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ESCOLA POLITÉCNICA DA UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO
DEPARTAMENTO DE ENERGIA E AUTOMAÇÃO
GABARITO OFICIAL PEA2303 – P2 (17/05/2007)
Prof. José Roberto Cardoso
1ª. Questão: Uma nuvem esférica dielétrica de permissividade elétrica ε , de raio a, armazena cargas
elétricas distribuídas segundo a densidade volumétrica de cargas ( / ) 3
ρ v =Kr C m , na qual r é a
distância em relação ao centro. Para este problema, determine: (valor = 2,0 pontos)
a) A quantidade total de cargas na nuvem esférica;
a Q v d Kr r dr Q K a C 0
2 4 ρ τ 4 π π ( ) τ
b) O comportamento do vetor deslocamento em função da distância ao centro da esfera;
Da Lei de Gauss vem:
τ
D dS v d
Σ
r r
Onde a superfície Σ é uma casca esférica concêntrica à nuvem.
0 ≤r ≤ a r ≥a
2 2
2 4
4
0
2
ru C m
K
D
D r K r
d K r
D dS D r
r
r
v
r r
r r
Σ
2 2
4
2 4
4
0
2
u C m r
Ka D
D r K r
d K r
D dS D r
r
r
v
r r
r r
Σ
c) O comportamento do vetor campo elétrico em função da distância ao centro da esfera;
Sendo D E
r r
0 ≤r ≤ a r ≥a
2 ru V m
k E (^) r
r r
2
4
0
u V m r
k a E (^) r
r r
d) Represente graficamente os resultados dos itens b e c.
Como a permissividade elétrica da nuvem isolante ε é maior que a permissividade elétrica
do ar ε 0 , o campo elétrico que se estabelece no material dielétrico é menor do que aquele
estabelecido no ar.
3ª. Questão: A linha de transmissão da figura é percorrida por uma corrente senoidal dada por:
i( t)= 1000 2 cos( 377 t) (A ). Com o intuito de obter energia elétrica a custo zero, um habitante das
proximidades da linha de transmissão colocou uma bobina retangular de 70 espiras posicionada
como mostra a figura. Calcule o valor eficaz da tensão nos terminais da bobina. (valor = 2,0 pontos)
OBS: Este procedimento gera processo legal da concessionária de energia elétrica, além de outros
riscos de natureza elétrica.
Como a problema é simétrico, calculemos o fluxo gerado por um único condutor.
r
I
B
=^0
a
a b n
Ih hdr r
I
B dS
a b
S a
l
r r
0 1
0 1
Da simetria do problema, vem: (^)
a
a b n
Ih l
0 (^21)
Portanto o fluxo concatenado é: (^)
a
a b n
NIh N l
0
Da lei de Faraday:
t
e ∂
sen t a
a b n
Nh I t
it
a
a b n
Nh
e ef ω
= l l 0 0 2
a
a b n
Nh E (^) ef Ief l
0
Eef = 14 , 6 V
4ª. Questão: As propriedades físicas de um solo úmido são dadas por: 10 ( / )
2 S m
−
σ ≅ , ε R≅ 30 e
μ R= 1. Determine a freqüência para que a relação entre as amplitudes da densidade de corrente de
condução e a densidade de corrente de deslocamento é unitária. (valor = 2,0 pontos)
Equação para a corrente de condução: J E
r r
Equação para a corrente de deslocamento: t
E
t
D
J (^) d r ∂
r r r
Se as amplitudes são iguais, então os módulos das correntes devem ser iguais.
0
0
r
r
d
E E
J J
r r
v r
Sendo ω = 2 πf
r
f =
Sendo ( / ) 36
9
0 F m
− = , f = 6 , 0 MHz
