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Gabarito da P
F´ısica IV
Escola Polit´ecnica - 2002
FAP2296 - 1
a
PROVA
10 de setembro de 2002
♦ Esta prova tem 100 minutos de dura¸c˜ao.
E proibida a consulta a colegas, livros e apontamentos.
♦ Escreva de forma leg´ıvel.
E proibido o uso de calculadoras.
♦ Resolva cada quest˜ao na folha apropriada.
♦ N˜ao ser˜ao aceitas respostas sem justificativas
Quest˜ao 1
Uma onda eletromagn´etica plana propagando-se no v´acuo na dire¸c˜ao do eixo x tem ape-
nas a componente y do campo el´etrico e a componente z do campo magn´etico. Essas
componentes satisfazem as equa¸c˜oes de Maxwell
∂Ey
∂x
∂Bz
∂t
∂Bz
∂x
= − 0 μ 0
∂Ey
∂t
onde 0
´e a permissividade do v´acuo e μ 0
a permeabilidade do v´acuo.
(1,0 ponto) (a) A partir das equa¸c˜oes de Maxwell acima obtenha a equa¸c˜ao de onda satisfeita pela
componente y do campo el´etrico.
(1,5 pontos) (b) No instante t = 0 o campo el´etrico ´e dado por
E
y
(x, t = 0) = E 0
senk x
onde E 0
e k s˜ao constantes. Sabendo-se que a onda se propaga no sentido negativo do
eixo x, escreva a express˜ao de E y
para qualquer tempo t. Mostre que essa express˜ao
satisfaz a equa¸c˜ao de onda obtida no item (a).
Solu¸c˜ao da quest˜ao 1
a) Derivando-se a primeira equa¸c˜ao em rela¸c˜ao a x e usando a segunda,
2 E y
∂x
2
∂x
∂B
z
∂t
∂t
∂B
z
∂x
∂t
0
μ 0
∂E
y
∂t
c
2
2 E y
∂t
2
onde c = 1/
0 μ 0 ´e a velocidade da luz no v´acuo.
b) Para uma onda se propagando no sentido negativo do eixo x, com velocidade c,
E
y
(x, t) = E y
(x + ct, 0) = E 0
sen[k(x + c t)]
Calculando-se a derivada segunda em rela¸c˜ao a x obtemos
∂E
y
∂x
= k E 0
cos[k(x + c t)],
2 E y
∂x
2
= −k
2
E y
(x, t),
enquanto a derivada segunda em rela¸c˜ao a t ´e
∂E
y
∂t
= k c E 0
cos[k(x + c t)],
2 E y
∂t
2
= −(k c)
2
E y
(x, t).
Portanto
2
E y
∂x
2
c
2
2
E y
∂t
2
Quest˜ao 2
Considere uma onda eletromagn´etica plana que se propaga no v´acuo com campo el´etrico
dado por
E(x, t) = E 0
cos(k x − ω t) ˆe y
(0,5 pontos) (d) Considere dadas as amplitudes E 0 i
(onda incidente) e E 0 t
(onda refletida). Calcule
a fra¸c˜ao da potˆencia transmitida atrav´es da interface.
Solu¸c˜ao da quest˜ao 3
a) Onda plana monocrom´atica e harmˆonica que se anula em t = 0 e x = 0:
E
i
(~r, t) = E (^0) i
sen(k i
x − ω t) ˆe y
; ω =
k i
c
n 1
k i
μ 0 1
b) Na interface (x = 0, y e z quaisquer), os campos satisfazem as seguintes condi¸c˜oes
1 E
⊥
1
= 2 E
⊥
t
E
||
1
E
||
t
; B
⊥
1
= B
⊥
t
μ 1
B
||
1
μ 2
B
||
t
onde
E
1
e
B
1
s˜ao as superposi¸c˜oes dos campos incidente e refletido. Ou seja,
E 1 =
Ei +
Er e
B 1 =
Bi +
Br
c) Solu¸c˜ao mostrada na figura.
Figura 1: Quest˜ao 3
d)
T ≡
I
t
I
i
v 2
2
(E
(^0) t
2
v 1
1
(E
0 i
2
v 2
μ 0
2
(E
(^0) t
2
v 1
μ 0
1
(E
0 i
2
v 1
(E
(^0) t
2
v 2
(E
0 i
2
n 2
(E
(^0) t
2
n 1
(E
0 i
2
Desenvolvimento extra
Usando as condi¸c˜oes de contorno na interface, bem como μ 1
= μ 2
= μ 0
, obtemos
E
0 i
+ E
0 r
= E
0 t
1
v 1
E 0
i
1
v 1
E 0
r
1
v 2
E 0
t
ou (multiplicando a segunda equa¸c˜ao por c)
E
0 i
+ E
0 r
= E
0 t
n 1
E
0 i
− n 1
E
0 r
= n 2
E
0 t
Eliminando E 0 r
E
0 t
2 n 1
n 1
E
0 i
Substituindo em T ,
T =
n 2
n 1
4 n
2
1
(n 1
2
4 n 1
n 2
(n 1
2
Quest˜ao 4
Considere dois meios de ´ındices de refra¸c˜ao n 1
e n 2
(n 1
n 2
) separados por uma interface
plana. Suponha que um raio luminoso parta do ponto P no meio 1 e atinja o ponto Q no
meio 2, de acordo com a figura abaixo.
c) Reflex˜ao total ocorre para θ 2
≥ π/2. Logo, o ˆangulo de incidˆencia cr´ıtico ´e tal que
senθ c
n 2
n 1
. Ou seja,
θ c
= arcsen(
n 2
n 1
d) Neste caso, o seno do ˆangulo cr´ıtico seria maior do que um (n 1
/n 2
1), o que ´e
imposs´ıvel.
Formul´ario
E = ρ ;
B = 0 ;
∇ ×
E = −
B
∂t
∇ ×
B
μ
J +
E
∂t
B =
k ×
E
ω
v
k ×
E ;
S =
μ
E ×
B;
2
∂x
2
f (x, t) −
v
2
2
∂t
2
f (x, t) = 0
< S > =
v E
2
0
(onda plana monocrom´atica) ;
dU
dt
S · d
A
0
= 8, 85 × 10
− 12 F/m ; μ 0
= 1, 26 × 10
− 6 H·m
− 1
n =
c
v
; v =
μ
; c = 3 × 10
8
m·s
− 1
P
abs. total
rad
< S >
c
; P
refl. total
rad
< S >
c
