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MATERIAL DE ESTUDO – PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA
FAESA - AEV
UNIDADE IV – VARIÁVEL ALEATÓRIA
Variável aleatória (v.a) é uma variável que tem um valor numérico único, para cada resultado de um experimento.
Seja E um experimento e S o espaço amostral associado ao experimento. Uma função X , que associe a cada elemento s F 0C E S um número real X(s) é denominada variável aleatória.
Variável aleatória EXEMPLO: E: lançamento de duas moedas X: número de caras obtidas nas duas moedas S = {(ca,ca),(ca,co),(co,ca),(co,co)} X = 0: corresponde ao evento (co,co) X = 1: corresponde ao evento (co,ca), (ca,co) X = 2: corresponde ao evento (ca,ca)
IV.1 VARIÁVEL ALEATÓRIA DISCRETA
Uma variável aleatória X será discreta se assumir valores em um conjunto finito ou infinito numerável.
IV. 1. 1 Função de probabilidade da variável aleatória discreta É uma função que associa a cada valor assumido pela variável aleatória a probabilidade do evento correspondente. Seja X uma v. a. discreta. A probabilidade da variável aleatória X assumir um valor particular x , é a função de probabilidade X que se representa por P(X = x). A função P(X = x) determina a distribuição de probabilidades da v.a.
Condições para uma distribuição de probabilidades
- , onde x toma todos os valores possíveis.
Exemplo: E: lançamento de duas moedas.
X: Nº de caras obtidas.
A distribuição de probabilidade da v. a. X é dada por:
X
P( x )
X
P( x )
O gráfico de P(x) em função de X do exemplo anterior acima é:
EXEMPLO: Verifique se as seguintes funções são funções de probabilidade e determine as probabilidades requeridas: 1.
x -2 -1 0 1 2
f(x) 1/8 2/8 2/8 2/8 1/
a) P(X ≤ 2) b) P(X > - 2) c) P(-1 ≤ X ≤ 2)
2. , x = 0, 1, 2, 3, 4.
Podendo ser reescrita como:
s^2 = E ()^ X^2 - () E ( X )^2
O desvio padrão () da variável aleatória da v.a. discreta é dado por:
Cálculo da Variância de “X” a partir do seu Valor Esperado
EXEMPLO: Considere que o número de reclamações recebidas diariamente em uma determinada empresa de telefonia segue a seguinte distribuição de probabilidades:
Determine a variância do nº. de reclamações diárias. O valor esperado do nº. de reclamações diárias será igual a:
O valor esperado do quadrado do nº de reclamações diárias será igual a:
A variância do nº de reclamações diárias será igual a:
ALGUMAS PROPRIEDADES DA ESPERANÇA MATEMÁTICA
ALGUMAS PROPRIEDADES DA VARIÂNCIA
- VAR (k) = 0 , k é constante;
- VAR (k. X) = k 2. VAR (X) , k é constante;
QUARTA LISTA DE EXERCÍCIOS
- O número de chamadas telefônicas recebidas tem a seguinte distribuição:
X= Número de chamadas
0 1 2 3 4 5
f(x) 0,60 0,20 0,10 0,04 0,03 0,
Determine à média do número de chamadas. Resposta = 0,
- Um negociante espera vender um automóvel até sexta-feira. A expectativa de venda na segunda-feira é de 50%. Na terça-feira é de 30%, na quarta-feira é de 10%, na quinta-feira é de 5% e na sexta-feira é de 5%. Se lucro é de R$ 3000,00 se vender na segunda-feira e diminui 40% a cada dia. a) Calcule o valor esperado do lucro deste negociante nesta venda. b) Calcule o desvio padrão do lucro. Resposta: 2199,84 e 881,
- Uma seguradora paga R$ 30.000,00 em caso de acidente de carro e cobra uma taxa de R$ 1000,00. Sabendo que a probabilidade de que um carro sofra acidente é de 3%. Quanto espera a seguradora ganhar por carro segurado? Resposta: R$100,
- Um produto deve ser lançado no mercado no próximo ano. A expectativa do departamento de marketing de que o projeto seja bem sucedido é de 80%. Neste caso, o retorno esperado em sua vida útil é de R$ 100.000,00. Se isto não acontecer, o prejuízo deve chegar a R$ 50.000,00. Calcule o lucro médio. Resposta: 70000
- Uma máquina de apostas tem 2 discos que funcionam independentemente um do outro. Cada disco tem 10 figuras: 4 maçãs, 3 bananas, 2 pêras e uma laranja. Uma pessoa paga R$ 80,00 e aciona a máquina. Se aparecerem 2 maçãs, ganha R$ 40,00. Se aparecerem 2 bananas ganha R$ 80,00, ganha R$140,00 se aparecerem 2 pêras e ganha R$ 180,00 se aparecerem duas laranjas. Se não aparecerem duas frutas iguais o jogador não tem ganho. Qual a esperança de ganho numa única jogada? Resposta: -59,
- Num jogo de dados, A paga R$20,00 a B e lança 3 dados. Se sair a face 1 em um dos dados apenas, A ganha R$20,00. Se sair a face 1 em dois dados apenas, A ganha R$50,00, e se sair 1 nos três dados dados, A ganha R$80,00. Calcular o lucro líquido médio de A em uma jogada. (Morettim pág 47). Resposta: -23,
- Se uma v.a. X apresenta E(X) = 10 e VAR(X)=9, calcule: a) E(3X) b) E(5X-3) c) E(-3/5X + 4/3)
- Se uma v.a. X apresenta E(X) = 20 e VAR(X)=25, calcule: a) VAR(2X) b) VAR(5X-10) c) VAR(2/5X - 4)
- Um produto é embalado em caixas de papelao que pesam em média 200 gramas, com desvio padrão de 10 gramas. Cada caixa contém 6 unidades do produto. O peso médio de cada unidade é 1 kg, com desvio padrão de 5g. calcule o peso médio e o desvio padrão de uma caixa cheia.
4 / 3 /
1 / 0 1 2 X
F(X)
PROPRIEDADES DE F(X)
- F(X) é descontínua nos pontos X = X 0 , onde P(X=x 0 ) ≠ 0.
- F(X) é contínua a direita dos pontos X = X 0 , onde P(X=x 0 ) ≠ 0.
VI. 2. VARIÁVEL ALEATÓRIA CONTÍNUA
Uma variável aleatória X contínua pode assumir qualquer valor no intervalo de sua definição. EX.: medida da corrente de um fio delgado de cobre.
VI. 2. 1 Função de Densidade de Probabilidade
Assim como as variáveis discretas possuem suas funções de probabilidade, as variáveis contínuas possuem suas funções densidade de probabilidade. A diferença entre as duas é que enquanto a função de probabilidade fornece diretamente a probabilidade da v.a. discreta assumir um determinado valor, tal não acontece com a função de densidade. A probabilidade de uma v.a.
contínua assumir um valor localizado dentro de um determinado intervalo é igual à área embaixo da função densidade, limitada pelos pontos extremos do intervalo. Assim a probabilidade de uma v. a. contínua assumir um determinado valor (probabilidade no ponto) é nula, pois a área embaixo de um ponto é igual a zero. Uma função densidade de probabilidade f(x) pode ser usada para descrever uma distribuição de probabilidades de uma variável aleatória contínua X.
Funções de densidade são usadas na engenharia para descrever sistemas físicos, como por exemplo, a densidade de uma carga em uma viga longa e delgada.
Definição: Para uma variável aleatória contínua X, uma função densidade de probabilidade (fdp) é uma função tal que:
a) para todo x;
b) ; c) = a área sob f(x) para quaisquer a, b, com.
**Obs.:
VI. 2. 2 Média (ou valor esperado) e variância de uma variável aleatória contínua
A média e a variância de uma v.a. contínua são definidas de modo similar a uma v.a. discreta. A integração substitui a soma nas definições.
Definição: Suponha que X seja uma v. a. contínua com uma função densidade de probabilidade f(x).
Determine a função densidade de probabilidade de X. Que proporção de reações é completada dentro de 200 segundos?
- Seja X uma variável aleatória contínua, o tempo de falha de um componente eletrônico de uma copiadora e a fdp de X, , foi dada: , para 0 < x < 1 e, para quaisquer outros valores de x. Determine: a) Construa a F(x) b) A probabilidade do tempo gasto ser de no máximo ¼ h, isto é,
- Seja X: tempo durante o qual um equipamento elétrico é usado em carga máxima, num cerro período de tempo, em minutos. A função densidade de probabilidade de X é dada por:
Calcular E(X), ou seja, o tempo médio em que o equipamento será utilizado em carga máxima.
10.Seja X uma variável aleatória contínua, o tempo de falha de um componente eletrônico de uma copiadora e a fdp de X, , foi dada:
, para 0 < x < 1 e, para quaisquer outros valores de x.
Determine: a) Construa a F(x) b) A probabilidade do tempo gasto ser de no máximo ¼ h, isto é,
