básica da unidade imaginaria é:
i
2
=− 1
Aplicando a propriedade associativa da multiplicação, temos também:>
i
3
= i
2
. i =(− 1 ). i =− i
i
4
= i
2
. i
2
=
( − 1
) .
( − 1
) = 1
Mas geralmente, para todo
n ∈ N , temos:
i
4 n
=1, i
4 n + 1
= i ,i
4 n + 2
=−1, i
4 n − 3
=− i
c) Conjugado
Chama-se conjugado do complexo z = x + yi ao complexo ´ z = x - yi, isto é:
z = x + Yi ⇔ ´ z = x – Yi
A fórmula do inverso de um número complexo z = a + bi, que é
1
a + bi
=
a
a
2
2
− b
a
2
2
i
Pode ser escrita usando-se o conjugado de z:
1
a + bi
=
´ z
z
2
ou
1
z
=
´ z
z
2
onde sai que z.´ z =
2
2
) para efetuar divisão de números
complexos, multiplicando-se o numerador e o denominador pelo conjugado do
denominador, obtendo-se um número real neste último.
Teorema
Para todo
z ∈ C , temos:
I) Z + ´ z = 2. Re(z)
II) Z - ´ z = 2. Im(z)
III)Z =
´ z ⟺ z ∈ R
Demonstração
I) Z + ´ z = (x + yi) + (x – yi) = 2x = 2. Re(z)
II) Z -
´ z = (x + yi) - (x – yi) = 2yi = 2. Im(z). i
III) Z = ´ z ⟺ (x + yi = x – yi) ⟺ y = -y ⟺ y = 0 ⟺ z ∈ R
d) Conjugado da soma e do produto
Teorema
Se
z
1 e
z
2
são números complexos quaisquer, temos
a)
z ´
1 + z
2
= z ´
1
2
b)
z ´
1_. z_
2
= z ´
1
. z ´
2
c)
z ´
1 − z
2
= z ´
1
− z ´
2
d)
´
(
z
1
z
2
)
=
z ´
1
z ´
2
Portanto
z
1
. z
2
=
z
1
z
2
. ¿
Essa nos mostra que o produto de dois números complexos, é um número
complexo, cujo módulo é igual ao produto dos módulos dos fatores =, e cujo
argumento é igual á soma dos argumentos dos fatores.
Modulo e argumento de produto: o modulo de produto de dois números
complexos é igual ao produto dos módulos dos fatores e seu argumento é
congruente à soma dos argumentos dos fatores.
Demonstração
Suponhamos dados os números:
z
1
= ρ
1
. (
cos θ
1
1
)
z
2
= ρ
2
.
(
cos θ
2
2
)
e calculamos o módulo e o argumento de:
Z =
z
1
. z
2
= ρ. ¿
Temos
Z =
z
1
. z
2
= ρ
1
. ρ
2
. (
cos θ
1
1
) (
cos θ
2
2
)
=¿
=
ρ
1
. ρ
2
.
[
(
cos θ
1
. cos θ
2
− sθen θ
1
. sθen θ
2
)
(
sθen θ
1
. cos θ
2
2
. cos θ
1
) ]
Portanto:
ρ. ¿
e então:
ρ = ρ
1
. ρ
2
θ = (
θ
1
2
)
Primeira formula de Moivre
Teorema
Dado o número complexo z =
ρ. ( cosθθ + i. sθenθ ) ,não nulo, eo número inteiro n,
temos:
z
n
= ρ
n
( cos nθ + i. sθen nθ
)
Raiz enésima
Dado um númeo complexo z, chama-se raiz enésima de z, e denota –se
n
z
, a
um número complexo
z
kπ
tal que z
kπ
n
= z.
n
z = z
kπ
⟺ z
kπ
n
= z
Segunda Fórmula de Moivrer
Teorema
Dados o número complexo ρ. ¿ e o número natural n ( n ≥ 2 ), então existem n raízes de
z que são da forma:
z
kπ
=
n
ρ.
cos
θ
n
2 π
n
θ
n
2 π
n
em que
n
ρ ∈ R
+¿ ekπ ∈Z ¿
Neste trabalho concluímos a importância dos números complexo para a
matemática, aonde vimos a história dos números complexos, como foi que eles
sugiram,através dos pensamentos de alguns matemáticos que tiveram que associar
outras contas matemática até chegar aos números complexos.
