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CAPÍTULO VIII (2001)
8. CÁLCULO DAS LAJES DO TABULEIRO
8.1 Introdução
Os esforços solicitantes de lajes são obtidos através da Teoria das Placas. Embora as lajes , em geral , têm comportamento anisotrópico , isto é , rigidez diferente nas duas direções , considera-se , para efeito de cálculo de solicitações , que seja elástica e isotrópica. Existem também o cálculo à ruptura, onde se abandona o comportamento elástico da laje, e outros procedimentos alternativos que não serão objeto deste curso. Encontram-se na literatura , em forma de tabelas , as soluções de placas elásticas , tais como as de Czarny e Marcus. Porém , estas são válidas apenas para cargas distribuídas. No caso de lajes de pontes , as principais solicitações são provocadas pelas cargas concentradas das rodas dos veículos, que além de serem preponderantes em relação às outras cargas , são móveis. Com isso , faz-se necessário outras tabelas. As tabelas , freqüentemente utilizada , são as de Rüsch , que serão aquí adotadas. Vale salientar que em lajes de pontes , o problema resume-se em encontrar as posições das cargas que produzam as solicitações mais desfavoráveis para as lajes. Este cálculo é extremamente trabalhoso. Para facilitá-lo foram desenvolvidos diversos procedimentos , tal como o de Rüsch.
8.2 Esquema Estático
Adotam-se , para o cálculo das lajes do tabuleiro , os esquemas estáticos resultantes da divisão do tabuleiro em vários painéis , contornados por vigas principais , transversinas e cortinas. Cada painel será considerado apoiado sobre estas estruturas lineares(vigas , transversina ,etc.). Quando houver continuidade da laje , na linha de apoio sobre aquelas estruturas lineares , esta será considerada engastada na posição desta linha. Para visualizar estas considerações , observe-se a figura abaixo :
Figura 8. Os esquemas estáticos foram adotados como lajes isoladas para que se possam utilizar as tabelas de Rüsch , que foram elaboradas como tais. Após os cálculos dos esforços solicitantes das lajes isoladas consideram-se a continuidade da estrutura por meio de um coeficiente. Estes coeficientes afetam apenas os esforços devidos às cargas móveis , cujos esforços são preponderantes em relação àqueles devidos às cargas permanentes.
Valores de o para momentos de carga móvel e momentos de engastamento MA da viga de borda, para o cálculo aproximado de placas contínuas.
Modos de apoio das lajes isoladas
extrema ou marginal interna
MA constante o
Pontes Placas 0,80^ 1,00^ 1,00^ 1,
em vinculadas (^) = 1,0 1/2 MB 1,05 0,96 1,
vigas nos quatro = 1,20 1,07 0,94 (^) 1,
lados = 1/3 MB 1,10 0,92 1,23 1,
Pontes Placas = 1,10 0,92 (^) 1,
em vinculadas em = 1,0 1/3 MB 1,14 0,89 1,
lajes dois lados = 0,50 1,22 0,82 1,
opostos = 0,25 calculam-se como vigas contínuas
Correção de ao para vãos menores que 20,0 metros : 1, =. o 1 + 0,01. lx
Conseqüentemente , os momentos fletores de cálculo serão obtidos da seguinte forma :
Nos apoios internos serão obtidos dois valores de momentos fletores, porém será utizado ,para dimensionamento, apenas o maior valor , o qual corresponde o caso mais desfavorável ,pois, este é aquele em que somente a laje correspondente ao maior momento sofre a ação do trem-tipo.
OBS. : Na prática utilizam-se, freqüentemente, as transversinas intermediárias desligadas da laje. Neste caso a laje apoia-se apenas nas vigas principais e nas transversinas de extremidade (cortinas).
8.3 Tabelas de Rüsch
As tabelas de Rüsch foram obtidas para veículos-tipo com cargas de rodas e cargas uniformemente distribuídas unitárias. Ou seja, os esforços solicitantes das tabelas resultaram da aplicação deste carregamento unitário sobre a superfície de influência destes esforços. O conceito de superfície de influência é o mesmo do de linha de influência das estruturas lineares, isto é, cada ordenada da superfície ,no ponto de aplicação da carga unitária, é o valor do esforço solicitante em uma determinada seção. Graças à coincidência dos trens-tipo da norma brasileira NBR 7188 daqueles da norma alemã DIN 1075 ,utilizadas por RÜSCH, pode-se utilizar as referidas tabelas nas pontes brasileiras. Entretanto, deve-se considerar nestas tabelas a carga distribuída p' = p ,pois na norma brasileira a carga distribuída ao redor do veículo-tipo é igual à carga p (no curso é "q") ,enquanto que na norma alemã , atrás e em frente ao veículo-tipo a carga distribuída é p e nos lados a carga distribuída é p' ., conforme Fig. 8..
NOTA : A nomenclatura utilizada no curso e nas tabelas de Rüsch é a seguinte :
Tabela 8.2 Nomenclatura carga curso Rüsch distribuída na faixa do veículo q p distribuída na faixa lateral do veículo q' p' concentrada da roda Q L permanente g g
Portanto , para se obter o efeito global das cargas do trem-tipo(veículo-tipo mais as cargas distribuídas ao redor do veículo-tipo) , num determinado ponto , utiliza-se a seguinte expressão :
onde , Mq = momento total devido à carga móvel = coeficiente de impacto, Q = carga de uma roda do veículo-tipo ( no caso de ponte classe 12 , roda traseira), q = carga distribuída ao redor do veículo, mL = momento fletor provocado pelo veículo-tipo com cargas das rodas unitárias, mq = momento fletor provocado por carga distribuída unitária na faixa do veículo, mq' = momento fletor provocado por carga distribuída unitária nas faixas laterais do veículo. OBS. : No caso de ponte classe 12 há uma quarta parcela (coluna L' da tabela) ,correspondente ao veículo lateral. Com isso , a expressão anterior fica da seguinte forma :
onde , Q = carga de uma roda do eixo traseiro do veículo-tipo, mL = momento fletor provocado pelas cargas unitárias do eixo traseiro do veículo-tipo, mL' = momento fletor provocado pelas cargas unitárias do eixo traseiro do veículo lateral(na realidade é idêntico ao veículo-tipo), os demais termos têm o mesmo significado da expressão anterior.
A seguir indica-se a forma das tabelas de Rüsch que fornecem os extremos dos momentos fletores, devido ao carregamento unitário , em alguns pontos da laje. Estes extremos são obtidos a partir da posição mais desfavorável do trem-tipo, composto de cargas unitárias , observando-se a forma da superfície de influência. Salienta-se que a tabela abaixo corresponde à uma parte das tabela original de uma laje engastada nos bordos , com ly/lx = 1 , já com a nomenclatura do curso.
Tabela 8.
No
97
Momentos no centro da laje Ponte classe 30 a 60 carga da roda 1,0 kN carga distribuída 1,0 kN/m Mq,xm no centro da laje Mq,ym no centro da laje Mq,xm Mq,ym lx/a t/a t/a para todos os valores de t/a 0,125 0,250 0,50 1,00 0,125 0,250 0,50 1, mL mL mL mL mL mL mL mL mq mq' mq mq' 0,50 0,157 0,063 0,035 0,010 0,100 0,073 0,039 0,010 - - - - 1,00 0,223 0,116 0,064 0,020 0,160 0,120 0,066 0,022 - - - - 1,50 0,245 0,168 0,100 0,045 0,244 0,180 0,100 0,040 - - - 0, Momentos nos centros dos engastes da laje Ponte classe 30 a 60 carga da roda 1,0 kN carga distribuída 1,0 kN/m -Mq,xe no centro da laje -Mq,ye no centro da laje - Mq,xe - Mq,ye lx/a t/a t/a para todos os valores de t/a 0,125 0,250 0,50 1,00 0,125 0,250 0,50 1, mL mL mL mL mL mL mL mL mq mq' mq mq' 0,50 0,140 0,115 0,072 0,030 0,193 0,180 0,100 0,090 - 0,08 - - 1,00 0,250 0,210 0,140 0,080 0,270 0,235 0,155 0,150 - 0,18 - 0,
1,50 0,350 0,300 0,225 0,170 0,380 0,330 0,230 0,200 - 0,20 - 0,
A partir dos máximos momentos calculados no centro e nas bordas , Rüsch apresenta diagramas de cobrimento para toda a superfície da laje , que são necessários para o detalhamento das armaduras. Na fig. 8.6 apresenta-se um desses diagramas , relativos aos momentos devido à carga permanente.
8.3.4 Esforços Cortantes
Segundo Rüsch, o tipo de apoio , a relação entre os vãos da laje têm pequena influência no valor dos esforços cortantes. Por isso , o esforço cortante produzido pela carga móvel é tratado somente para quatro casos característicos , apresentados nas tabelas 99,100,101 e 102. Portanto , deve-se adotar , para a situação de projeto , aquela que mais se aproxima da laje em estudo.
8.4 APLICAÇÃO DAS TABELAS DE RÜSCH
Considere-se as lajes do tabuleiro do projeto proposto :
a) carga permanente h = 0,25m (espessura da laje) e = (0,12+0,05)/2 = 0,085m (espessura média da pavimentação)
peso próprio da laje : 0,25. 25 = 6,25 kN/m pavimentação : 0,085. 24 = 2,04 kN/m recapeamento : 2,00 kN/m
g = 10,29 kN/m b) carga móvel - ponte classe 45
Q = 75 kN ; q = 5 kN/m2 ; q' = 3 kN/m2 (passeio , se existir ) coeficiente de impacto :
laje L2=L5 = 1,4 - 0,007. 5,00 = 1, laje L3=L4 = 1,4 - 0,007. 6,60 = 1, laje L1=L6 = 1,4 - 0,007. (2. 3,20) = 1,
8.4.1 Lajes internas ( L2 , L3 , L4 , L5 ) 8.4.1.1 Momentos fletores
8.4.1.1.1 Laje L2=L5 (cálculo como laje isolada)
contato da roda : classe 45
a) Momentos devido à carga permanente
b) Momentos devido à carga móvel ( t/a=0,368 ; lx/a=3,30)
Para esses valores de t/a e lx/a ,inexistentes na tabela , devem ser obtidos os momentos mL , mq ,mq' , por interpolação linear :
No índice de placas, pág.78 , coluna 6 ,encontra-se a seguinte indicação do cálculo da placa No. 89 :
- carga permanente , Mg,xe K=0,054 ; Mg,ym K=0,039 ; Mg,ye K= -0,
- carga móvel , calcular como a : placa No.1 (pág 2) , para Mq,xm e Mq,ym , placa No.58 (pág 46) , para Mq,ye.
a) Momentos devido à carga permanente
b) Momentos devido à carga móvel (lx/a = 3,30 e t/a = 0,368) Note-se que os parâmetros lx/a e t/a são os mesmos da laje L2=L5 ,pois, foi adotado a mesma orientação dos eixos e o mesmo veículo-tipo (trata-se da laje da mesma ponte). Realizandose as interpolações lineares necessárias , obtêm-se :
Tabela 8.7 - Placa No.1 (pág. 2) Mq,xm no centro da laje lx/a t/a para todos os valores de t/a 0,250 0,368 0, mL mL mL mq mq' 3,00 0,690 0,670 1,000 1, 3,30 0,738 0,727 0,715 1,360 1, 4,00 0,850 0,820 2,200 2,
Tabela 8.8 - Placa No. 1 (pág.2) Mq,ym no centro da laje lx/a t/a para todos os valores de t/a 0,250 0,368 0, mL mL mL mq mq' 3,00 0,408 0,361 0,170 0, 3,30 0,445 0,420 0,394 0,230 0, 4,00 0,530 0,472 0,370 1,
Tabela 8.9 - Placa No. 58 (pág.46)
- Mq,ye no centro da borda lx/a t/a para todos os valores de t/a 0,250 0,368 0, mL mL mL mq mq' 3,00 0,990 0,960 0,750 1, 3,30 1,053 1,042 1,029 0,945 2, 4,00 1,200 1,190 1,400 3,
Portanto, os efeitos globais são :
8.4.1.1.3 Correção dos momentos devido à continuidade das lajes.
Por causa da preponderância dos momentos devidos à carga móvel frente àqueles devidos à carga permanente , faz-se a correção apenas nos primeiros.
Laje L2=L
Da Tabela 8.1 , referente à continuidade das lajes , tem-se :
como lx' < 20,0m , então ,
Mq,x'm = 36,89x1,223=45,12 kN.m/m = Mq,ym meio da laje Mq,y'm = sem alteração = 27,89 kN.m/m = Mq,xm meio da laje (pois, não há continuidade de lajes) Mq,x'e = - 91,86x1,074 = - 98,66 kN.m/m = Mq,ye lado engastado Mq,x'a = 1/2 Mq,x'e = - 49,33 kN.m/m = Mq,ya lado apoiado
Portanto ,
Laje L3=L
Da Tabela 8.1 , referente à continuidade das lajes , tem-se :
como lx' < 20,0m , então ,
Mq,x'm = 48,20x1,145 = 55,19 kN.m/m = Mq,ym Mq,x'e = -126,46x1,091 = - 137,97kN.m/m = Mq,ye Mq,y'm = sem alteração = 95,22 kN.m/m = Mq,xm
Portanto ,
8.4.1.1.4 Envoltória (diagrama) dos momentos fletores
Após a determinação dos valores extremos dos momentos fletores , no centro e no engaste das lajes , é necessário obter a envoltória dos momentos das lajes , para que se possa retratar as condições reais de vinculação das lajes e ,portanto, possibilitar um melhor detalhamento das armaduras. Rüsch fornece envoltórias de momentos fletores ,construídas a partir dos valores extremos obtidos por meio de suas tabelas , para os tipos usuais de vinculação. As envoltórias são fornecidas para momentos devidos à carga permanente e à carga móvel. Veja a seguir (Fig.515), um exemplo através da laje L2 do projeto :
Observe-se nas Figs.8.15b e 8.15d que deve-se considerar, no engaste,momentos na direção x, Mg,xe e Mq,xe, que não foram calculados pela tabela. Isto significa que são necessárias armaduras negativas(superior) no engaste, na direção x, além das principais na direção y. A partir dos diagramas da Fig. 8.15 , é possivel fazer a combinação dos momentos, para cada seção préfixada. Entretanto, a combinação dos momentos será feita somente no centro e nos apoios da laje. No detalhamento das armaduras deve ser considerado o cobrimento dos diagramas de Rüsch(envoltórias).
Nomenclatura de Rüsch : Qx e Qy " do Curso : Vq,x e Vq,y Tabela 8. Vq,y (Qx) [kN] Vq,x (Qx) [kN] t/a para quaisquer t/a para quaisquer lx/a 0,250 0,368 0,50 valor de t/a 0,250 0,368 0,500 valor de t/a vL vL vL vq vq' vL vL vL vq vq' 3,00 1,860 1,070 0,030 0,520 1,860 1,020 0,020 0, 3,30 1,890 1,519 1,103 0,066 0,622 1,887 1,492 1,050 0,029 0, 4,00 1,960 1,180 0,150 0,150 1,950 1,120 0,050 0,
Note-se que , embora a laje de Rüsch seja quadrada ,os valores de Vq,x e Vq,y são diferentes. Isto ocorre devido à direção do tráfego , pois , para uma dada direção o veículo-tipo tem três fileiras de rodas ,enquanto que na outra tem duas fileiras Na Tabela 8.10 vL, vL',vq, e vq' ,significam esforços cortantes devido ao trem-tipo unitário.
Vq,x = 1,365(75x1,492 + 5,0x0,029 + 5,0x0,603) = 157,06kN/m Vq,y = 1,365(75x1,519 + 5,0x0,066 + 5,0x0,622) = 160,20kN/m
8.4.1.2.2 Laje L3=L
Os parâmetros obtidos anteriormente são :
a) Efeito da carga permanente
Vg,x=Vg,y = 0,44x10,29x10,0 = 45,28kN/m
b) Efeito da carga móvel
Tabela 8. Vq,x (Qx) [kN] Vq,y (Qx) [kN] t/a para quaisquer t/a para quaisquer lx/a 0,250 0,368 0,50 valor de t/a 0,250 0,368 0,500 valor de t/a vL vL vL vq vq' vL vL vL vq vq' 5,00 2,05 1,667 1,260 0,340 1,340 2,02 1,624 1,180 0,009 1, Vq,x = 1,354(75x1,667 + 5,0x0,34 +5,0x1,34) = 180,66kN/m Vq,y = 1,354(75x1,624 + 5,0x0,09 +5,0x1,56) = 176,09kN/m 8.4.1.2.3 Esforços cortantes totais
Laje L2=L
Vq,xd = 1,4x29,88 + 1,4x157,06 = 261,72kN/m Vq,yd = 1,4x29,88 + 1,4x160,20 = 266,12kN/m
Laja L3=L
Vq,xd = 1,4x45,28 + 1,4x180,66 = 316,31kN/m Vq,yd = 1,4x45,28 + 1,4x176,09 = 309,92kN/m
8.4.1.2.4 Considerações finais
O cálculo das armaduras de cisalhamento, se necessário , é idêntico ao de edifícios. inclusive em relação às armaduras mínimas. Quanto à verificação da fadiga das armaduras o procedimento é aquele utilizado nas vigas.
8.4.2 Lajes em balanço (L1=L6)
As lajes em balanço são calculadas como vigas engastadas, de 1,0m de largura , nas lajes internas. A diferença básica entre o cálculo das lajes em balanço de pontes e o de edi'ficios , é que no primeiro deve-se considerar como solicitações principais as cargas concentradas das rodas do veículo-tipo. A fim de facilitar os cálculos , simplifica-se a seção transversal da laje e da defensa ,considerando-as de espessura constante , de tal forma que as áreas , relativa à seção transversal , sejam equivalentes às áreas reais , resultando :
vão teórico : = 3,00 + 0,25/2 = 3,125cm (NBR 6118 , item 3.3.2.3) onde coeficiente de impacto : = 1,4 - 0,007(2x3,125) =1,
8.4.2.1 Efeito da carga permanente
a) Seção A : Não existe b) Seção B , Seção C : Tabela 8. Seção B Seção C Descrição cortante/carga (kN/ m)
braço (m)
momento (kN.m/m)
cortante/ carga(kN/m)
braço (m)
momento (kN.m/m) 1.Defensa 0,24x0,80x25=4,8 1,38 6,62 4,8 2,88 13, 2.Laje 0,25x1,50x25=9,375 0,75 7,03 18,75 1,50 28, 3.paviment. 0,085x1,26x24=2,57 0,63 1,62 5,63 1,38 7, 4.recapeam. 1,26x2=2,52 0,63 1,59 5,52 1,38 7, Total Vg,B=19,27 Mg,B=16,86 Vg,C=34,70 Mg,C=57,
8.4.2.2 Efeito da carga móvel
8.4.2.2.1 Força horizontal sobre a defensa (NBR 7188 - item 4.5)
Distribui-se o efeito da carga concentrada sobre a laje , em uma extensão igual ao trecho compreendido entre as retas a do ponto de aplicação da carga.
a) Seção A
b) Seção B ; Seção C
MB = MC = 30kN/m VB = VC = 0
8.4.2.2.2 Cargas do trem-tipo
Considera-se atuando, em toda a extensão longitudinal da laje , apenas o veículo-tipo , por ser a condição mais crítica , ou seja , os efeitos (momentos e cortantes ) do trem-tipo(veículo-tipo +q) ,por metro na direção longitudinal , serão causados somente pelo veículo- tipo. Para cada seção longitudinal da laje coloca-se o veículo-tipo na posição mais desfavorável.
8.4.2.3 Esforços totais
Vd = 1,4 Vg + 1,4 Vq Md = 1,4 Mg + 1,4 Mq
Tabela 8. Seção Mg (kN.m/m)
Mq (kN.m/m)
Md (kN.m/m)
Vg (kN/m)
Vq (kN/m)
Vd (kN/m) A 30,00 42,00 37,50 52, B 16,89 30,00 + 50,85 136,84 19,27 127,12 205, C 57,34 30,00 + 186,33 383,14 34,70 179,61 300,
8.4.2.4 Considerações finais
Após a determinação dos esforços solicitantes nas lajes em balanço , por metro na direção longitudinal, procede-se o cálculo das armaduras de forma semelhante às lajes de edifícios. Além disso, deve-se verificar à fadiga as armaduras obtidas.
