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FATORAÇÃO OU DECOMPOSIÇÃO EM NÚMEROS PRIMOS
Vimos que um número primo possui apenas 2 divisores: o número 1 e o próprio número. A sequência abaixo mostro todos os números primos 1 de até 1.000: A sequência é infinita. CONCEITO DE FATORAÇÃO Fatorar um número é escrevê-lo como um produto (multiplicação entre fatores) de números primos. Exemplos:
- Podemos escrever o número 10 como o produto entre 2 e 5: 10 =2 × 5 Ou seja: o número 10 foi escrito como um produto de 2 números primos. Esta é a forma fatorada (ou decomposta) do número 10.
- O número 6 na forma fatorada fica: 6 = 2 × 3. REGRAS DA FATORAÇÃO As regras para se fatorar um número são as seguintes:
- traçar uma linha vertical ao lado do número que será fatorado;
- começar uma série de divisões sucessivas utilizando a sequência de números primos que sempre ficarão à direita da linha vertical, e os resultados das divisões ficam à esquerda da linha vertical;
- as divisões com números primos começam o número 2, e o utilizaremos até não ser mais possível a divisão com este número, e iremos para o próximo número primo;
- quando um número primo não for ser utilizado, iremos para o próximo número primo, e assim sucessivamente;
- o processo termina quando encontramos o número 1 (à esquerda) da linha vertical;
- os números primos obtidos à direita da linha vertical represetam a forma fatorada (ou decomposta) de um número natural composto. Agora faremos diversos exemplos de números fatorados. Mostraremos as fatorações simples, as fatorações simultâneas (para cálculo de MMC e MDC), e como calcular raízes quadradas e cúbicas através da fatoração.
Apesar de estarmos apresentando exemplos resolvidos acompanhe cada
um deles refazendo simultaneamente no caderno. Assim você perceberá seu
aprendizado.
APLICAÇÕES DA FATORAÇÃO:
(1) FATORAÇÃO SIMPLES
a) 10 b) 20
f) 1. Na fatoração do 1.024 utilizamos apenas o número primo 2. g) 75
h) 50 i) 240 (CONTINUA EM CIMA)
k) 100 (Os próximos exemplos mostrarão vários números fatorados diretamente; pegue o caderno e reescreva cada um deles): a) 676 b) 80 c) 75 d) 243 e) 343 f) 100
OUTROS EXEMPLOS:
d) 100 e) 300 f) 500 g) 75 h) 88 i) 111 (é comum o que aconteceu na fatoração do 111; pular de um número primo para outro número primo distante. SETA AZUL: DECORE ESTE RESULTADO; alguns resultados eu repito várias vezes pois são números que sempre irão aparecer). j) 333 k) 555 l) 888 m) 243 n) 343 o) 121 p) 575 q) 169 r) 676
MAIS EXEMPLOS:
- j)
- g) 300 h) 900 i)
- j) 258 k) 76 l)
- m) 640 n) 480 o) 1.
- a) 350 b) 150 c)
- d) 1.500 e) 700 f)
- g) 650 h) 777 i)
- j) 888 k) 380 l)
- m) 680 n) 980 o)
- p) 2.000 q) 1.680 r) 3.
- a) 40 b) 60 c) OUTROS EXEMPLOS:
- s) 900 t) 2.000 u)
- a) 96 b) 120 c)
- d) 346 e) 650 f)
- g) 2.500 h) 1.400 i)
- j) 420 k) 729 l)
(2) FATORAÇÃO SIMULTÂNEA: A fatoração simultânea é similar a fatoração simples. A diferença básica está em que quando um número primo não divide um determinado número temos que copiá-lo e seguir em frente. O processo também termina quando chegamos no número 1. Também explicaremos através dos exemplos como calcular o MDC e o MMC. EXEMPLOS: a) fatoração simultânea entre 2 e 4. Cálculo do MDC: Para se determinar o MDC temos que determinar entre divisores de dois ou mais números, o maior número entre eles que divide ao mesmo tempo esses números. Por exemplo:
- divisores de 2: 1 e 2;
- divisores de 4: 1, 2 e 4. O número 2 é o mesmo e o maior divisor entre os divisores de 2 e 4 que divide esses dois números ao mesmo tempo. Ele é chamado de MÁXIMO DIVISOR COMU (MDC) entre 2 e 4. Entretanto esse processo seria demorado e exaustivo pois há números que possuem muitos divisores. Logo escolheremos um processo bem mais simples e prático para determinar o MDC. Podemos determinar o MDC de dois ou mais números através da fatoração simultânea. Basta verificarmos entre os números primos aqueles que dividiram simultaneamente os números envolvidos. Após a determinação desses números primos envolvidos basta efetuarmos o produto entre eles. Perceba que temos na 1ª linha um número primo 2 circulado. Ele é o único número primo que divide os 2 números ao mesmo tempo. Para se determinar o valor numérico do MDC basta efetuarmos um produto entre os números primos que forem. Como temos apenas o 2, o MDC é ele mesmo. o mdc entre 2 e 4 é 2; em simbologia matemática: MDC (2, 4) = 2.
Cálculo do MMC: Para se determinar o MMC basta determinarmos o menor múltiplo, com exceção do zero, que aparece simultaneamente entre os múltiplos de dois ou mais números envolvidos no cálculo. Por exemplo:
- múltiplos de 2: M(2) = 0, 2, 4, 6, , 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20 , 22, 24, 26, 28, 30, ...
- múltiplos de 4: M(4) = 0, 4, 8, 12, 16, 20 , 24, 28, 32, 36, 40, 44, 48, 52, 56, 60, ...
- múltiplos de 5: M(5) = 0, 5, 10, 15, 20 , 25, 30, 35, 40, 45, 50, 55, 60, 65, 70, ... O número 20 (destacado em vermelho) é o 1º e menor múltiplo, entre os múltiplos de 2, 4 e 5, que aparece simultaneamente entre os múltiplos envolvidos. Ele é chamado de MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM (MMC) entre 2, 4 e 5. Tal processo também é demorado dependendo dos números envolvidos. Através da fatoração simultânea o cálculo para a determinação do MMC é simples: basta efetuarmos um produto entre todos os números primos que apareceram na fatoração, ou seja: 2 × 2 = 4 MMC (2, 4) = 4 [o mínimo múltiplo comum entre 2 e 4 é igual a 4]. SIMBOLOGIA MATEMÁTICA (modo de escrever) b) fatoração simultânea entre 3 e 6.
(quando obtemos o número 1 na fatoração iremos sempre copiando até
obtermos o mesmo resultado em todos os números envolvidos).
De acordo como foi explicado no item anterior temos que o MDC e MMC é:
MDC (3, 6) = 2 (0 único número primo que divide os 2 números ao mesmo tempo).
MMC (3,6) = 6 (basta multiplicarmos os números primos que aparecem na
fatoração, ou seja: 2 × 3 = 6)
f) fatoração simultânea entre 45 e 60 MDC (45, 60) = 15 (3 × 5 = 15; resultado obtido através da multiplicação dos números primos que dividem os números 45 e 60 simultaneamente) MMC (45 , 60) = 180 (2 × 2 × 3 × 3 × 5 = 180; resultado obtido através da multiplicação dos números primos que aparecem na fatoração) g) fatoração simultânea entre 14 e 35 MDC (14 , 35) = 7 (único número primo que divide os 2 números ao mesmo tempo) MMC (14, 35) = 70 (2 × 5 × 7 = 70) h) fatoração simultânea entre 32 e 40 MDC (32, 40) = 8 (2 × 2 × 2 = 8) MMC (32, 40) = 160 (2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 5 = 160)
I) fatoração simultânea entr 26 e 39 MDC (26, 39) = 13 MMC (26, 39) = 78 (2 × 3 × 13 = 78) j) fatoração simultânea entre 60 e 90 MDC (60, 90) = 30 (2 × 3 × 5 = 30) MMC (60, 90) = 180 (2 × 2 × 3 × 3 × 5 = 180) K) fatoração simultânea entre 10, 20 e 40 MDC (10, 20, 40) = 10 (2 × 5 = 10) MMC (10, 20, 40) = 40 (2 × 2 × 2 × 5 = 40)
