Poliedros e Teorema de Euler, Notas de aula de Matemática

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Flávia Renata Mialich

Poliedros e Teorema de Euler

São José do Rio Preto

Flávia Renata Mialich

Poliedros e Teorema de Euler

Dissertação de Mestrado Profissional apresentada como parte dos requisitos para obtenção do título de Mestre em Matemática, junto ao Programa de Pós- Graduação em Matemática Profissional em Rede Nacional - PROFMAT, do Instituto de Biociências, Letras e Ciências Exatas da Universidade Estadual          José do Rio Preto. Orientadora: Profª. Drª. Ermínia de Lourdes Campello Fanti

São José do Rio Preto



Flávia Renata Mialich

Poliedros e Teorema de Euler

Dissertação de Mestrado Profissional apresentada como parte dos requisitos para obtenção do título de Mestre em Matemática, junto ao Programa de Pós- Graduação em Matemática Profissional em Rede Nacional - PROFMAT, do Instituto de Biociências, Letras e Ciências Exatas da Universidade Estadual          José do Rio Preto.

Banca Examinadora

Profª. Drª. Ermínia de Lourdes Campello Fanti

UNESP ^ São José do Rio Preto

Orientador

Prof. Dr. João Carlos Viera Sampaio

UFSCAR - São Carlos

Profª. Drª. Flávia Souza Machado da Silva

UNESP ^ São José do Rio Preto

São José do Rio Preto



AGRADECIMENTOS

Agradeço a Deus pela oportunidade, força, fé e proteção para realização de mais esta etapa da minha vida. Agradeço à coordenação do PROFMAT, aos membros da banca pelas sugestões importantes para complementação do trabalho e a todos os professores do curso pela oportunidade de aprendizagem. Agradecimento especial à minha orientadora, Profª. Drª. Ermínia de Lourdes Campello Fanti, pela paciência, pelos ensinamentos e sugestões de pesquisa que acabaram por constituir-se neste trabalho. Agradeço aos colegas de curso pela amizade e companheirismo, principalmente à minha amiga Ilca e sua família. Agradeço aos meus pais José e Maria José pelo apoio, amor e incentivo sempre. Agradeço ao meu esposo Marcos, pelo amor, pela paciência, compreensão, incentivo e apoio neste momento de nossas vidas. Agradeço à CAPES pela concessão da bolsa de estudos. Agradeço a todos que fizeram parte deste momento da minha vida diretamente ou indiretamente. Obrigada a todos!

SUMÁRIO

INTRODUÇÃO 7

CAPÍTULO 1: POLIEDROS E CONSIDERAÇÕES SOBRE O TEOREMA

DE EULER 9

1.1 Poliedros 9 1.2 Uma breve introdução histórica sobre Poliedros 9 1.3 Definição de Poliedro 11 1.4 Poliedro Convexo 15 1.5 Poliedro Regular 16 1.6 Considerações sobre o Teorema/Relação de Euler 17

CAPÍTULO 2: TEOREMA DE EULER 20

2.1 Teorema de Euler (para Poliedros Convexos) 20 2.2 Teorema de Euler (segundo Cauchy - Lima) 27 2.3 O Teorema de Euler e os Poliedros de Platão 36

CAPÍTULO 3: OS POLIEDROS EM CERTOS DOCUMENTOS OFICIAIS 38

3.1 O Estudo dos Poliedros segundo os Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN) de Matemática no Ensino Fundamental (5ª série/6º ano à 8ª série/9º ano) 38 3.2 O Estudo dos Poliedros segundo as Orientações Educacionais Complementares aos Parâmetros Curriculares Nacionais do Ensino Médio: Ciências da Natureza, Matemática e suas Tecnologias. 41 3.3 O Estudo dos Poliedros segundo o Currículo do Estado de São Paulo: Matemática e suas Tecnologias 44 3.4 Os Poliedros nas Matrizes de Referência para avaliação do SARESP 47 3.5 Os Poliedros e as Matrizes de Referência para o ENEM 49

CAPÍTULO 4: PROPOSTA DE ATIVIDADES EDUCACIONAIS SOBRE POLIEDROS COM O USO DO POLY 51

4.1 Proposta - Parte I (Explorando atividades com o software Poly) 53 4.2 Proposta - Parte II (Discussão e resolução de algumas questões do SARESP e ENEM e uso do Poly, quando pertinente, para melhor compreensão) 60

ALGUMAS CONSIDERAÇÕES FINAIS/CONCLUSÃO 77

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 78

de Lima, esteja correta, seguindo Lima (1991, p. 74-82). Observamos que os poliedros convexos satisfazem as hipóteses do Teorema (segundo Cauchy), mas não são apenas esses, o teorema (versão de Cauchy) é válido para uma classe mais ampla de poliedros: os que são  a uma esfera. Mas essa equivalência (do poliedro satisfazer as hipóteses do teorema se, e somente se, é homeomorfo a uma esfera) não é fácil de se verificar, conforme observado em Lima (1991, p.12). Ainda no Capítulo 2, usando o Teorema de Euler, é demonstrado o teorema da existência de apenas cinco poliedros convexos regulares, conhecidos como Poliedros de Platão (Teorema 3). No Capítulo 3 é feita uma análise sobre o ensino/conteúdo de Poliedros, segundo documentos oficiais: Parâmetros Curriculares Nacionais para o Ensino Fundamental ^ Ciclo II (BRASIL, 1998), Orientações Educacionais Complementares aos Parâmetros Curriculares Nacionais do Ensino Médio: Ciências da Natureza, Matemática e suas Tecnologias (BRASIL, 2002), Currículo do Estado de São Paulo  (^) Matemática e suas Tecnologias (SÃO PAULO, 2010), Matrizes de Referência para

a Avaliação do SARESP (SÃO PAULO, 2009) e Matrizes de Referência para o ENEM (2009). O Capítulo 4 é dedicado à proposta de atividades sobre Poliedros e Teorema de Euler com o uso do software matemático Poly. E também ao desenvolvimento de atividades visando a análise e resolução de algumas questões do SARESP e ENEM. O uso de softwares matemáticos nos permite criar estratégias de articulação entre linguagens e procedimentos diversificados para tratar de situações-problema, permitindo uma melhor interpretação por parte dos alunos, entre tantos outros benefícios. Por fim apresentamos algumas considerações/conclusões relativas ao desenvolvimento deste trabalho.

CAPÍTULO 1: POLIEDROS E CONSIDERAÇÕES SOBRE O

TEOREMA DE EULER

1.1 Poliedros

A palavra Poliedro vem do grego , que significa muitos ou vários e  , que significa face, ou seja, muitas faces, os poliedros regulares convexos foram objetos de estudo de grandes filósofos da antiguidade e faziam parte das teorias sobre o universo. Os poliedros são objetos facilmente encontrados no cotidiano, em forma de embalagens, na arquitetura, nas artes, etc. Além disso, como mencionado em Bortolossi (2009 a e b) são elementos utilizados em pesquisas e tem aplicações práticas. Por exemplo, o estudo da planificação de poliedros tem aplicações em !industrial (na confecção de moldes de vinil e decomposições de chapas metálicas). Os poliedros são também usados em computação gráfica como uma malha de controle para a representação de superfícies suaves e mais complicadas. A superfície suave final é obtida através de um processo recursivo que subdivide cada face do poliedro em subfaces menores. Os poliedros regulares também conhecidos como sólidos platônicos (cubo ou hexaedro, tetraedro, octaedro, dodecaedro e icosaedro) se manifestam na natureza (cristais, moléculas, etc.). Ainda, muitos vírus, como por exemplo, o vírus do Herpes e Radiolários (um tipo de protozoário amebóide, que dá origem a esqueletos minerais) como a " !     , têm a forma (aproximada) de um Icosaedro. Em meteorologia e climatologia, destacam-se cada vez mais os modelos numéricos globais do fluxo atmosférico que usam malhas baseadas em um icosaedro (refinado por subdivisão).

1.2 Uma breve introdução histórica sobre Poliedros

Não é nosso objetivo fazer aqui uma abordagem histórica, mas apenas levantar alguns aspectos. Algumas das referências usadas para consulta foram: Boyer (1974), Lima (1991), Lima et al (2006), Corrreia e Ferreira (2007), Gonçalves (2009), Siqueira (2009), Bortolossi (2009 a e b) e Richeson (2008).

Um importante resultado sobre poliedros é a conhecida +1  ) 23     (que é válida(o) para uma certa classe de poliedros, e será abordada neste trabalho): 4%+     5  6       3 4#^ %+ += 2. Tal fórmula (resultado) é assim denominada em homenagem ao matemático suíço Leonhard Euler (1707 - 1783). Euler apresentou tal relação em uma carta que escreveu para seu amigo (também matemático) Christian Goldbach em 1750 (RICHESON, 2008, p.66). É interessante observar que, segundo alguns historiadores, um manuscrito de Descartes, produzido por volta de 1639 e encontrado por Leibniz em 1675, contém resultados a partir dos quais se poderia obter a Relação de Euler (LIMA, 1991. p. 69). Euler, durante sua vida, escreveu vários trabalhos, entre eles, dois sobre poliedros, como destacado em Gonçalves (2009) e Richeson (2008). Esses dois trabalhos foram escritos em 1750 e 1751, mas só foram publicados em 1758. No primeiro trabalho, Euler fez observações gerais a respeito de poliedros, iniciou sua discussão da relação entre os números de vértices, arestas e faces, provou vários teoremas que relacionam V, E e F e verificou que V-A+F=2 ocorre em vários casos especiais, mas ele não deu uma prova para a sua fórmula. Porém, no segundo trabalho ele apresentou uma prova (RICHESON, 2008, p.66). A prova apresentada por Euler não é rigorosa e contém falhas (RICHESON, 2008, p.71). Muitos matemáticos, entre eles Augustin-Louis Cauchy (1789-1857), tentaram encontrar uma prova correta e completa. Uma publicação interessante que se refere às falhas da prova do Teorema Euler é o livro de Imre Lakatos (1922 - 1974) (LAKATOS, 1976). $%   ^ & ^   !  "'(   ^  interpretação da história da conjectura de Euler. As falhas nas provas dessa conjectura ocorreram, em geral, por não haver uma definição precisa de  .

1.3 Definição de Poliedro

Vamos tomar como definição de poliedro a apresentada por Lima et al. (2006, p. 232-233), em %* 0  *6

Definição 1:  é uma reunião de um número finito de polígonos planos chamados faces onde: a) Cada lado de um desses polígonos é também lado de um, e apenas um outro polígono. b) A interseção de duas faces quaisquer ou é um lado comum, ou é um vértice, ou é vazia. Cada lado de um polígono, comum a exatamente duas faces, é chamado uma   e cada vértice de uma face é um 6   . c) É sempre possível ir de um ponto de uma face a um ponto de qualquer outra, sem passar por nenhum vértice (ou seja, cruzando apenas arestas). Todo poliedro (no sentido da definição acima), limita uma região do espaço chamada de    desse poliedro. Aqui, polígono plano está significando o polígono e a região poligonal (região interna do polígono).

Analisando alguns livros didáticos, observamos que: Dante (2012, p. 206), em * 0  7"  % 28 apresenta os poliedros da seguinte maneira: Cada poliedro é formado pela reunião de um número finito de regiões poligonais planas chamadas  e a região do espaço limitada por elas. Cada lado de uma dessas regiões poligonais é também lado de uma outra única região poligonal. A interseção de duas faces quaisquer ou é um lado comum, ou é um vértice, ou é vazia. Cada lado de uma região poligonal, comum a exatamente duas faces, é chamado  do poliedro. E cada vértice de uma face é um 6  do poliedro. Iezzi et al. (2010, p. 183), em * 0  7 9    28:, define        ) &  * "+  "  (^) das apenas por  +)    ,

Notemos que na definição dada por Iezzi et al. (2010, p.183), ao tratar poliedro utilizando o termo 1!6  , ou seja, algo maciço, não oco, a região interior, limitada por polígonos planos, pertence ao poliedro. O mesmo ocorre com a definição dada por Dante (2005, p. 360), quando diz que a região limitada pelas faces também faz parte do poliedro. Como observado em Richeson (2008, p. 30), primeiramente na história de poliedros, a suposição era que eles eram sólidos. De fato, por muito séculos

 É interessante observar que os mesmos autores do livro referido (na Definição 1), em uma versão anterior não exigiram, na definição de poliedro, a condição (c). De modo que um objeto como o apresentado na Figura 3 (a) abaixo, nessa edição mais antiga (1998), era considerado um poliedro. Observamos também que ao tratar do Teorema de Euler segundo Cauchy 23  -  + -4  "'     5   ' 

teorema, seguindo Cauchy, é bem diferente da dada na Definição 1.   

(a) (^) (b)

(c) (^) (d)

(a) (b) +! =7 3>   

1.4 Poliedro Convexo

Definição 2: (Lima, et al, 2006, p. 233). Um poliedro é  se qualquer reta (não paralela a nenhuma de suas faces) o corta em, no máximo, dois pontos.

 É usual encontrarmos a seguinte definição: Um conjunto C do plano ou espaço é dito  , se ao considerarmos qualquer segmento de reta que liga dois pontos de C, o segmento considerado está inteiramente contido no conjunto C. Neste caso, um poliedro P é convexo, de acordo com a Definição 2, se e somente se, o conjunto C formado pelo poliedros e seu interior é um conjunto convexo.

1.6 Considerações sobre o Teorema/Relação de Euler

As considerações apresentadas aqui tem como referência Lima (1991). A Relação de Euler é expressa pela equação V ^ A + F = 2, como já mencionado anteriormente. Existem vários exemplos de poliedros convexos e não convexos onde a relação é válida. Mas, podemos verificar, através de exemplos, que o Teorema de Euler não é válido em toda sua generalidade. Esta relação é sempre verdadeira para poliedros convexos, como será demonstrado no Capítulo 2. Porém, para poliedros não convexos esta relação pode ou não ser verdadeira (vide Figuras 8 e 9 a seguir).

V ^ A + F = 4 ^ 6 + 4 = 2 V^ ^ A + F = 20^ ^ 30 + 12 = 2

+! D7      60

V ^ A + F = 16 ^ 24 + 10 = 2

+! E7 3     60



V ^ A + F = 16 ^ 32 + 16 = 0

+! F7 3     360

Qual seria então o motivo da relação de Euler não ser válida para todos os poliedros não convexos? As controvérsias relacionadas ao Teorema de Euler duraram mais de um século. Poincaré (1893) foi o primeiro matemático a compreender que o Teorema de Euler é um teorema da Topologia e não da Geometria. Ele notou que V ^ A + F é um invariante 1! , isto é, se P e Q são poliedros  , então V (^) P ^ A (^) P + F (^) P = V (^) Q ^ A (^) Q + F (^) Q, onde V (^) P indica o número de vértices do poliedro P e V (^) Q o número de vértices de Q, o mesmo ocorre com o número de arestas e de faces. Dois objetos P e Q (espaços topológicos, que podemos considerar aqui como subconjuntos de R 3 ), são    6  '^  + " 7  8 9 cuja inversa f -1^ 7 9 8  1& &  +, Dado um poliedro P, o número X(P):= V ^ A + F, é chamado  ;    > 6do poliedro P. Poincaré mostrou que G(P) é um     1! , ou seja, poliedros homeomorfos possuem mesma característica de Euler-Poincaré. De fato a característica de Euler -  6é até um invariante por     (LIMA, 1991, p.73). (Grosseiramente falando, dois objetos tem      , ou são     &  , se um pode ser deformado continuamente no outro). Agora, para um tetraedro (vide Figura 10), tem-se G() = V- A + F = 2, e é homeomorfo a esfera. Logo, para todo poliedro P homeomorfo a e, portanto homeomorfo a esfera, vale X(P) = X() = 2 (isto é, tem-se a Relação de Euler).