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RELATÓRIO
Experimento 1 – Pêndulo simples e pêndulo físico
Introdução
O experimento será dividido em Parte 1 e Parte 2. Primeiramente, será estudado o movimento do pêndulo simples e, na Parte 2, o movimento do pêndulo físico. Para a realização de ambos será seguido o roteiro da Aula 3.
Parte 1 - Determinação da aceleração da gravidade com pêndulo simples
1) Objetivos
O objetivo deste experimento é o estudo do movimento de um pêndulo simples. Os dados obtidos permitirão a realização de cálculos para a determinação da aceleração da gravidade.
2) Materiais Utilizados
- Um barbante;
- Uma borracha;
- Uma trena;
- Celular com cronômetro.
3)Esquema do Experimento
Conforme por ser visto na imagem abaixo, uma extremidade do barbante foi amarrada a borracha e a outra foi amarrada em um ponto de suspensão. Foi escolhido um ponto de suspensão fixo onde a borracha teria espaço para oscilar livremente num plano.
4) Procedimentos do
Experimento
Após montagem do esquema da imagem anterior, foi medida a distância entre o centro de massa do objeto e o ponto de suspensão (com o uso da régua). O tamanho do barbante foi ajustado para que esta distância, o comprimento L , fosse de 1m. Durante a realização do experimento o comprimento L foi alterado, reduzindo-se seu valor em 10 cm para cada medição do Δ t
necessário para que o pêndulo concluísse 10 oscilações. Foram utilizados sete tamanhos diferentes de L. Para a realização das medições do experimento, a amplitude angular do movimento deveria ser menor ou igual a 20º. Com o objetivo de garantir isto, a distância d da extremidade do pêndulo à vertical que passa pelo ponto de sustentação foi calculada para cada comprimento. Essa distância d medida foi utilizada para se garantir que a amplitude angular das oscilações fossem menores ou iguais a 20º.
Fórmula para cálculo de d : θ = arcsen (d/L)
Com o fio esticado, o pêndulo foi colocado em movimento para oscilar. Para tal, garantiu-se que a borracha oscila-se livremente, sem tocar em outros objetos. O tempo Δ t para que o
pêndulo realizasse 10 oscilações completas foi medido com o uso do cronômetro do celular. O Δ t foi medido para cada cumprimento de L utilizado.
5) Análise dos Dados Obtido s
Cálculo do d máximo correspondente a cada L , utilizando a fórmula θ = arcsen (d/L) e θ =20º.
20º=arcsen(d1/1,00) → d1 = sen(20) → d1 = 0,34m
20º=arcsen(d2/0,90) → d2 = 0,90*sen(20) → d2 = 0,30m
20º=arcsen(d3/0,80) → d3 = 0,80*sen(20) → d3 = 0,27m
20º=arcsen(d4/0,70) → d4 = 0,70*(sen20) → d4 = 0,23m
20º=arcsen(d5/0,60) → d5 = 0,60*(sen20) → d5 = 0,20m
20º=arcsen(d6/0,50) → d6 = 0,50*(sen20) → d6 = 0,17m
20º=arcsen(d7/0,40) → d7 = 0,40*(sen20) → d7 = 0,13m
Com os valores obtidos nas medições do Δ t necessário para observar as 10 oscilações completas do pêndulo simples, o período pôde ser calculado com o uso da fórmula abaixo:
T = Δ t / 10
Cálculo dos períodos correspondentes aos Δ^ t^ medidos:
T1 =20,41/ (^10) → T1=2,041 s
σ T =0,4/ 10 → σ T =0,04 s
Substituindo os valores de T em σ T ² obtém-se:
σ T1² = 22,0410,04 → σ T1² = 0,16s
σ T2² = 21,9490,04 (^) → σ T2² = 0,15s
σ T3² = 21,8350,04 → σ T3² = 0,15s
σ T4² = 21,7510,04 → σ T4² = 0,14s
σ T5² = 21,5990,04 → σ T5² = 0,13s
σ T6² = 21,4820,04 (^) → σ T6² = 0,12s
σ T7² = 21,3300,04 → σ T7² = 0,11s
A tabela abaixo foi completada com os dados obtidos anteriormente:
L [m] σ (L) [m] Δt [s] σ (Δt) [s] T [s] σ (T) [s] T² [s²] σ (T²) [s²] 1 0,05 20,41 0,4 2,041 0,04 4,16 0, 0,9 0,05 19,49 0,4 1,949 0,04 3,80 0, 0,8 0,05 18,35 0,4 1,835 0,04 3,37 0, 0,7 0,05 17,51 0,4 1,751 0,04 3,07 0, 0,6 0,05 15,99 0,4 1,599 0,04 2,56 0, 0,5 0,05 14,82 0,4 1,482 0,04 2,20 0, 0,4 0,05 13,30 0,4 1,330 0,04 1,77 0,
Utilizou-se o Módulo de Regressão Linear para produzir o gráfico abaixo, de T² como função de L:
Observa-se na imagem acima que o gráfico gerado é uma função do primeiro grau. O coeficiente angular da função é a = [4,01089±0,25346] e, o coeficiente linear é b=[0,18224±0,17233]
Considerando o coeficiente linear igual a 0, para fins de estudo da Lei de Hooke, onde:
T² = (4π²/g) * l
Logo, 4π²/g é o coeficiente angular da função T² por L.
4,01089 = 4π²/g
g = 9,843m/s²
Durante a realização do experimento, foi medido o tempo Δ t necessário para que o pêndulo completasse 7 oscilações. O procedimento foi repetido 7 vezes.
5 ) Análise dos Dados Obtidos
Os valores de Δ t obtidos estão na tabela abaixo:
Δti [s] 6,27 6,21 6,30 6,31 6,22 6,29 6, Ti [s] 0,895 0,887 0,900 0,901 0,888 0,898 0,
Para cálculo do período Ti, a fórmula abaixo foi utilizada:
T = Δ t / 10
T 1 = 6, 27 / 7 → T 1 =0,895s
T 2 = 6, 21 / 7 → T 2 =0,887s
T 3 = 6, 30 / 7 → T 3 =0,900s
T 4 = 6,3 1 / 7 → T 4 =0,901s
T 5 = 6, 22 / 7 → T 5 =0888s
T 6 = 6, 29 / 7 → T 6 =0,898s
T 7 = 6, 23 / 7 → T 7 =0,890s
A partir desses dados, é possível calcular o período médio Tm do pêndulo:
Tm = ( T 1 + T 2 + T 3 + T 4 + T 5 + T 6 + T 7 ) / 7
Tm = 6,259 / 7 = 0,894s
Com o valor do Tm, pode-se calcular a incerteza do tempo σt. A partir da variância das medidas idênticas, tem-se que:
σ t =
σt = 0,0129s
Com a utilização da fórmula abaixo, tem-se a relação entre IΔ/M, o momento de inércia do corpo relativo ao seu eixo de rotação Δ, dividido pela massa M.
T = 2 π
I Δ
Mgd
I Δ
M
T
2 π
2 gd
Considerando g = 9,787m/s², a distância d entre o centro do furo e o centro de massa igual a 0,10m e o Tm calculado, tem se que:
I Δ
M
2 π
2 9,787(0,10)
I Δ
M
=0,198 m ²
I (^) Δ= M 0,198 m ²
Através do emprego do Teorema dos Eixos Paralelos, obtém-se o momento de inércia relativo ao centro de massa IΔCM dividido pela massa M:
I Δ CM = I (^) Δ − Md^2
I (^) Δ CM = M 0,198− M 0,
I Δ CM = M (0,198−0,01)
I Δ CM
M
=0,188 m ²
Sabendo que o pêndulo simples é equiparável ao pêndulo físico quando oscilam a um mesmo período, calculou-se o comprimento L do pêndulo simples correspondente. Para tal empregou-se o Tm encontrado em cálculos prévios.
T (^) m = 2 π
L
g
0,894= 2 π
L
L = 0,198m
Sendo assim, o pêndulo simples equivalente ao pêndulo físico apresentado teria 0,198m de comprimento.
6) Conclusão
Com os resultados obtidos neste experimento, pôde-se observar a oscilação de um pêndulo físico, determinar seu momento de inércia e o comprimento do pêndulo simples equivalente.
4) Procedimentos do Experimento
Após montagem do esquema do procedimento, esperou-se a mola parar de oscilar e a nova altura da extremidade foi marcada na parede. O procedimento foi repetido 5 vezes, com a utilização de moedas diferentes. Os valores referentes a altura da extremidade da mola foram medidos com a utilização da régua milimetrada.
5) Análise dos dados obtidos
Para a realização do experimento, foram utilizados os dados referentes ao peso e a incerteza da massa das moedas no roteiro do experimento, conforme tabela abaixo:
Valor M (g) σ(M) (g) 5 centavos 4,1 0, 10 centavos 4,8 0, 25 centavos 7,6 0, 50 centavos 7,8 0, 1 real 7,0 0,
A tabela a seguir mostra os valores referentes ao experimento, após realizadas as conversões de unidades quando as mesmas foram necessárias:
M (kg) σ(M) (kg) x (m) σ(x) (m)
- 0,0005 - 0, 0,0041 0,0005 0,005 0, 0,0048 0,0005 0,006 0, 0,0076 0,0005 0,008 0, 0,0078 0,0005 0,008 0, 0,0070 0,0005 0,007 0,
A incerteza σ(x) é referente a precisão da régua milimetrada, que foi utilizada para a realização das medições.
Com a utilização do Módulo de Regressão linear, o gráfico abaixo foi gerado:
Ao analisarmos o gráfico da distensão da mola x como função de M, percebemos uma função de primeiro grau. O coeficiente angular é a=[0,75226±1,47365] e o coeficiente linear é b=[0,00209±0,00949]
Sabemos que pela Lei de Hooke: F = kx
Onde: F = força ; k = constante elástica ; x = distensão da mola
Através da análise do experimento dos conhecimentos acerca da Lei de Hooke, observa-se que a força F será igual o peso das moedas em cada medição, pois não há a ação de outra força contrária a força da mola. Logo, x será a distensão da mola medida através dos riscos na parede.
Pode-se comparar a função de primeiro grau obtida no gráfico com a Lei de Hooke. O coeficiente angular pode ser interpretado como a aceleração gravitacional sobre a constante k:
mg = kx → x = g k
m
Considerando g=9,787m/s², temos que:
g k
=0,75226 → k =
=13,01 N / m
4) Procedimentos do Experimento
Após montagem do esquema do procedimento, distendeu-se a mola, puxando a extremidade inferior para baixo. Ao soltar a mola, o intervalo Δt correspondente a 10 períodos completos foi medido, com o uso do cronômetro do celular. Este procedimento foi repetido com a utilização de moedas de massa diferentes.
5) Análise dos dados obtidos
O tempo de reação do ser humano considerado neste experimento é o de 0,4s. Logo, a incerteza associada a medida de Δ t é de 0,4s.
Para cálculo do período Ti, a fórmula abaixo foi utilizada:
T = Δ t / 10 T 1 = 2,99/10 = 0,299s
T 2 = 3,16/10 = 0,316s
T 3 = 3,50/10 = 0,350s
T 4 = 3,68/10 = 0,368s
T 5 = 3,48/10 = 0,348s
Elevando-se os valores de T ao quadrado obtém-se:
T1^2 = 0,089s²
T2^2 = 0,100s²
T3^2 = 0,122s²
T4^2 = 0,135s²
T5^2 = 0,121s²
Para calcular as incertezas σ T sobre o período T e sobre seu quadrado σ T^2 utilizou- se as fórmulas de propagação de incertezas abaixo:
σ T = σ Δ t / 10
σ T ²= 2 T σ T
Deste modo, tem-se que:
σ T =0,4/ 10 → σ T =0,04 s
Substituindo os valores de T em^ σ^ T^ ²^ obtém-se:
σ T1² = 20,2990,04 = 0,024s
σ T2² = 20,3160,04 = 0,025s
σ T3² = 20,3500,04 = 0,023s
σ T4² = 20,3680,04 = 0,029s
σ T5² = 20,3480,04 = 0,028s
Com os valores obtidos nos cálculos acima, a seguinte tabela foi preenchida:
M (kg) σ (M) (kg) Δt (s) σ (Δt) (s) T (s) σ (T) (s) T² (s²) σ (T²) (s²) 0,0041 0,0005 2,99 0,4 0,299 0,04 0,089 0, 0,0048 0,0005 3,16 0,4 0,316 0,04 0,100 0, 0,0076 0,0005 3,50 0,4 0,350 0,04 0,122 0, 0,0078 0,0005 3,68 0,4 0,368 0,04 0,135 0, 0,0070 0,0005 3,48 0,4 0,348 0,04 0,121 0,
Através do uso do Módulo de Regressão linear, obteve-se o gráfico de T² como função de M:
Utilizando a fórmula abaixo para calcular a incerteza de k, temos que:
σ (^) k =±(
σ (^) x x
σ (^) m m
x m
σ (^) k =±( 0, 0,
σ (^) k =1,36 N / m
Logo, k = [13,01±1,36] N/m
6) Conclusão
A realização desse experimento possibilitou a determinação dinâmica da constante elástica da mola e a comprovação da Lei de Hooke.
