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Departamento de Engenharia Mecânica
PME 2100 – MECÂNICA A
Terceira Prova – 06 de dezembro de 2002 – Duração: 100 minutos
(importante: não é permitida a utilização de calculadoras)
Nome: ______________________________________________________________________________________
Assinatura: ___________________________________________________________________________________
(5,0 pontos) Questão 1 – O vagão mostrado na figura é tracionado por uma força T a uma altura h dos eixos das ro-
das de maneira que os esforços nos dois eixos sejam iguais. A massa da carroceria do vagão é M e a massa de cada
uma das rodas é m, supostas homogêneas. A altura do baricentro da carroceria é H em relação ao eixo das rodas. Sa-
bendo que as rodas rolam sem escorregar, pede-se:
a) O diagrama de corpo livre do vagão e os diagra-
mas de corpo livre de cada roda. (½ + ½)
b) A aplicação do Teorema do Movimento do Bari-
centro e do Teorema do Momento Angular em uma
roda. (½ + ½)
c) A aplicação do Teorema do Movimento do Bari-
centro e do Teorema do Momento Angular no va-
gão. (½ + ½)
d) A aceleração do vagão. ( 1 )
e) A altura h do engate do vagão para que os esfor-
ços nos dois eixos sejam iguais. ( 1 )
Dado: para um disco homogêneo de centro de massa em C e raio R:
2
2 mR J (^) C z=
(5,0 pontos) Questão 2 – Um sólido é composto por uma barra AB, homogênea, de comprimento L e massa 3M e
dois pontos materiais de massa M cada um, rigidamente fixados nas extremidades A e B da barra. O sólido é articu-
lado sem atrito em A. Pede-se:
a) O momento de inércia do sólido em relação ao eixo paralelo
ao versor k
e que passa pelo ponto A.
b) A velocidade angular do sólido, em função de θ. Sabe-se
que ele é liberado em θ = 30
o , partindo do repouso. Use o Teo-
rema da Energia Cinética
c) O diagrama de corpo livre do sólido na posição inicial,
θ = 30
o , logo depois de liberado.
d) A aceleração angular do sólido, para θ = 30
o , logo depois
de liberado. Use o Teorema do Momento Angular.
e) As reações da articulação A no sólido neste instante.
2 ml J (^) G z= (para uma barra homogênea de massa m e comprimento l)
i
j
g
G
h
H
a a
R
T
A
B
L
g
k
i
j
θ
Departamento de Engenharia Mecânica
PME 2100 – MECÂNICA A
Terceira Prova – 06 de dezembro de 2002 – Gabarito
(5,0 pontos) Questão 1 – O vagão mostrado na figura é tracionado por uma força T a uma altura h dos eixos das ro-
das de maneira que os esforços nos dois eixos são iguais. A massa da carroceria do vagão é M e a massa de cada
uma das rodas é m, supostas homogêneas. A altura do baricentro da carroceria é H em relação ao eixo das rodas. Sa-
bendo que as rodas rolam sem escorregar, pede-se:
a) O diagrama de corpo livre do vagão e os diagra-
mas de corpo livre de cada roda.
b) A aplicação do Teorema do Movimento do Bari-
centro e do Teorema do Momento Angular em uma
roda.
c) A aplicação do Teorema do Movimento do Bari-
centro e do Teorema do Momento Angular no va-
gão.
d) A aceleração do vagão.
e) A altura h do engate do vagão para que os esfor-
ços nos dois eixos sejam iguais.
Para um disco homogêneo de centro de massa em C e raio R temos:
2
2 mR J (^) C z=
Solução:
Item (a)
O enunciado informa que os esforços nos dois eixos são iguais:
Diagrama de corpo livre do vagão: Diagramas de corpo livre das rodas:
Item (b)
Roda:
Teorema do Movimento do Baricentro:
ma (^) Rx = F−F a (1)
ma (^) Ry = Na−N− mg (2)
Teorema do Momento Angular:
J F R R R a ω"^ = (3)
Item (c)
Vagão:
Teorema do Movimento do Baricentro:
Ma (^) Gx = T− 2 F (4)
Ma (^) Gy = 2 N− Mg (5)
Teorema do Momento Angular:
J FH T (H h)
G ω" = − 2 + − (6)
G
h
H
a a
T
Mg
F F
N N
N
Na
F (^) a
F
mg
N
Na
F (^) a
F
mg
i
j
g
G
h
H
a a
R
T
Departamento de Engenharia Mecânica
(5,0 pontos) Questão 2 – Um sólido é composto por uma barra AB, homogênea, de comprimento L e massa 3M e
dois pontos materiais de massa M cada um, rigidamente fixados nas extremidades A e B da barra. O sólido é articu-
lado sem atrito em A. Pede-se:
a) O momento de inércia do sólido em relação ao eixo paralelo
ao versor k
e que passa pelo ponto A. (½ + ½)
b) A velocidade angular do sólido, em função de θ, sabendo
que ele é liberado em θ = 30
o , partindo do repouso. Use o Teo-
rema da Energia Cinética (½ + ½)
c) O diagrama de corpo livre do sólido na posição θ = 30
o , logo
depois de liberado. ( 1 )
d) A aceleração angular do sólido para θ = 30
o , logo depois de
liberado. Use o Teorema do Momento Angular. (½ + ½)
e) As reações da articulação A no sólido neste instante. (½ + ½)
2 ml J G z = (para uma barra homogênea de massa m e comprimento l)
Solução:
Item (a)
2
2 2 2 2 2
2 2 2 2
2 2
J ML
ML ML ML ML
ML
ML ML
M ML
L
M
ML
J
Az
pontosmateriais
barra
Az
Item (b)
Energia cinética:
2 2 2
2 2
θ θ
θ " "
ML
J ML
E
Az = = =
Trabalho da força peso:
= − θ cosθ 2
cos 30 cos 5 2
L
Mg
L
W Mg
o
Teorema da energia cinética (o sólido parte do repouso):
E − E 0 =W⇒E− 0 = W
θ = −cosθ 2
2 2 L
ML Mg
2
2
cos 2
ML
L
Mg
θ
θ
L
g
2 5 3 2 cos^ θ θ
L
g
5 3 2 cos θ θ
A
B
L
g
k
i
j
θ
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Item (c)
Pela simetria, o baricentro do sólido está no centro da barra, e pelo enunciado, a massa do sólido é 5M.
Item (d)
Teorema do Momento Angular:
L
g ML MgL
L
J Mg Az 8
2 ⇒ = ⇒ =
ω" = ω" ω"
Item (e)
Teorema do Movimento do Baricentro:
( M )a X i ( Y Mg)j
G A A
!!^!
5 = +− + 5 (I)
Pela cinemática:
a G =aA+ω ∧ (G −A) +ω∧[ω ∧(G −A)]
Como ω"^ é no sentido horário, k
L
g! "
ω = , e considerando que o ponto A é fixo e que logo após a liberação da barra
temos 0
ω = :
( ) j
M g i
M g Ma
j
g i
g a
j
L
i
L
k L
g a
G
G
G
!!^!
( M )a G Mgi Mgj
!!^!
5 = + (II)
Comparando (I) e (II):
Y Mg Mg Y Mg
X Mg
A A
A
Y Mg j
X Mgi
A
A
A
B
5 Mg
X A
YA
2 2
1 L
2 2
3 L
G
o
k
i
j
