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DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA
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Mecânica – B – PME 2200 –2ª. Prova – 17/5/
Duração da Prova: 100 minutos (não é permitido o uso de calculadoras)
1ª Questão (3,5 pontos)
Considere o sistema mostrado na figura ao lado, composto pelas
barras retas e homogêneas, AB e AC, de comprimento L e de
massas m e 2 m , respectivamente. As barras são unidas por uma
articulação ideal em A. A figura mostra a configuração do
sistema no instante imediatamente antes da colisão da barra AB
com o solo. Nesse instante, o conjunto exibe um ato de
movimento de translação retilínea, com velocidade vertical de
módulo v e o ângulo formado entre as barras vale π/2 radianos.
Sabendo-se que o coeficiente de restituição entre a barra AB e o
solo vale e , pedem-se:
a) o diagrama de corpo livre de forças impulsivas de cada barra,
no instante do choque;
b) as velocidades
' G v
r
e
' G v
r
dos baricentros de cada barra no
instante imediatamente após o choque;
c) os vetores rotação
' ω 1
r
e
' ω 2
r
de cada barra no instante imediatamente após o choque.
2ª Questão (3,5 pontos)
O sistema de elevação ao lado é formado por
uma plataforma e pelas barras AC e BD,
contínuas, homogêneas idênticas, de
comprimento 2L. Tanto a plataforma como as
barras têm massa desprezível relativamente à
massa M da carga Q e à massa m do contrapeso
S. Todas as articulações são ideais. A carga
Q=Mg é aplicada em P. Um fio ideal liga o
contrapeso ao ponto D da barra, através de uma
polia ideal. Os deslocamentos horizontais de A
(sobre o solo) e D (no interior da guia) ocorrem
sem atrito. Na configuração apresentada, pede-
se, tomando como referência o sistema B xy :
a) escrever as coordenadas x A , y P e xD , em função da coordenada angular θ;
b) os deslocamentos virtuais δ x A, δ y P , δ xD em função do deslocamento virtual δθ;
c) o trabalho virtual das forças externas aplicadas ao sistema, em função do deslocamento virtual δθ;
d) através do Princípio dos Trabalhos Virtuais (PTV), determinar o módulo da força F aplicada em A que
mantém o sistema em equilíbrio na configuração apresentada.
3ª. Questão (4,0 pontos) – esta questão é baseada no EMSC#2, cujo diagrama simplificado é reproduzido
abaixo. Para sua resolução, considere a seguinte tabela de parâmetros de simulação:
g
C
B
A
G 1
G 2
x
y
L
v
L
p lataforma
x
B
C
Q=Mg
m
F
y
g
E
L
L L
guia
A
L
D
ponto P
P
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA
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Conjunto K [N/m] e β x ( 0 )[m] x &( 0 )[m/s] θ ( 0 )[rad]
θ( 0 )
[rad/s]
1 0 1,0 0 2*r+a (^0) π / 64 0
2 100 0,5 0,50 2*r+a (^0) π / 3 0
3 100 0,5 0,25 2*r+a (^0) π / 3 0
4 100 1,0 0,25 2*r+a (^0) π / 3 0
a) Considere um possível impacto com o
batente do lado direito (Q). Para uma
inclinação genérica θ , em que são conhecidas
as velocidades C x & e θ
no instante
imediatamente anterior ao choque, determine
' xC & (^) e
' θ
no instante imediatamente posterior.
Aplique os Teoremas da Resultante dos
Impulsos e dos Momentos dos Impulsos.
Expresse os resultados em função dos
parâmetros pertinentes (massa, inércia,
geométricos) e do coeficiente de restituição e ;
b) nas condições de simulação 1, obteve-se a
representação mostrada na figura 1 para os
deslocamentos da componente x do baricentro do conjunto (linha
fina) e para o ângulo θ (linha espessa). Explique o porquê deste
comportamento. Responda com clareza e concisão.
c) dentre os conjuntos de parâmetros 2, 3 e 4 da tabela, em qual deles
o bloco deve apresentar: (i) o maior e (ii) o menor número de
choques contra os batentes? Justifique sua resposta com clareza e
concisão.
Figura 1
μ=
(1-β)L
βL
m
M
B
C
A
(t)
K
4r
P
Q
W
2r
x(t)
g
2a
r
y(t)
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Barra 2
( )
( ) 3 12 2 6 2 3
2 2 2
2
2 2 2
2 2
2 2
2 2 2 2
mL I
mL I I
mL L I
L
I J
L
J
v m
I
mv mv I v
mv v
mv v I mv i v j vj I j
R
R Gz R Gz R R
R Gy R Gy
Gx Gx
G G R Gx G y R
r r r r r r^ r
(1 ponto)
Hipótese de Newton e equações da cinemática: (0,5 pontos)
( )
( )
I I mv i v j vj I
L
i v ev
L
v v G A evj k
v v G B evj G B evj v ev
v j ev j v ev
R Gx G y
G A G y
G B Gy
B B B
1 1
2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1
r r r r r
r r r r r r
r r r r r r
r r r^ r
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( ) 8 2
3 e 7
2 e 5
1 e 4
2 2 2
2
2
L
v e mv e m L
mL
v I mv e m L m
L I
ev
v I I mv e m
I I
ev
R
R
R
R
( ) ( )
( ) 9 4
5 e 8
2 2 v
e v L
L v e v ev Gy Gy
(0,5 pontos): exatidão dos resultados
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Resolução, Questão 2:
(a):
xA = 2 L cos θ y 2 L sin θ
P = x 2 L cos θ D = (1 ponto)
(b):
δ x 2 L sin θδθ
A =− δ y 2 L cos θδθ
P = δ x^ D =^ −^2 L sin^ θδθ (1 ponto)
(c):
δ W = ( − F )( − 2 L sinθδθ) +( − Mg )( 2 L cosθδθ) +( mg )( − 2 L sin θδθ) (1 ponto)
δ W = 2 L ( F sinθ− Mg cosθ− mg sinθ) δθ
(d):
PTV: δ W = 0
δ W = 2 L ( F sin θ− Mg cos θ− mg sin θ) δθ = 0
F sin θ − Mg cos θ− mg sin θ= 0
F = Mg cot θ + mg (0,5 pontos)
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Analogamente, para o instante imediatamente posterior ao choque,
H md x k J md k C C GZ
r &
r &
r ′ (^) =− cosθ ′ +( + ) θ′
2 (3)
Aplicando-se o TMI obtém-se:
cos cos ( )( ) ( ) ( ) 0 ,
2
r r r & &
r &
r &
r r ′ (^) − =− ′ + + + ′− = − ∧ = C C C C GZ xC H H md θ x k md θ x k J md θ θ k C C I (4)
pois o pólo escolhido coincide com o de aplicação do impulso. Assim, substituindo-se (1) em (4) e resolvendo-se para
θ ′
, tem-se
cos ( ) cos ( )( ) 0
2
r & & &^ & − md θ − exC + md θ xC + JGZ + md θ′− θ =
Assim,
θ [ θ θ]
cos ( 1 ) ( ) ( )
2
md ex J md J md
Z Z
C G G
′ (^) =− (1,0 ponto)
xC ex C & ′ (^) =− & (1,0 ponto)
Item (b) (1,0 ponto)
Em primeiro lugar, lembra-se que a componente xGs da coordena do baricentro do sistema é dada por
M m
Mx mx d x
C C Gs
sen θ
. Vejamos o que significa cada parâmetro, no conjunto 1 da tabela:
K [N/m]=0 Ausência de forças externas não-impulsivas na direção horizontal (sobre o sistema bloco-
barra)
e =1 Caso haja colisão, esta será perfeitamente elástica (sem dissipação de energia)
Β=0 A barra está ancorada em uma de suas extremidades
x ( 0 )= 2 * r + a [m] Posição inicial do bloco no local equivalente à distensão nula da mola
x &( 0 )= 0 [m/s] Velocidade inicial do bloco nula
θ ( 0 )= π/ 64 [rad] Posição angular inicial da barra
[rad/s] Velocidade angular inicial da barra
Nessas condições, a Figura 1 mostra que o baricentro não se movimenta, enquanto a posição angular da barra executa
movimento oscilatório. Analisa-se este comportamento:
(i) a ausência da mola (K=0) implica a não existência de quaisquer forças não-impulsivas agindo sobre o sistema, uma
vez que os vínculos são considerados ideais. Assim, pelo TMB, a aceleração do baricentro seria nula e, para as condições
iniciais dadas, justificaria a posição constante apresentada no gráfico;
(ii) a condição acima não seria suficiente para que o baricentro do sistema não se movimentasse caso houvesse algum
tipo de impulso externo aplicado pois, pelo TRI, deveria haver, na presença de tal impulso, variação na quantidade de
movimento do baricentro;
(iii) assim, posteriormente à aplicação deste impulso (que, no caso, seria oriundo da colisão do bloco com os batentes), a
variação na velocidade do baricentro atuaria como uma nova condição inicial de velocidade que, por sua vez, afetaria, a
partir do próximo passo de integração, a posição do baricentro do sistema;
(iv) conclui-se, portanto, que não há choque entre o bloco e os batentes;
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(v) o sistema possui quantidade de movimento constante. Entretanto a barra, que é liberada de uma posição angular
diferente de zero, terá sua quantidade de movimento alterada no tempo, o que implica que o bloco também terá sua
quantidade de movimento variável no tempo, para que a quantidade de movimento total do sistema seja constante.
(vi) pode-se, ainda, entender a asserção em (v) como: na ausência de forças e impulsos externos ao sistema, a quantidade
de movimento do sistema é invariante. No entanto, a interação vincular em C, entre o bloco e a barra, é uma força de
contato que tem componentes horizontal e vertical; portanto, a aplicação do TMB à barra permite concluir que seu
baricentro está sujeito à força peso e às componentes horizontal e vertical de reação no contato com o bloco, em C, que
dá origem a uma equação diferencial do tipo
ma (^) G ⋅ i = mgj + Fcxi + Fcyj ⋅ i ⇒ mxG = F cx
r r r r r^ r ( )
Como xG f (θ , θ, t )
= , a componente da força de contato também é função dos mesmos parâmetros, justificando assim
uma excitação que é função do ângulo θ, portanto oscilatória (movimento pendular).
Item (c) (1,0 ponto)
Conjunto K [N/m] e β x ( 0 )[m] x &( 0 )[m/s] θ ( 0 )[rad]
[rad/s]
2 100 0,5 0,50 2*r+a 0 π / 3 0
3 100 0,5 0,25 2*r+a 0 π / 3 0
4 100 1,0 0,25 2*r+a 0 π / 3 0
As condições iniciais são idênticas nas três situações de simulação. Em todas elas o sistema parte do repouso, a mola de
configuração deformada e o pêndulo de um ângulo de 60
o com a vertical. As situações diferem umas das outras nos
valores atribuídos a dois dos parâmetros: o coeficiente de restituição e o momento de inércia do Pêndulo, com respeito à
articulação.
Na situação 4 o coeficiente de restituição é 1,0: o choque é perfeitamente elástico. Ou seja, o sistema é conservativo, pois
nenhuma outra forma de dissipação existe. Como pode ser observado na simulação do gráfico da figura da esquerda, a
oscilação se faz com inúmeros impactos ora contra o batente da esquerda, ora contra o da direita, de forma não periódica
(caótica). No entanto, não há qualquer evidência de perda de energia mecânica do sistema.
A situação 4 corresponde, portanto, à simulação que apresenta o maior número de impactos.
(0,5 pontos)
No gráfico da figura da direita, aquele de menor número de impactos para as condições iniciais consideradas, são
observados apenas três eventos de choque, com subseqüente perda de energia mecânica. Após o terceiro impacto a
energia mecânica do sistema é conservada, como pode ser verificado através do movimento periódico que é estabelecido
a posteriori. As situações 2 e 3 caracterizam-se pelo mesmo coeficiente de restituição (e=0,5), compatível com a perda
de energia observada. No entanto, à configuração 3 corresponde maior energia mecânica inicial, porquanto a ela está
associada energia potencial inicial. Note que na configuração 2 o baricentro da barra coincide com a articulação, e não
existe variação de energia potencial da barra. Nesta configuração, o sistema se reduz a um oscilador de umm grau de
liberdade, com restrições de posição.
Como é sabido que a figura da direita corresponde à situação de menor número de impactos, a ela estará
associada a situação 2, aquela de menor energia mecânica inicial.
(0,5 pontos)
