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Instituto de Matemática e Estatística da USP MAT2455 - Cálculo Diferencial e Integral IV para Engenharia 3a. Prova - 2o. Semestre 2011 - 21/11/2011 Turma A
Questão 1. a) (1,0 ponto) Determine a solução geral da da equação y′^ + (^) x^1 y = cos x.
b) (1,5 pontos) Determine a solução da equação xy′^ = y +2xe−y/x^ que satisfaz a condição inicial y(1) = 2.
c) (1,5 pontos) Determine a solução geral da da equação y dx + (2x + 2xy + e−^2 y) dy = 0.
Solução. a) Podemos escrever a equação dada na forma xy′^ + y = x cos x, ou ainda, como
d dx [xy] =^ x^ cos^ x.
Integrando,
xy =
x cos x dx = x sin x −
sin x dx = x sin x + cos x + C.
Portanto, a solução geral é dada por
y = sin x +
cos x + C x ,
onde C é uma constante arbitrária.
b) Escrevendo a equação dada na forma
y′^ =
y x + 2e
−y/x,
verificamos imediatamente que se trata de uma equação homogênea. Portanto, a mudança y = xu transforma a equação dada numa equação de variáveis separáveis. Substituindo, obtemos
u + x
du dx =^ u^ + 2e
−u,
isto é,
eu^ du =^2 x
dx.
Integrando, obtemos eu^ = 2 ln |x| + C
e portanto, y = x ln(2 ln |x| + C)
é a solução geral da equação dada. Para que y(1) = 2 devemos ter 2 = ln C, isto é C = e^2. Além disso, como o domínio da solução deve ser um intervalo contendo x 0 = 1, devemos ter x > 0. Logo, a solução é
y = x ln(2 ln x + e^2 )
definida no intervalo (e−e^2 /^2 , +∞).
. c) Sejam P (x, y) = y e Q(x, y) = 2x + 2xy + e−^2 y. Como Py = 1 e Qx = 2 + 2y, a equação não é exata. Como Qx P− Py= (^1) y + 2 depende apenas de y, a equação admite um fator intgrante que depende apenas de y. Seja μ = μ(y) o fator integrante. Devemos ter
∂ ∂y
(yμ) = ∂ ∂x
[(2x + 2xy + e−^2 y)μ]
isto é, μ + yμ′(y) = (2 + 2y)μ.
Separando variáveis, obtemos dμ μ
y
dy
e então μ = eln^ |y|+2y^ = |y|e^2 y. Podemos portanto tomar μ = ye^2 y^ como fator integrante. Multiplicando a equação dada por μ obtemos a equação exata y^2 e^2 y^ dx + (2xye^2 y^ + 2xy^2 e^2 y^ + y) dy = 0,
cuja solução geral é dada por F (x, y) = C, onde C é uma constante arbitrária e F satisfaz
∂F
∂x
= y^2 e^2 y^ (1)
∂F ∂y
= 2xye^2 y^ + 2xy^2 e^2 y^ + y (2)
Integrando (1) com relação a x, concluimos que F (x, y) = xy^2 e^2 y^ + K(y). Substituindo em (2), obtemos
2 xye^2 y^ + 2xy^2 e^2 y^ + K′(y) = 2xye^2 y^ + 2xy^2 e^2 y^ + y,
e, portanto, K(y) = y. Assim, a solução geral da equação é dada por
xy^2 e^2 y^ +
y^2 2 =^ C,
onde C é uma constante arbitrária.
Questão 3: (3,0 pontos) Determine a solução geral da equação
y′′′^ + 3y′′^ + 3y′^ + y = 2x + e−x.
Solução. A equação característica da equação homogênea associada é λ^3 + 3λ^2 + 3λ + 1 = (λ + 1)^3 = 0 tem λ = − 1 como raiz tripla e portanto
yh = C 1 e−x^ + C 2 xe−x^ + x^2 C 1 e−x
é a solução geral da equação homogênea associada. Para determinar uma solução particular yp, vamos determinar uma solução particular y 1 p e y 2 p de cada uma das equações y′′′^ + 3y′′^ + 3y′^ + y = 2x (1)
e y′′′^ + 3y′′^ + 3y′^ + y = e−x, (2)
respectivamente, e tomar yp = y 1 p + y 2 p (Princípio da Superposição). Para a equação (1), vamos procurar y 1 p da forma y 1 p(x) = Ax + B. Substituindo, obtemos
3 A + Ax + B = 2x
e, portanto, A = 2 e B = − 6. Para a equação (2), vamos procurar y 2 p da forma y 2 p(x) = Dx^3 e−x. Temos
y′ 2 p = De−x(3x^2 − x^3 ) , y 2 ′′p = De−x(6x − 6 x^2 + x^3 ) , y′′′ 2 p = De−x(6 − 18 x + 9x^2 − x^3 ).
Substituindo, obtemos
De−x[6 − 18 x + 9x^2 − x^3 + 3(6x − 6 x^2 + x^3 ) + 3(3x^2 − x^3 ) + x^3 ] = e−x
e, portanto, D = 16.
Logo, yp(x) = 2x − 6 + 16 x^3 e−x^ é uma solução particular e a solução geral é dada por
y = C 1 e−x^ + C 2 xe−x^ + x^2 C 1 e−x^ + 2x − 6 +
6 x
(^3) e−x,
onde C 1 , C 2 e C 3 são constantes arbitrárias.
Instituto de Matemática e Estatística da USP MAT2455 - Cálculo Diferencial e Integral IV para Engenharia 3a. Prova - 2o. Semestre 2011 - 21/11/2011 Turma B
Questão 1. a) (1,0 ponto) Determine a solução geral da da equação y′^ + (^) x^1 y = sen x.
b) (1,5 pontos) Determine a solução da equação xy′^ = y +3xe−y/x^ que satisfaz a condição inicial y(1) = 2.
c) (1,5 pontos) Determine a solução geral da da equação (2y + 2xy + e−^2 x) dx + x dy = 0.
Solução. a) Podemos escrever a equação dada na forma xy′^ + y = xsen x, ou ainda, como
d dx [xy] =^ xsen^ x.
Integrando,
xy =
xsen x dx = −x cos x +
cos x dx = −x cos x + sen x + C.
Portanto, a solução geral é dada por
y = − cos x +
sen x + C x ,
onde C é uma constante arbitrária.
b) Escrevendo a equação dada na forma
y′^ =
y x + 3e
−y/x,
verificamos imediatamente que se trata de uma equação homogênea. Portanto, a mudança y = xu transforma a equação dada numa equação de variáveis separáveis. Substituindo, obtemos
u + x
du dx =^ u^ + 3e
−u,
isto é,
eu^ du =^3 x
dx.
Integrando, obtemos eu^ = 3 ln |x| + C
e portanto, y = x ln(3 ln |x| + C)
é a solução geral da equação dada. Para que y(1) = 2 devemos ter 2 = ln C, isto é C = e^2. Além disso, como o domínio da solução deve ser um intervalo contendo x 0 = 1, devemos ter x > 0. Logo, a solução é
y = x ln(3 ln x + e^2 )
definida no intervalo (e−e^2 /^3 , +∞).
. c) Sejam P (x, y) = 2y + 2xy + e−^2 x^ e Q(x, y) = x. Como Py = 2 + 2x e Qx = 1, a equação não é exata. Como Qx Q−P y= − (^) x^1 + 2 depende apenas de y, a equação admite um fator intgrante que depende apenas de x. Seja μ = μ(x) o fator integrante. Devemos ter
∂ ∂y
[(2y + 2xy + e−^2 x)μ] = ∂ ∂x
[xμ]
Questão 2: (3,0 pontos) Determine a solução geral da equação
y′′^ + 2y′^ + y =
e−x 1 + x^2.
Solução. Primeiro vamos determinar a solução geral da equação homogênea associada y′′^ +2y′^ +y = 0. Como se trata de uma equação linear com coeficientes constantes e λ = − 1 é raiz dupla da equação característica λ^2 + 2λ + 1 = 0, a solução geral da equação homogênea associada é dada por
yh(x) = C 1 e−x^ + C 2 xe−x,
onde C 1 e C 2 são constantes reais arbitrárias. Agora, vamos usar o método de variação dos parametros para determinar uma solução particular da equação não homogênea. Tal solução tem a forma
yp(x) = C 1 (x)e−x^ + C 2 (x)xe−x,
onde C 1 (x) e C 2 (x) satisfazem
( e−x^ xe−x −e−x^ e−x^ − xe−x
C 1 ′(x) C 2 ′(x)
e−x 1+x^2
Somando as equações e dividindo por e−x, obtemos o sistema
C 1 ′(x) + xC 2 ′(x) = 0
C 2 ′(x) = (^) 1+^1 x 2
e, portanto, C′ 1 (x) = − (^) 1+xx 2 e C 2 ′(x) = (^) 1+^1 x 2. Logo,
C 1 (x) = − 1 2
ln(1 + x^2 ) e C 2 (x) = arctg x.
Assim, yp = −
e−x 2 ln(1 +^ x
(^2) ) + xe−xarctg x
é uma solução particular e, portanto, a solução geral da equação é dada por
y = C 1 e−x^ + C 2 xe−x^ − e
−x 2
ln(1 + x^2 ) + xe−xarctg x,
onde C 1 e C 2 são constantes arbitrárias.
Questão 3: (3,0 pontos) Determine a solução geral da equação
y′′′^ − 3 y′′^ + 3y′^ − y = 3x + ex.
Solução. A equação característica da equação homogênea associada é λ^3 − 3 λ^2 + 3λ − 1 = (λ − 1)^3 = 0 tem λ = 1 como raiz tripla e portanto yh = C 1 ex^ + C 2 xex^ + x^2 C 1 ex
é a solução geral da equação homogênea associada. Para determinar uma solução particular yp, vamos determinar uma solução particular y 1 p e y 2 p de cada uma das equações y′′′^ − 3 y′′^ + 3y′^ − y = 3x (1)
e y′′′^ − 3 y′′^ + 3y′^ − y = ex, (2)
respectivamente, e tomar yp = y 1 p + y 2 p (Princípio da Superposição). Para a equação (1), vamos procurar y 1 p da forma y 1 p(x) = Ax + B. Substituindo, obtemos
3 A − Ax − B = 3x
e, portanto, A = − 3 e B = − 9. Para a equação (2), vamos procurar y 2 p da forma y 2 p(x) = Dx^3 ex. Temos
y′ 2 p = Dex(3x^2 + x^3 ) , y′′ 2 p = Dex(6x + 6x^2 + x^3 ) , y′′′ 2 p = Dex(6 + 18x + 9x^2 + x^3 ).
Substituindo, obtemos
Dex[6 + 18x + 9x^2 + x^3 − 3(6x + 6x^2 + x^3 ) + 3(3x^2 + x^3 ) − x^3 ] = ex
e, portanto, D = 16.
Logo, yp(x) = − 3 x − 9 + 16 x^3 ex^ é uma solução particular e a solução geral é dada por
y = C 1 ex^ + C 2 xex^ + x^2 C 1 ex^ − 3 x − 9 +^1 6
x^3 ex,
onde C 1 , C 2 e C 3 são constantes arbitrárias.
